Công Thức Green. | Tienvuongvuong

Trang chủ » Công Thức Green » Công Thức Green. | Tienvuongvuong

Có thể bạn quan tâm

cho hàm số u = u(x,y,z) và v = v(x,y,z) xác định trong miền đơn liên T có biên là mặt S. hàm số u,v liên tục có đạo hàm riêng tới bậc 2 trong miền T+S có : \int \int_T\int(u_xv_x +u_yv_y+u_zv_z)d\tau = \int \int _T\int[(uv_x)_x + (uv_y)_y+(uv_z)_z]d\tau- \int \int _T\int u(v_{xx}+v_{yy}+v_{zz})d\tau=\int \int_T \int div(u.grad(v))d\tau - \int \int _T\int u\Delta v d\tau

bởi vì : div(u.grad(v)) = div(uv_x \vec{i} + uv_y \vec{j}+uv_z \vec{k}) = (uv_x)_x + (uv_y)_y+(uv_z)_z và \Delta v = v_{xx}+v_{yy}+v_{zz}

mặt khác áp dụng công thức Gauss–Ostrogradsky cho tích phân sau :

\int \int _T\int div(u.grad(v))d\tau = \int_S \int u.grad(v)\vec{n}dS

hay :

\int \int_T\int(u_xv_x +u_yv_y+u_zv_z)d\tau = \int_S \int u.grad(v)\vec{n}dS - \int \int _T\int u\Delta v d\tau (1)

với \vec{n} : vecto pháp tuyến của mặt S và có độ dài =1

tích vô hướng (grad(v) . \vec{n}) chính là đạo hàm của hàm số v theo vecto n hay : u.grad(v).\vec{n} = u.grad_n v = uv_n

vậy công thức (1) có thể viết lại là :

\int \int_T\int(u_xv_x +u_yv_y+u_zv_z)d\tau = \int_S \int u.v_ndS - \int \int _T\int u\Delta v d\tau (2) công thức (2) được gọi là công thức Green dạng 1.

theo công thức (2) thì khi thay vai trò của u,v cho nhau giá trị tích phân bội 3 bên trái không thay đổi nên : \int_S \int u.v_n dS - \int \int _T\int u\Delta v d\tau = \int_S \int v.u_ndS - \int \int _T\int v\Delta u d\tau

hay :

\int_S \int (vu_n - uv_ndS = \int \int _T\int (v\Delta u - u \Delta v) d\tau (3) (3) gọi là công thức Green dạng 2.

Khi miền T được bao bởi các mặt S_1,S_2,... lúc đó chúng ta chia miền T thành các miền con T_1,T_2,.... được bao bởi các mặt S_1,S_2,.... tương ứng và lúc đó có thể áp dụng công thức Green ở (2) và (3) cho từng miền con của T

Share this:

  • X
  • Facebook
Like Loading...

Related

Từ khóa » Công Thức Green