Công Thức Giải Nhanh Cấp Số Cộng Và Cấp Số Nhân

Trang chủ » Bài Tập Cấp Số Cộng Và Cấp Số Nhân Nâng Cao » Công Thức Giải Nhanh Cấp Số Cộng Và Cấp Số Nhân

Có thể bạn quan tâm

Công thức giải nhanh cấp số cộng và cấp số nhân Cấp số cộng và cấp số nhân Bài trước Tải về Bài sau Lớp: Lớp 12 Môn: Toán Loại File: Word + PDF Phân loại: Tài liệu Tính phí

Nâng cấp gói Pro để trải nghiệm website VnDoc.com KHÔNG quảng cáo, và tải file cực nhanh không chờ đợi.

Tìm hiểu thêm » Mua ngay Từ 79.000đ Hỗ trợ Zalo

Toán lớp 12 - Công thức giải nhanh cấp số cộng và cấp số nhân

  • A. Cấp số cộng
    • Số hạng tổng quát
    • Tổng n số hạng đầu của một cấp số cộng
  • B. Cấp số nhân
    • Số hạng tổng quát cấp số nhân
    • Tính chất của cấp số nhân
    • Tổng n số hạng đầu của một cấp số nhân
  • C. Bài tập tự luận cấp số cộng, cấp số nhân
  • D. Bài tập trắc nghiệm cấp số cộng, cấp số nhân

Để giúp các bạn học sinh học tập hiệu quả hơn môn Toán lớp 12, VnDoc mời các bạn tham khảo tài liệu Công thức giải nhanh cấp số cộng và cấp số nhân, hy vọng qua bộ tài liệu các bạn học sinh sẽ có kết quả cao hơn trong học tập.

A. Cấp số cộng

Cấp số cộng là một dãy số, trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng tổng của số hạng đứng ngay trước nó với một số không đổi d, tức là:

u_{n} = u_{n - 1} + d;(n \geq 2)\(u_{n} = u_{n - 1} + d;(n \geq 2)\)

Số d được gọi là công sai của cấp số cộng.

Chú ý:

  • Nếu \left( u_{n} \right)\(\left( u_{n} \right)\) là cấp số cộng với công sai d thì với số tự nhiên n \geq 2\(n \geq 2\) ta có: u_{n} - u_{n - 1} = d\(u_{n} - u_{n - 1} = d\).
  • Khi d = 0 thì cấp số cộng là một dãy số không đổi.

Số hạng tổng quát

Nếu cấp số cộng \left( u_{n} \right)\(\left( u_{n} \right)\) có số hạng đầu u_{1}\(u_{1}\) và công sai d\(d\) thì số hạng tổng quát u_{n}\(u_{n}\) được xác định bởi công thức:

u_{n} = u_{1} + (n - 1)d;(n \geq 2)\(u_{n} = u_{1} + (n - 1)d;(n \geq 2)\)

Chú ý: Với n \geq 2\(n \geq 2\) ta có: u_{n} = u_{1} + (n - 1)d \Rightarrow n = \frac{u_{n} - u_{1}}{d} + 1\(u_{n} = u_{1} + (n - 1)d \Rightarrow n = \frac{u_{n} - u_{1}}{d} + 1\)

Tính chất cấp số cộng

Ba số hạng u_{n - 1},u_{n},u_{n + 1}\(u_{n - 1},u_{n},u_{n + 1}\)là 3 số hạng liên tiếp của cấp số cộng khi u_{n} = \frac{u_{n - 1} + u_{n + 1}}{2}\(u_{n} = \frac{u_{n - 1} + u_{n + 1}}{2}\) với n \geq 1\(n \geq 1\).

Tổng n số hạng đầu của một cấp số cộng

Cho cấp số cộng \left( u_{n} \right)\(\left( u_{n} \right)\) có số hạng đầu u_{1}\(u_{1}\) và công sai d\(d\). Đặt S_{n} = u_{1} + u_{2} + .... + u_{n}\(S_{n} = u_{1} + u_{2} + .... + u_{n}\). Khi đó:

S_{n} = \frac{\left( u_{1} + u_{n} \right).n}{2}\(S_{n} = \frac{\left( u_{1} + u_{n} \right).n}{2}\)

 Ta có: u_{n} = u_{1} + (n - 1).d\(u_{n} = u_{1} + (n - 1).d\)

