Công Thức Nhị Thức Newton đầy đủ

Có thể bạn quan tâm

- - Mầm non
  - Lớp 1
  - Lớp 2
  - Lớp 3
  - Lớp 4
  - Lớp 5
  - Lớp 6
  - Lớp 7
  - Lớp 8
  - Lớp 9
  - Lớp 10
  - Lớp 11
  - Lớp 12
  - Thi vào lớp 6
  - Thi vào lớp 10
  - Thi Tốt Nghiệp THPT
  - Đánh Giá Năng Lực
  - Khóa Học Trực Tuyến
  - Hỏi bài
  - Trắc nghiệm Online
  - Tiếng Anh
  - Thư viện Học liệu
  - Bài tập Cuối tuần
  - Bài tập Hàng ngày
  - Thư viện Đề thi
  - Giáo án - Bài giảng
  - Tất cả danh mục
- Mầm non
- Lớp 1
- Lớp 2
- Lớp 3
- Lớp 4
- Lớp 5
- Lớp 6
- Lớp 7
- Lớp 8
- Lớp 9
- Lớp 10
- Lớp 11
- Lớp 12
- Thi Chuyển Cấp

Gói Thành viên của bạn sắp hết hạn. Vui lòng gia hạn ngay để việc sử dụng không bị gián đoạn Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Chọn lớp Lớp 1 Lớp 2 Lớp 3 Lớp 4 Lớp 5 Lớp 6 Lớp 7 Lớp 8 Lớp 9 Lớp 10 Lớp 11 Lớp 12 Lưu và trải nghiệm Đóng Điểm danh hàng ngày

Hôm nay +3
Ngày 2 +3
Ngày 3 +3
Ngày 4 +3
Ngày 5 +3
Ngày 6 +3
Ngày 7 +5

Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm! Đăng nhập ngay để nhận điểm Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169 VnDoc.com Lớp 10 Toán lớp 10 Chuyên đề Toán 10 Công thức Nhị thức Newton đầy đủ Công thức giải Toán 10 Bài trước Tải về Bài sau Lớp: Lớp 11 Môn: Toán Loại File: Word + PDF Phân loại: Tài liệu Tính phí

Nâng cấp gói Pro để trải nghiệm website VnDoc.com KHÔNG quảng cáo, và tải file cực nhanh không chờ đợi.

Tìm hiểu thêm » Mua ngay Từ 79.000đ Hỗ trợ Zalo

Công thức Nhị thức Newton nâng cao đầy đủ

I. Nhị thức Newton
- 1. Tổ hợp là gì?
- Công thức tổ hợp
- 2. Công thức Nhị thức Newton
- 4. Một số công thức thường dùng trong các bài tập
- 5. Công thức Newton mở rộng
- 6. Dấu hiệu sử dụng nhị thức Newton
- 7. Tam giác Pascal
II. Bài tập nhị thức Newton
III. Bài tập ứng dụng Nhị thức Newton tính tổng dãy số
IV. Bài tập tự luyện Nhị thức Newton

Trong đại số tổ hợp và giải tích, Công thức Nhị thức Newton là một trong những kiến thức nền tảng, thường xuyên được ứng dụng trong việc khai triển lũy thừa của tổng hai số. Công thức này không chỉ xuất hiện trong chương trình toán phổ thông mà còn đóng vai trò quan trọng trong các kỳ thi học sinh giỏi, toán quốc tế hay các lĩnh vực khoa học máy tính, xác suất – thống kê. Vậy công thức Nhị thức Newton đầy đủ là gì? Làm sao để vận dụng chính xác vào từng dạng bài tập? Trong bài viết này, chúng ta sẽ cùng tìm hiểu chi tiết công thức, ý nghĩa, cách ghi nhớ nhanh, cũng như các ví dụ minh họa dễ hiểu giúp bạn tiếp cận chủ đề một cách hiệu quả và logic nhất.

I. Nhị thức Newton

1. Tổ hợp là gì?

Định nghĩa: Giả sử tập A cơ n phần tử. Mỗi tập con gồm k phần tử của A được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử đã cho.

Kí hiệu: $C_{n}^{k}$ $C_{n}^{k}$ là số tổ hợp chập k của n phần tử $\left( 0\le k\le n \right)$ $\left( 0\le k\le n \right)$. Ta có định lí, số các tổ hợp chập k của n phần tử đã cho.

