Công Thức Nghiệm Của Phương Trình Bậc Hai

Công thức nghiệm của phương trình bậc hai Chuyên đề môn Toán lớp 9 Bài trước Tải về Bài sau Lớp: Lớp 9 Môn: Toán Phân loại: Tài liệu Tính phí

Nâng cấp gói Pro để trải nghiệm website VnDoc.com KHÔNG quảng cáo, và tải file cực nhanh không chờ đợi.

Tìm hiểu thêm » Mua ngay Từ 79.000đ Hỗ trợ Zalo

Trong chương trình Toán lớp 9, phương trình bậc hai là kiến thức trọng tâm, thường xuyên xuất hiện trong các bài kiểm tra và kỳ thi quan trọng. Việc nắm vững công thức nghiệm của phương trình bậc hai không chỉ giúp học sinh giải nhanh các dạng bài tập mà còn tạo nền tảng vững chắc cho việc học Toán ở bậc THPT. Bài viết này sẽ trình bày rõ ràng công thức nghiệm đầy đủ, công thức nghiệm thu gọn, kèm ví dụ minh họa dễ hiểu, giúp bạn tiếp thu kiến thức nhanh chóng và áp dụng hiệu quả.

Công thức tìm nghiệm của phương trình bậc 2

• 1. Định nghĩa phương trình bậc 2
• 2. Công thức nghiệm phương trình bậc 2
• 3. Các dạng toán áp dụng Công thức nghiệm phương trình bậc hai
  • Nhận dạng phương trình bậc hai một ẩn
  • Giải phương trình bậc 2 bằng cách sử dụng cộng thức nghiệm
  • Biện luận số nghiệm của phương trình bậc 2
• 4. Bài tập tự luyện giải phương trình bậc 2 chứa tham số

1. Định nghĩa phương trình bậc 2

+) Phương trình bậc hai một ẩn (hay gọi tắt là phương trình bậc hai) là phương trình có dạng:

ax2 + bx  +c = 0 (a ≠ 0)

Trong đó a, b, c là các số thực cho trước, x là ẩn số.

+) Giải phương trình bậc hai một ẩn là đi tìm tập nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn đó.

2. Công thức nghiệm phương trình bậc 2

Đối với phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) và biệt thức Δ = b2 - 4ac

Tham khảo thêm: Cách tính delta và delta phẩy phương trình bậc 2

+ Nếu Δ > 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt

\(x_1=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}\) và \(x_2=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}\)

+ Nếu Δ = 0 thì phương trình có nghiệm kép là \(x_1=x_2=\frac{-b}{2a}\)

+ Nếu Δ < 0 thì phương trình vô nghiệm.

Chú ý: Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có a và c trái dấu, tức là ac < 0. Khi đó ta có Δ = b2 - 4ac > 0 ⇒ Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt

3. Các dạng toán áp dụng Công thức nghiệm phương trình bậc hai

Nhận dạng phương trình bậc hai một ẩn

Phương pháp:

Phương trình bậc hai một ẩn (hay gọi tắt là phương trình bậc hai) là phương trình có dạng:

ax2 + bx +c = 0 (a ≠ 0)

Trong đó a, b, c là các số thực cho trước, x là ẩn số.

Giải phương trình bậc 2 bằng cách sử dụng cộng thức nghiệm

Phương pháp:

+ Nếu Δ > 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt

\(x_1=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}\) và \(x_2=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}\)

+ Nếu Δ = 0 thì phương trình có nghiệm kép là \(x_1=x_2=\frac{-b}{2a}\)

+ Nếu Δ < 0 thì phương trình vô nghiệm.

Bài tập ví dụ minh họa:

Câu 1: Giải phương trình x2 - 5x + 4 = 0

Hướng dẫn giải

+ Tính Δ = (-5)2 - 4.4.1 = 25 - 16 = 9 > 0

+ Do Δ > 0 , phương trình có hai nghiệm là:

\(x_1=\frac{-(-5)+\sqrt{9}}{2.1}=\frac{8}{2}=4\) và \(x_1=\frac{-(-5)-\sqrt{9}}{2.1}=\frac{2}{2}=1\)

Vậy phương trình có hai nghiệm là x1 = 4; x2 = 1

Câu 2: Giải phương trình 5x2 - x + 2 = 0

Hướng dẫn giải

+ Tính Δ = (-1)2 - 4.5.2 = -39 < 0

+ Do Δ < 0, phương trình đã cho vô nghiệm

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm

Câu 3: Giải phương trình x2 - 4x + 4 = 0.

Hướng dẫn giải

+ Tính Δ = (-4)2 - 4.4.1 = 16 - 16 = 0.

+ Do Δ = 0, phương trình có nghiệm kép là x1 = x2 = \(\frac{-4}{2.1}\) = 2

Vậy phương trình có nghiệm kép là x = 2

Biện luận số nghiệm của phương trình bậc 2

Phương  pháp:

Xét phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = 0 (a≠0)

+) Phương trình có nghiệm kép ⇔ a ≠ 0 và Δ = 0

+) Phương trình có hai nghiệm phân biệt ⇔ a ≠ 0 và Δ > 0

+) Phương trình vô nghiệm ⇔ a ≠ 0; Δ < 0 ⇔ a ≠ 0 và Δ < 0

Bài tập phương trình bậc hai chứa tham số

Câu 1: Cho phương trình \(x^2+(2m+1)x+m^2-1=0\)(1)

a, Tìm m để phương trình có nghiệm

b, Tìm m để phương trình có nghiệm kép

c, Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt

d, Tìm m để phương trình vô nghiệm

Hướng dẫn giải 

Phương trình (1) là phương trình bậc hai với :

\(\Delta=b^2-4ac=(2m+1)^2-4.(m^2-1)\)

\(=4m^2+4m+1-4m^2+4=4m+5\)

a, Để phương trình (1) có nghiệm

\(\Leftrightarrow \Delta \geq0\Leftrightarrow4m+5\geq0\Leftrightarrow m\geq\frac{-5}{4}\)

b, Để phương trình (1) có nghiệm kép

\(\Leftrightarrow \Delta =0\Leftrightarrow4m+5=0\Leftrightarrow m=\frac{-5}{4}\)

c, Để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt

\(\Leftrightarrow \Delta >0\Leftrightarrow4m+5>0\Leftrightarrow m>\frac{-5}{4}\)

d, Để phương trình (1) vô nghiệm

\(\Leftrightarrow \Delta <0\Leftrightarrow4m+5<0\Leftrightarrow m<\frac{-5}{4}\).

Câu 2: Cho phương trình \(mx^{2} + 2(m + 1)x + m - 2 = 0\) với \(m\) là tham số. Tìm giá trị tham số m để:

a) Phương trình có nghiệm kép.

b) Phương trình có hai nghiệm phân biệt.

c) Phương trình có nghiệm duy nhất.

d) Phương trình vô nghiệm.

e) Phương trình vô nghiệm.

Hướng dẫn giải

a) Phương trình có nghiệm kép.

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a \neq 0 \\ \Delta' = 0 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m \neq 0 \\ 4m + 1 = 0 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m \neq 0 \\ m = - \frac{1}{4} \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow m = - \frac{1}{4}\)

b) Phương trình có hai nghiệm phân biệt.