\Rightarrow S_{n} = \frac{\left\lbrack 2u_{1} + (n - 1)d \right\rbrack.n}{2}\(\Rightarrow S_{n} = \frac{\left\lbrack 2u_{1} + (n - 1)d \right\rbrack.n}{2}\)

B. Cấp số nhân

Cấp số nhân là một dãy số, trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng tích của số hạng đứng ngay trước nó với một số không đổi q\(q\), tức là:

u_{n} = u_{n - 1}.q;(q \geq 2)\(u_{n} = u_{n - 1}.q;(q \geq 2)\)

Số q\(q\) được gọi là công bội của cấp số nhân.

Chú ý:

  • Nếu \left( u_{n} \right)\(\left( u_{n} \right)\) là cấp số nhân với công bội q\(q\) và u_{n} \neq 0\(u_{n} \neq 0\) với mọi n \geq 1\(n \geq 1\) thì với số tự nhiên n \geq 2\(n \geq 2\) ta có: \frac{u_{n}}{u_{n - 1}} = q\(\frac{u_{n}}{u_{n - 1}} = q\).
  • Khi q = 1 thì cấp số nhân là một dãy số không đổi.

Số hạng tổng quát cấp số nhân

Nếu cấp số nhân \left( u_{n} \right)\(\left( u_{n} \right)\) có số hạng đầu u_{1}\(u_{1}\) và công bội q\(q\) thì số hạng tổng quát u_{n}\(u_{n}\) được xác định bởi công thức:

u_{n} = u_{1}.q^{n - 1};(n \geq 2)\(u_{n} = u_{1}.q^{n - 1};(n \geq 2)\)

Tính chất của cấp số nhân

Ba số hạng u_{n - 1},u_{n},u_{n + 1}\(u_{n - 1},u_{n},u_{n + 1}\)là 3 số hạng liên tiếp của cấp số nhân khi {u_{n}}^{2} = u_{n - 1}.u_{n + 1}\({u_{n}}^{2} = u_{n - 1}.u_{n + 1}\) với n \geq 1\(n \geq 1\).

Tổng n số hạng đầu của một cấp số nhân

Cho cấp số nhân \left( u_{n} \right)\(\left( u_{n} \right)\) có số hạng đầu u_{1}\(u_{1}\) và công bội q \neq 1\(q \neq 1\).

Đặt S_{n} = u_{1} + u_{2} + ... + u_{n}\(S_{n} = u_{1} + u_{2} + ... + u_{n}\). Khi đó:

S_{n} = \frac{u_{1}.\left( 1 - q^{n} \right)}{1 - q}\(S_{n} = \frac{u_{1}.\left( 1 - q^{n} \right)}{1 - q}\)

Chú ý: Nếu q = 1\(q = 1\) thì S_{n} = n.u_{1}\(S_{n} = n.u_{1}\)

C. Bài tập tự luận cấp số cộng, cấp số nhân

Bài tập 1: Xét xem các dãy số sau có phải là cấp số cộng hay không? Nếu có hãy xác định công sai.

a. {{u}_{n}}=-5n+4\(a. {{u}_{n}}=-5n+4\)

b. {{u}_{n}}=\frac{2n+3}{5}\(b. {{u}_{n}}=\frac{2n+3}{5}\)

c. {{u}_{n}}=\frac{n+1}{n}\(c. {{u}_{n}}=\frac{n+1}{n}\)

Hướng dẫn giải

a. Ta xét: {{u}_{n+1}}-{{u}_{n}}=-5\left( n+1 \right)+4+5n-4=-5\({{u}_{n+1}}-{{u}_{n}}=-5\left( n+1 \right)+4+5n-4=-5\) không phụ thuộc vào tham số n. Vậy dãy số đã cho là cấp số cộng với công sai d=5\(d=5\)

b. Ta xét: {{u}_{n+1}}-{{u}_{n}}=\frac{2\left( n+1 \right)+3}{5}-\frac{2n+3}{5}=\frac{2}{5}\({{u}_{n+1}}-{{u}_{n}}=\frac{2\left( n+1 \right)+3}{5}-\frac{2n+3}{5}=\frac{2}{5}\) không phụ thuộc vào tham số n. Vậy dãy số đã cho là cấp số cộng với công sai là d=\frac{2}{5}\(d=\frac{2}{5}\)

c. Ta xét tương tự như các câu a, b

Bài tập 2: Các dãy số sau dãy số nào là cấp số nhân? Nếu có xác định công bội.