Công thức tổ hợp

$C_{n}^{k}=\frac{n!}{k!\left( n-k \right)!}=\frac{\left( n-1 \right)\left( n-2 \right)\left( n-3 \right)...\left( n-k+1 \right)}{k!}$ $C_{n}^{k}=\frac{n!}{k!\left( n-k \right)!}=\frac{\left( n-1 \right)\left( n-2 \right)\left( n-3 \right)...\left( n-k+1 \right)}{k!}$

- Tính chất chập k của n phần tử: $C_{n}^{k}$ $C_{n}^{k}$

Tính chất 1: $C_{n}^{k}=C_{n}^{n-k},\left( 0\le k\le n \right)$ $C_{n}^{k}=C_{n}^{n-k},\left( 0\le k\le n \right)$
Tính chất 2: Công thức pascal $C_{n-1}^{k-1}+C_{n-1}^{k}=C_{n}^{k}$ $C_{n-1}^{k-1}+C_{n-1}^{k}=C_{n}^{k}$

2. Công thức Nhị thức Newton

a. Định lí:

Với $\forall n\in {{\mathbb{N}}^{*}}$ $\forall n\in {{\mathbb{N}}^{*}}$ với cặp số $\left( a,b \right)$ $\left( a,b \right)$ ta có:

${{\left( a+b \right)}^{n}}=\sum\limits_{k=0}^{n}{C_{n}^{k}{{a}^{n-k}}}{{b}^{k}}=C_{n}^{0}{{a}^{n}}+C_{n}^{1}{{a}^{n-1}}b+C_{n}^{2}{{a}^{n-2}}{{b}^{2}}+...+C_{n}^{n-1}{{a}^{1}}{{b}^{n-1}}+C_{n}^{n}{{b}^{n}}$ ${{\left( a+b \right)}^{n}}=\sum\limits_{k=0}^{n}{C_{n}^{k}{{a}^{n-k}}}{{b}^{k}}=C_{n}^{0}{{a}^{n}}+C_{n}^{1}{{a}^{n-1}}b+C_{n}^{2}{{a}^{n-2}}{{b}^{2}}+...+C_{n}^{n-1}{{a}^{1}}{{b}^{n-1}}+C_{n}^{n}{{b}^{n}}$

b. Hệ quả

Hệ quả:

${{\left( 1+x \right)}^{n}}=C_{n}^{0}+xC_{n}^{1}+{{x}^{2}}C_{n}^{2}+...+{{x}^{n}}C_{n}^{n}$ ${{\left( 1+x \right)}^{n}}=C_{n}^{0}+xC_{n}^{1}+{{x}^{2}}C_{n}^{2}+...+{{x}^{n}}C_{n}^{n}$

- Từ hệ quả trên ta rút được những kết quả sau đây:

${{2}^{n}}=C_{n}^{0}+C_{n}^{1}+C_{n}^{2}+...+C_{n}^{n}$ ${{2}^{n}}=C_{n}^{0}+C_{n}^{1}+C_{n}^{2}+...+C_{n}^{n}$

$C_{n}^{0}-C_{n}^{1}+C_{n}^{2}-C_{n}^{3}+...+{{\left( -1 \right)}^{n}}C_{n}^{n}=0$ $C_{n}^{0}-C_{n}^{1}+C_{n}^{2}-C_{n}^{3}+...+{{\left( -1 \right)}^{n}}C_{n}^{n}=0$

c. Nhận xét

Trong khai triển Newton ${{\left( a+b \right)}^{n}}$ ${{\left( a+b \right)}^{n}}$ có tính chất sau:

- Gồm n + 1 phần tử.

- Số mũ của a giảm từ n đến 0 và số mũ của b tăng từ 0 đến n.

- Tổng số mũ của a và b trong mỗi số hạng bằng n .

- Các hệ số có tính đối xứng $C_{n}^{k}=C_{n}^{n-k},\left( 0\le k\le n \right)$ $C_{n}^{k}=C_{n}^{n-k},\left( 0\le k\le n \right)$.

- Số hạng tổng quát: ${{T}_{k+1}}=C_{n}^{k}{{a}^{b-k}}{{b}^{k}}$ ${{T}_{k+1}}=C_{n}^{k}{{a}^{b-k}}{{b}^{k}}$.

Chú ý:

Số hạng thứ nhất ${{T}_{1}}={{T}_{0+1}}=C_{n}^{0}{{a}^{n}}$ ${{T}_{1}}={{T}_{0+1}}=C_{n}^{0}{{a}^{n}}$
Số hạng thứ k: ${{T}_{k}}={{T}_{k-1+1}}=C_{n}^{k-1}{{a}^{n-k+1}}{{b}^{k-1}}$ ${{T}_{k}}={{T}_{k-1+1}}=C_{n}^{k-1}{{a}^{n-k+1}}{{b}^{k-1}}$

