Công Thức Moivre - Blog Math 123

Ở bài trước chúng ta đã học sơ qua về số phức. Hôm nay chúng ta sẽ học về dạng lượng giác của số phức vàcông thức Moivre.

Xin nhắc lại rằng điểm trọng tâm của số phức là sự ra đời của một con số rất đặc biệt, đó là con số i với tính chất

Số phức có dạng

trong đó a và b là hai số thực. Kỳ trước chúng ta đã học về những phép tính đại số cơ bản của số phức.

• Phép cọng và trừ

• Phép nhân

• Phép chia Sử dụng đẳng thức

• Số phức liên hợp

• Trị tuyệt đối

Dạng lượng giác của số phức

Hôm nay chúng ta sẽ học về một tính chất rất quan trọng của số phức, đó là mọi số phức z đều có thể viết về dạng lượng giác như sau

trong đó Thật vậy, với z=a+ib, chúng ta có

do đó

Chúng ta có

do đó tồn tại ϕ để

Suy ra

Từ đó chúng ta có dạng lượng giác của số phức

Trường hợp đặc biệt z=0 thì chúng ta có thể chọn Phép nhân của số phức theo dạng lượng giác

Dạng lượng giác của số phức rất tiện lợi trong việc lấy tích của hai số phức nhờ vào hằng đẳng thức sau đây

Do đó nếu chúng ta có hai số phức u và v, nếu chúng ta biểu diễn chúng về dạng lượng giác

thì tích của chúng sẽ là

Luỹ thừa và Công thức Moivre

Tương tự như phép nhân, phép lấy luỹ thừa cũng rất dễ dàng khi chúng ta viết số phức về dạng lượng giác.

Nếu

thì

Hằng đẳng thức sau đây gọi là công thức Moivre, đây là một công thức rất quan trọng về số phức

Bây giờ chúng ta làm một số bài tập.

Bài toán 1: Giải phương trình bậc hai

rồi đưa nghiệm phức về dạng lượng giác.

Lời giải: Chúng ta có

do đó phương trình này có nghiệm phức

Chúng ta đưa nghiệm phức này về dạng lượng giác. Trước tiên chúng ta tính giá trị tuyệt đối của chúng

Từ đó chúng ta có dạng lượng giác

Bài toán 2: Giải phương trình bậc hai

rồi đưa nghiệm phức về dạng lượng giác.

Lời giải: Chúng ta có

do đó phương trình này có nghiệm phức

Chúng ta đưa nghiệm phức này về dạng lượng giác. Trước tiên chúng ta tính giá trị tuyệt đối của chúng

Từ đó chúng ta có dạng lượng giác

Bài toán 3: Giải phương trình bậc hai

rồi đưa nghiệm phức về dạng lượng giác.

Lời giải: Chúng ta có

do đó phương trình này có nghiệm phức

Chúng ta đưa nghiệm phức này về dạng lượng giác. Trước tiên chúng ta tính giá trị tuyệt đối của chúng

Từ đó chúng ta có dạng lượng giác

Bài toán 4: Tính  bằng hai cách, công thức Moivre và nhị thức Newton, rồi suy ra hằng đẳng thức sau

Lời giải: Cách thứ nhất chúng ta đưa  về dạng lượng giác rồi dùng công thức Moivre.

Trước tiên chúng ta tính giá trị tuyệt đối của 

Từ đó chúng ta có dạng lượng giác

Dùng công thức Moivre, chúng ta tính luỹ thừa

Dùng nhị thức Newton, chúng ta có

So sánh phần số thực của hai kết quả, chúng ta rút ra được hằng đẳng thức

Chúng ta tạm dừng ở đây. Xin hẹn gặp lại các bạn ở kỳ sau.

Bài tập về nhà.

1. Viết các số sau về dạng lượng giác: 

2. Tìm giá trị tuyệt đối của số phức 

3. Cho  và , tính 

4. Tính  bằng hai cách, công thức Moivre và nhị thức Newton, rồi suy ra hằng đẳng thức tổ hợp.

5. Biểu diễn x dưới dạng lượng giác rồi tìm tất cả các giá trị của số phức sao cho