a. {{u}_{n}}=\frac{2}{n}\(a. {{u}_{n}}=\frac{2}{n}\)

b. {{u}_{n}}={{4.3}^{n}}\(b. {{u}_{n}}={{4.3}^{n}}\)

Hướng dẫn giải

a. Ta xét: \frac{{{u}_{n+1}}}{{{u}_{n}}}=\frac{\frac{2}{n+1}}{\frac{2}{n}}=\frac{n}{n+1}\(\frac{{{u}_{n+1}}}{{{u}_{n}}}=\frac{\frac{2}{n+1}}{\frac{2}{n}}=\frac{n}{n+1}\) phụ thuộc vào tham số n. Vậy dãy số đã cho không là cấp số nhân

b. Ta chứng minh tương tự câu a: \frac{{{u}_{n+1}}}{{{u}_{n}}}=\frac{{{4.3}^{n+1}}}{{{4.3}^{n}}}=3\(\frac{{{u}_{n+1}}}{{{u}_{n}}}=\frac{{{4.3}^{n+1}}}{{{4.3}^{n}}}=3\) không phu thuộc vào tham số n. Vậy cấp số đã cho là cấp số nhân với công bội là: q=3\(q=3\)

Bài tập 3: Cho cấp số cộng thỏa mãn \left\{ \begin{matrix} {{u}_{1}}-{{u}_{3}}+{{u}_{5}}=10 \\ {{u}_{4}}+{{u}_{6}}=26 \\ \end{matrix} \right.\(\left\{ \begin{matrix} {{u}_{1}}-{{u}_{3}}+{{u}_{5}}=10 \\ {{u}_{4}}+{{u}_{6}}=26 \\ \end{matrix} \right.\)

a. Xác định công sai và công thức tổng quát của cấp số

b. Tính S={{u}_{1}}+{u_{4}}+{{u}_{7}}+...+{{u}_{2011}}\(S={{u}_{1}}+{u_{4}}+{{u}_{7}}+...+{{u}_{2011}}\)

Hướng dẫn giải

Gọi d la công sai của cấp số cộng, ta có:

\begin{align} & \left\{ \begin{matrix} {{u}_{1}}-{{u}_{3}}+{{u}_{5}}=10 \\ {{u}_{4}}+{{u}_{6}}=26 \\ \end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} {{u}_{1}}-\left( {{u}_{1}}+2d \right)+{{u}_{1}}+4d=10 \\ {{u}_{1}}+3d+{{u}_{1}}+5d=26 \\ \end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} {{u}_{1}}+2d=10 \\ {{u}_{1}}+6d=26 \\ \end{matrix} \right. \\ & \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} {{u}_{1}}=1 \\ d=3 \\ \end{matrix} \right. \\ \end{align}\(\begin{align} & \left\{ \begin{matrix} {{u}_{1}}-{{u}_{3}}+{{u}_{5}}=10 \\ {{u}_{4}}+{{u}_{6}}=26 \\ \end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} {{u}_{1}}-\left( {{u}_{1}}+2d \right)+{{u}_{1}}+4d=10 \\ {{u}_{1}}+3d+{{u}_{1}}+5d=26 \\ \end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} {{u}_{1}}+2d=10 \\ {{u}_{1}}+6d=26 \\ \end{matrix} \right. \\ & \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} {{u}_{1}}=1 \\ d=3 \\ \end{matrix} \right. \\ \end{align}\)

Vậy ta có công sai của cấp số là d=3

Công thức tổng quát: {{u}_{n}}={u_{1}}+\left( n-1 \right)d=1+3\left( n-1 \right)=3n-2\({{u}_{n}}={u_{1}}+\left( n-1 \right)d=1+3\left( n-1 \right)=3n-2\)

b. Ta có: Các số hạng trong tổng S={{u}_{1}}+{u_{4}}+{{u}_{7}}+...+{{u}_{2011}}\(S={{u}_{1}}+{u_{4}}+{{u}_{7}}+...+{{u}_{2011}}\) lập thành một cấp số cộng với 670 số hạng với công sai d\(d'=3d\)

Từ khóa » Bài Tập Cấp Số Cộng Và Cấp Số Nhân Nâng Cao