3. Các công thức liên quan đến khai triển nhị thức Newton

${{\left( x+1 \right)}^{n}}=C_{n}^{0}{{x}^{n}}+C_{n}^{1}{{x}^{n-1}}+C_{n}^{2}{{x}^{n-2}}+...+C_{n}^{k}{{x}^{n-k}}+...C_{n}^{n-1}x+C_{n}^{n}$ ${{\left( x+1 \right)}^{n}}=C_{n}^{0}{{x}^{n}}+C_{n}^{1}{{x}^{n-1}}+C_{n}^{2}{{x}^{n-2}}+...+C_{n}^{k}{{x}^{n-k}}+...C_{n}^{n-1}x+C_{n}^{n}$
${{\left( 1+x \right)}^{n}}=C_{n}^{0}+C_{n}^{1}x+C_{n}^{2}{{x}^{2}}+...+C_{n}^{k}{{x}^{k}}+...C_{n}^{n-1}{{x}^{n-1}}+C_{n}^{n}{{x}^{n}}$ ${{\left( 1+x \right)}^{n}}=C_{n}^{0}+C_{n}^{1}x+C_{n}^{2}{{x}^{2}}+...+C_{n}^{k}{{x}^{k}}+...C_{n}^{n-1}{{x}^{n-1}}+C_{n}^{n}{{x}^{n}}$
${{\left( x-1 \right)}^{n}}=C_{n}^{0}-C_{n}^{1}x+C_{n}^{2}{{x}^{2}}-...+{{\left( -1 \right)}^{k}}C_{n}^{k}{{x}^{k}}+...+{{\left( -1 \right)}^{n-1}}C_{n}^{n-1}{{x}^{n-1}}+{{\left( -1 \right)}^{n}}C_{n}^{n}{{x}^{n}}$ ${{\left( x-1 \right)}^{n}}=C_{n}^{0}-C_{n}^{1}x+C_{n}^{2}{{x}^{2}}-...+{{\left( -1 \right)}^{k}}C_{n}^{k}{{x}^{k}}+...+{{\left( -1 \right)}^{n-1}}C_{n}^{n-1}{{x}^{n-1}}+{{\left( -1 \right)}^{n}}C_{n}^{n}{{x}^{n}}$
$C_{n}^{k}=C_{n}^{n-k}$ $C_{n}^{k}=C_{n}^{n-k}$
$C_{n}^{k}+C_{n}^{k+1}=C_{n+1}^{k+1},\left( n\ge 1 \right)$ $C_{n}^{k}+C_{n}^{k+1}=C_{n+1}^{k+1},\left( n\ge 1 \right)$
$k.C_{n}^{k}=\frac{k.n!}{k!\left( n-k \right)!}==\frac{n.\left( n-1 \right)!}{\left( n-k \right)!.\left( k-1 \right)!}=n.C_{n-1}^{k-1}$ $k.C_{n}^{k}=\frac{k.n!}{k!\left( n-k \right)!}==\frac{n.\left( n-1 \right)!}{\left( n-k \right)!.\left( k-1 \right)!}=n.C_{n-1}^{k-1}$
$\frac{1}{k+1}.C_{n}^{k}=\frac{k.n!}{\left( k+1 \right).k!\left( n-k \right)!}=\frac{n.\left( n-1 \right)!}{\left( n+1 \right)\left( n-k \right)!\left( k+1 \right)!}=\frac{1}{n+1}.C_{n+1}^{k+1}$ $\frac{1}{k+1}.C_{n}^{k}=\frac{k.n!}{\left( k+1 \right).k!\left( n-k \right)!}=\frac{n.\left( n-1 \right)!}{\left( n+1 \right)\left( n-k \right)!\left( k+1 \right)!}=\frac{1}{n+1}.C_{n+1}^{k+1}$

4. Một số công thức thường dùng trong các bài tập

$C_{n}^{k}=C_{n}^{n-k}$ $C_{n}^{k}=C_{n}^{n-k}$
$C_{n-1}^{k-1}+C_{n-1}^{k}=C_{n}^{k}$ $C_{n-1}^{k-1}+C_{n-1}^{k}=C_{n}^{k}$
$k.C_{n}^{k}=n.C_{n-1}^{k-1}$ $k.C_{n}^{k}=n.C_{n-1}^{k-1}$
$\frac{1}{k+1}.C_{n}^{k}=\frac{1}{n+1}.C_{n+1}^{k+1}$ $\frac{1}{k+1}.C_{n}^{k}=\frac{1}{n+1}.C_{n+1}^{k+1}$
${{2}^{n}}=C_{n}^{0}+C_{n}^{1}+C_{n}^{2}+...+C_{n}^{n}$ ${{2}^{n}}=C_{n}^{0}+C_{n}^{1}+C_{n}^{2}+...+C_{n}^{n}$
${{2}^{n-1}}=C_{n}^{0}+C_{n}^{2}+{{C}_{n}}^{4}+...+C_{n}^{2\left[ \frac{n}{2} \right]}$ ${{2}^{n-1}}=C_{n}^{0}+C_{n}^{2}+{{C}_{n}}^{4}+...+C_{n}^{2\left[ \frac{n}{2} \right]}$
${{2}^{n-1}}=C_{n}^{1}+C_{n}^{3}+C_{n}^{{}}+...+C_{n}^{2\left[ \frac{n-1}{2} \right]+1}$ ${{2}^{n-1}}=C_{n}^{1}+C_{n}^{3}+C_{n}^{{}}+...+C_{n}^{2\left[ \frac{n-1}{2} \right]+1}$

5. Công thức Newton mở rộng

$C_{n}^{k}+2C_{n}^{k+1}+C_{n}^{k+2}=C_{n+2}^{k+2}$ $C_{n}^{k}+2C_{n}^{k+1}+C_{n}^{k+2}=C_{n+2}^{k+2}$
$C_{n}^{k}+3C_{n}^{k+1}+3C_{n}^{k+2}+C_{n}^{k+3}=C_{n+3}^{k+3}$ $C_{n}^{k}+3C_{n}^{k+1}+3C_{n}^{k+2}+C_{n}^{k+3}=C_{n+3}^{k+3}$

6. Dấu hiệu sử dụng nhị thức Newton

a. Chứng minh đẳng thức hay bất đẳng thức mà có: $\sum\limits_{i=1}^{n}{C_{n}^{1}}$ $\sum\limits_{i=1}^{n}{C_{n}^{1}}$.

b. Biểu thức có $\sum\limits_{i=1}^{n}{i\left( i-1 \right)C_{n}^{i}}$ $\sum\limits_{i=1}^{n}{i\left( i-1 \right)C_{n}^{i}}$ thì dùng đạo hàm.

c. Biểu thức có $\sum\limits_{i=1}^{n}{\left( i+k \right)C_{n}^{i}}$ $\sum\limits_{i=1}^{n}{\left( i+k \right)C_{n}^{i}}$ thì ta nhân hai vế với ${{x}^{k}}$ ${{x}^{k}}$ rồi lấy đạo hàm.

d. Biểu thức có $\sum\limits_{i=1}^{n}{{{a}^{k}}.C_{n}^{i}}$ $\sum\limits_{i=1}^{n}{{{a}^{k}}.C_{n}^{i}}$ thì ta chọn giá trị $x=a$ thích hợp.

e. Biểu thức có $\sum\limits_{i=1}^{n}{\frac{1}{i-1}.C_{n}^{i}}$ $\sum\limits_{i=1}^{n}{\frac{1}{i-1}.C_{n}^{i}}$ ta lấy tích phân xác định trên $\left[ a,b \right]$ $\left[ a,b \right]$ thích hợp.

7. Tam giác Pascal

n=0 1

n=1 1 1

n=2 1 2 1

n=3 1 3 3 1

n=4 1 4 6 4 1

Tam giác Pascal được thiết lập theo quy luật

- Đỉnh được ghi số 1. Tiếp theo là hàng thứ nhất ghi hai số 1

- Nếu biết hàng thứ n thì hàng thứ n + 1 tiếp theo được thiết lập bằng cách cộng hai số liên tiếp của hàng thứ n rồi viết kết quả xuống hàng dưới ở vị trí giữa hai số này. Sau đó viết số 1 ở đầu và cuối hàng.

II. Bài tập nhị thức Newton

Ví dụ 1: Viết khai triển theo công thức nhị thức Newton:

${{\left( a+2b \right)}^{5}}$ ${{\left( a+2b \right)}^{5}}$

${{\left( a-\sqrt{2} \right)}^{6}}$ ${{\left( a-\sqrt{2} \right)}^{6}}$

${{\left( x-\frac{1}{x} \right)}^{10}}$ ${{\left( x-\frac{1}{x} \right)}^{10}}$

Hướng dẫn giải

a. Khai triển Newton của

${{\left( a+2b \right)}^{5}}=\sum\limits_{k=0}^{5}{C_{5}^{k}{{a}^{5-k}}{{\left( 2b \right)}^{k}}}=\sum\limits_{k=0}^{5}{C_{5}^{k}{{a}^{5-k}}{{.2}^{k}}.{{b}^{k}}}$ ${{\left( a+2b \right)}^{5}}=\sum\limits_{k=0}^{5}{C_{5}^{k}{{a}^{5-k}}{{\left( 2b \right)}^{k}}}=\sum\limits_{k=0}^{5}{C_{5}^{k}{{a}^{5-k}}{{.2}^{k}}.{{b}^{k}}}$

${{\left( a+2b \right)}^{5}}=C_{5}^{0}{{a}^{5}}+C_{5}^{1}{{a}^{4}}2b+...+C_{5}^{5}32{{b}^{5}}$ ${{\left( a+2b \right)}^{5}}=C_{5}^{0}{{a}^{5}}+C_{5}^{1}{{a}^{4}}2b+...+C_{5}^{5}32{{b}^{5}}$.

b. Khai triển Newton của ${{\left( a-\sqrt{2} \right)}^{6}}=\sum\limits_{k=0}^{6}{C_{6}^{k}{{a}^{6-k}}{{\left( \sqrt{2} \right)}^{k}}}$ ${{\left( a-\sqrt{2} \right)}^{6}}=\sum\limits_{k=0}^{6}{C_{6}^{k}{{a}^{6-k}}{{\left( \sqrt{2} \right)}^{k}}}$

${{\left( a-\sqrt{2} \right)}^{6}}=C_{6}^{0}{{a}^{6}}+C_{6}^{1}{{a}^{5}}.\sqrt{2}+C_{6}^{2}{{a}^{4}}.2+...+C_{6}^{6}.{{\left( \sqrt{2} \right)}^{6}}$ ${{\left( a-\sqrt{2} \right)}^{6}}=C_{6}^{0}{{a}^{6}}+C_{6}^{1}{{a}^{5}}.\sqrt{2}+C_{6}^{2}{{a}^{4}}.2+...+C_{6}^{6}.{{\left( \sqrt{2} \right)}^{6}}$.

c. Khai triển Newton của

${{\left( x-\frac{1}{x} \right)}^{10}}=\sum\limits_{k=0}^{10}{C_{10}^{k}.{{x}^{10-k}}.{{\left( \frac{-1}{x} \right)}^{k}}}$ ${{\left( x-\frac{1}{x} \right)}^{10}}=\sum\limits_{k=0}^{10}{C_{10}^{k}.{{x}^{10-k}}.{{\left( \frac{-1}{x} \right)}^{k}}}$

$=\sum\limits_{k=0}^{10}{C_{10}^{k}.{{x}^{10-k}}.\frac{{{\left( -1 \right)}^{k}}}{{{x}^{k}}}=\sum\limits_{k=0}^{10}{C_{10}^{k}.{{\left( -1 \right)}^{k}}{{x}^{10-2k}}}}$ $=\sum\limits_{k=0}^{10}{C_{10}^{k}.{{x}^{10-k}}.\frac{{{\left( -1 \right)}^{k}}}{{{x}^{k}}}=\sum\limits_{k=0}^{10}{C_{10}^{k}.{{\left( -1 \right)}^{k}}{{x}^{10-2k}}}}$.

Ví dụ 2: Tìm hệ số của ${{x}^{7}}$ ${{x}^{7}}$ trong khai triển biểu thức ${{\left( 1-2x \right)}^{10}}$ ${{\left( 1-2x \right)}^{10}}$.

Hướng dẫn giải

Ta có:

$f\left( x \right)={{\left( 1-2x \right)}^{10}}=\sum\limits_{k=0}^{10}{C_{10}^{k}{{.1}^{10-k}}{{\left( -2x \right)}^{k}}=}\sum\limits_{k=0}^{10}{C_{n}^{k}.{{\left( -2 \right)}^{k}}.{{x}^{k}}}$ $f\left( x \right)={{\left( 1-2x \right)}^{10}}=\sum\limits_{k=0}^{10}{C_{10}^{k}{{.1}^{10-k}}{{\left( -2x \right)}^{k}}=}\sum\limits_{k=0}^{10}{C_{n}^{k}.{{\left( -2 \right)}^{k}}.{{x}^{k}}}$

Số hạng chứa ${{x}^{7}}$ ${{x}^{7}}$ trong khai triển ứng với k = 7. Khi đó hệ số của số hạng chứa ${{x}^{7}}:$ ${{x}^{7}}:$ $C_{10}^{7}.{{\left( -2 \right)}^{7}}=-15360$ $C_{10}^{7}.{{\left( -2 \right)}^{7}}=-15360$.

Ví dụ 3: Tìm hệ số không chứa x trong khai triển sau: ${{\left( {{x}^{3}}-\frac{2}{x} \right)}^{n}}$ ${{\left( {{x}^{3}}-\frac{2}{x} \right)}^{n}}$biết rằng: $C_{n}^{n-1}+C_{n}^{n-2}=78,x>0$ $C_{n}^{n-1}+C_{n}^{n-2}=78,x>0$

Hướng dẫn giải

Ta có: $C_{n}^{n-1}+C_{n}^{n-2}=78,n>2$ $C_{n}^{n-1}+C_{n}^{n-2}=78,n>2$

$\Leftrightarrow \frac{n!}{\left( n-1 \right)!(n-n+1)!}+\frac{n!}{\left( n-2 \right)!\left( n-2+2 \right)!}=78$ $\Leftrightarrow \frac{n!}{\left( n-1 \right)!(n-n+1)!}+\frac{n!}{\left( n-2 \right)!\left( n-2+2 \right)!}=78$

$\Leftrightarrow \frac{n!}{\left( n-1 \right)!(1)!}+\frac{n!}{\left( n-2 \right)!\left( 2 \right)!}=78$ $\Leftrightarrow \frac{n!}{\left( n-1 \right)!(1)!}+\frac{n!}{\left( n-2 \right)!\left( 2 \right)!}=78$

$\Leftrightarrow n+\frac{n\left( n-1 \right)}{2}=78\Leftrightarrow {{n}^{2}}+n-156=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} n=12\left( TM \right) \\ n=-13\left( L \right) \\ \end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow n+\frac{n\left( n-1 \right)}{2}=78\Leftrightarrow {{n}^{2}}+n-156=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} n=12\left( TM \right) \\ n=-13\left( L \right) \\ \end{matrix} \right.$.

Do đó biểu thức khai triển là:

${{\left( {{x}^{3}}-\frac{2}{x} \right)}^{12}}=\sum\limits_{k=0}^{12}{C_{12}^{k}{{\left( {{x}^{3}} \right)}^{12-k}}{{\left( -\frac{2}{x} \right)}^{k}}}$ ${{\left( {{x}^{3}}-\frac{2}{x} \right)}^{12}}=\sum\limits_{k=0}^{12}{C_{12}^{k}{{\left( {{x}^{3}} \right)}^{12-k}}{{\left( -\frac{2}{x} \right)}^{k}}}$

$=\sum\limits_{k=0}^{12}{C_{12}^{k}.{{x}^{36-3k}}.{{\left( \frac{1}{x} \right)}^{k}}.{{\left( -2 \right)}^{k}}}=\sum\limits_{k=0}^{12}{C_{12}^{k}.{{x}^{36-4k}}.{{\left( -2 \right)}^{k}}}$ $=\sum\limits_{k=0}^{12}{C_{12}^{k}.{{x}^{36-3k}}.{{\left( \frac{1}{x} \right)}^{k}}.{{\left( -2 \right)}^{k}}}=\sum\limits_{k=0}^{12}{C_{12}^{k}.{{x}^{36-4k}}.{{\left( -2 \right)}^{k}}}$

Số hạng không chứa x ứng với k: $36-4k=0\Leftrightarrow k=9$ $36-4k=0\Leftrightarrow k=9$

Số hạng không chưa x là: $C_{12}^{9}.{{\left( -2 \right)}^{9}}=-112640$ $C_{12}^{9}.{{\left( -2 \right)}^{9}}=-112640$.

Ví dụ 4: Xét khai triển: ${{\left( 2x+\frac{1}{x} \right)}^{20}}$ ${{\left( 2x+\frac{1}{x} \right)}^{20}}$:

a. Viết số hạng thứ k + 1 trong khai triển.

b. Số hạng nào trong khai triển không chứa x.

c. Xác định hệ số của ${{x}^{4}}$ ${{x}^{4}}$ trong khai triển.

Hướng dẫn giải

Ta có:

${{\left( 2x+\frac{1}{x} \right)}^{20}}=\sum\limits_{k=0}^{20}{C_{20}^{k}{{\left( 2x \right)}^{20-k}}{{\left( \frac{1}{x} \right)}^{k}}=}\sum\limits_{k=0}^{20}{C_{20}^{k}{{2}^{20-k}}{{x}^{20-2k}}}$ ${{\left( 2x+\frac{1}{x} \right)}^{20}}=\sum\limits_{k=0}^{20}{C_{20}^{k}{{\left( 2x \right)}^{20-k}}{{\left( \frac{1}{x} \right)}^{k}}=}\sum\limits_{k=0}^{20}{C_{20}^{k}{{2}^{20-k}}{{x}^{20-2k}}}$

Số hạng không chứa x trong khai triển ứng với k là: $20-2k=0\Leftrightarrow k=10$ $20-2k=0\Leftrightarrow k=10$.

Số hạng không chứa x trong khai triển là: $C_{20}^{10}{{.2}^{10}}$ $C_{20}^{10}{{.2}^{10}}$.

Số hạng chứa ${{x}^{4}}$ ${{x}^{4}}$ trong khai triển ứng với k là: $20-2k=4\Leftrightarrow k=8$ $20-2k=4\Leftrightarrow k=8$.

Vậy số hạng chứa ${{x}^{4}}$ ${{x}^{4}}$ trong khai triển có hệ số là: $C_{20}^{8}{{.2}^{12}}$ $C_{20}^{8}{{.2}^{12}}$.

Ví dụ 5: Tính tổng: $S=\frac{1}{2}C_{n}^{0}-\frac{1}{4}c_{n}^{1}+\frac{1}{6}C_{n}^{3}-\frac{1}{8}C_{n}^{4}+...+\frac{\left( -1 \right)}{2\left( n+1 \right)}C_{n}^{n}$ $S=\frac{1}{2}C_{n}^{0}-\frac{1}{4}c_{n}^{1}+\frac{1}{6}C_{n}^{3}-\frac{1}{8}C_{n}^{4}+...+\frac{\left( -1 \right)}{2\left( n+1 \right)}C_{n}^{n}$.

Hướng dẫn giải

Ta có:

$S=\frac{1}{2}\left( C_{n}^{0}-\frac{1}{2}c_{n}^{1}+\frac{1}{3}C_{n}^{3}-\frac{1}{4}C_{n}^{4}+...+\frac{\left( -1 \right)}{n+1}C_{n}^{n} \right)$ $S=\frac{1}{2}\left( C_{n}^{0}-\frac{1}{2}c_{n}^{1}+\frac{1}{3}C_{n}^{3}-\frac{1}{4}C_{n}^{4}+...+\frac{\left( -1 \right)}{n+1}C_{n}^{n} \right)$

Vì $\frac{{{\left( -1 \right)}^{k}}}{k+1}C_{n}^{k}=\frac{{{\left( -1 \right)}^{k}}}{k+1}C_{n+1}^{k+1}$ $\frac{{{\left( -1 \right)}^{k}}}{k+1}C_{n}^{k}=\frac{{{\left( -1 \right)}^{k}}}{k+1}C_{n+1}^{k+1}$

$\Leftrightarrow S=\frac{1}{2\left( n+1 \right)}\sum\limits_{k=0}^{n}{{{\left( -1 \right)}^{k}}C_{n+1}^{k+1}}$ $\Leftrightarrow S=\frac{1}{2\left( n+1 \right)}\sum\limits_{k=0}^{n}{{{\left( -1 \right)}^{k}}C_{n+1}^{k+1}}$

$=\frac{-1}{2\left( n+1 \right)}\left( \sum\limits_{k=0}^{n+1}{{{\left( -1 \right)}^{k}}C_{n+1}^{k}-C_{n+1}^{0}} \right)=\frac{1}{2\left( n+1 \right)}$ $=\frac{-1}{2\left( n+1 \right)}\left( \sum\limits_{k=0}^{n+1}{{{\left( -1 \right)}^{k}}C_{n+1}^{k}-C_{n+1}^{0}} \right)=\frac{1}{2\left( n+1 \right)}$

Ví dụ. Khai triển nhị thức Newton $\left( x^{2} - y \right)^{5}$ $\left( x^{2} - y \right)^{5}$.

Hướng dẫn giải

Ta có:

$\left( x^{2} - y \right)^{5} = \sum_{k = 0}^{5}{C_{5}^{k}.\left( x^{2} \right)^{5 - k}.( - y)^{k}}$ $\left( x^{2} - y \right)^{5} = \sum_{k = 0}^{5}{C_{5}^{k}.\left( x^{2} \right)^{5 - k}.( - y)^{k}}$

$= C_{5}^{0}.\left( x^{2} \right)^{5} + C_{5}^{1}.\left( x^{2} \right)^{4}( - y) + C_{5}^{2}.\left( x^{2} \right)^{3}( - y)^{2}$ $= C_{5}^{0}.\left( x^{2} \right)^{5} + C_{5}^{1}.\left( x^{2} \right)^{4}( - y) + C_{5}^{2}.\left( x^{2} \right)^{3}( - y)^{2}$

$+ C_{5}^{3}.\left( x^{2} \right)^{2}( - y)^{3} + C_{5}^{4}.\left( x^{2} \right)^{1}( - y)^{4} + C_{5}^{5}.\left( x^{2} \right)^{0}( - y)^{5}$ $+ C_{5}^{3}.\left( x^{2} \right)^{2}( - y)^{3} + C_{5}^{4}.\left( x^{2} \right)^{1}( - y)^{4} + C_{5}^{5}.\left( x^{2} \right)^{0}( - y)^{5}$

$= x^{10} - 5x^{8}y + 10x^{6}y^{2} - 10x^{4}y^{3} + 5x^{2}y^{4} - y^{5}$ $= x^{10} - 5x^{8}y + 10x^{6}y^{2} - 10x^{4}y^{3} + 5x^{2}y^{4} - y^{5}$

Ví dụ. Tổng các hệ số trong khai triển nhị thức Newton của $(2x - 3)^{5}$ $(2x - 3)^{5}$.

Hướng dẫn giải

Ta có:

$(2x - 3)^{5} = C_{5}^{0}(2x)^{5}.( - 3)^{0} + C_{5}^{1}.(2x)^{4}.( - 3)^{1}$ $(2x - 3)^{5} = C_{5}^{0}(2x)^{5}.( - 3)^{0} + C_{5}^{1}.(2x)^{4}.( - 3)^{1}$

$+ ... + C_{5}^{4}.(2x)^{1}.( - 3)^{4} + C_{5}^{5}.(2x)^{0}.( - 3)^{5}$ $+ ... + C_{5}^{4}.(2x)^{1}.( - 3)^{4} + C_{5}^{5}.(2x)^{0}.( - 3)^{5}$

$= C_{5}^{0}2^{5}.( - 3)^{0}.x^{5} + C_{5}^{1}.2^{4}.( - 3)^{1}.x^{4}$ $= C_{5}^{0}2^{5}.( - 3)^{0}.x^{5} + C_{5}^{1}.2^{4}.( - 3)^{1}.x^{4}$

$+ ... + C_{5}^{4}.2.( - 3)^{4}.x + C_{5}^{5}.( - 3)^{5}$ $+ ... + C_{5}^{4}.2.( - 3)^{4}.x + C_{5}^{5}.( - 3)^{5}$

Cho $x = 1$ ta được:

$(2.1 - 3)^{5} = C_{5}^{0}2^{5}.( - 3)^{0}.1^{5} + C_{5}^{1}.2^{4}.( - 3)^{1}.1^{4}$ $(2.1 - 3)^{5} = C_{5}^{0}2^{5}.( - 3)^{0}.1^{5} + C_{5}^{1}.2^{4}.( - 3)^{1}.1^{4}$ $+ ... + C_{5}^{4}.2.( - 3)^{4}.1 + C_{5}^{5}.( - 3)^{5} = - 1$ $+ ... + C_{5}^{4}.2.( - 3)^{4}.1 + C_{5}^{5}.( - 3)^{5} = - 1$

Vậy tổng hệ số trong khai triển đã cho bằng -1.

Ví dụ. Tìm số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức Newton $\left( x^{2} + \frac{1}{x^{2}} \right)^{n},(x > 0)$ $\left( x^{2} + \frac{1}{x^{2}} \right)^{n},(x > 0)$. Biết rằng $C_{n}^{0} + 3C_{n}^{1} + 9C_{n}^{2} + ... + 3^{n}.C_{n}^{n} = 256$ $C_{n}^{0} + 3C_{n}^{1} + 9C_{n}^{2} + ... + 3^{n}.C_{n}^{n} = 256$.

Hướng dẫn giải

Ta có:

$C_{n}^{0} + 3C_{n}^{1} + 9C_{n}^{2} + ... + 3^{n}.C_{n}^{n} = 256$ $C_{n}^{0} + 3C_{n}^{1} + 9C_{n}^{2} + ... + 3^{n}.C_{n}^{n} = 256$

$\Leftrightarrow (1 + 3)^{n} = 256 \Leftrightarrow 4^{n} = 256 \Leftrightarrow n = 4$ $\Leftrightarrow (1 + 3)^{n} = 256 \Leftrightarrow 4^{n} = 256 \Leftrightarrow n = 4$

Xét khai triển $\left( x^{2} + \frac{1}{x^{2}} \right)^{n},(x > 0)$ $\left( x^{2} + \frac{1}{x^{2}} \right)^{n},(x > 0)$

Số hạng tổng quát $C_{4}^{k}.\left( x^{2} \right)^{4 - k}.\left( \frac{1}{x^{2}} \right)^{k} = C_{4}^{k}.x^{8 - 4k}$ $C_{4}^{k}.\left( x^{2} \right)^{4 - k}.\left( \frac{1}{x^{2}} \right)^{k} = C_{4}^{k}.x^{8 - 4k}$

Số hạng không chứa x ứng với $8 - 4k = 0 \Leftrightarrow k = 2$ $8 - 4k = 0 \Leftrightarrow k = 2$

Suy ra số hạng không chứa x là $C_{4}^{2} = 6$ $C_{4}^{2} = 6$.

Ví dụ. Tìm hệ số của $x^{3}$ $x^{3}$ trong khai triển $f(x) = (1 + x)^{3} + (1 + x)^{4} + (1 + x)^{5}$ $f(x) = (1 + x)^{3} + (1 + x)^{4} + (1 + x)^{5}$ thành đa thức?

Hướng dẫn giải

Số hạng chứa $x^{3}$ $x^{3}$ trong khai triển $(1 + x)^{3}$ $(1 + x)^{3}$ là $x^{3}$ $x^{3}$

Số hạng chứa $x^{3}$ $x^{3}$ trong khai triển $(1 + x)^{4}$ $(1 + x)^{4}$ là $C_{4}^{3}x^{3} = 4x^{3}$ $C_{4}^{3}x^{3} = 4x^{3}$

Số hạng chứa $x^{3}$ $x^{3}$ trong khai triển $(1 + x)^{5}$ $(1 + x)^{5}$ là $C_{5}^{3}x^{3} = 10x^{3}$ $C_{5}^{3}x^{3} = 10x^{3}$

Do đó tổng các số hạng chứa $x^{3}$ $x^{3}$ trong khai triển đã cho là: $x^{3} + 4x^{3} + 10x^{3} = 15x^{3}$ $x^{3} + 4x^{3} + 10x^{3} = 15x^{3}$

Vậy hệ số cần tìm là $15$.

Ví dụ. Tìm số hạng chứa $x^{3}$ $x^{3}$ trong khai triển $P(x) = (x + 2)^{5} - (x - 3)^{4}$ $P(x) = (x + 2)^{5} - (x - 3)^{4}$ thành đa thức?

Hướng dẫn giải

Số hạng chứa $x^{3}$ $x^{3}$ trong khai triển $(x + 2)^{5}$ $(x + 2)^{5}$ là $C_{5}^{2}.2^{2}.x^{3} = 40x^{3}$ $C_{5}^{2}.2^{2}.x^{3} = 40x^{3}$

Số hạng chứa $x^{3}$ $x^{3}$ trong khai triển $(x - 3)^{4}$ $(x - 3)^{4}$ là $C_{4}^{1}.( - 3)^{1}.x^{3} = - 12x^{3}$ $C_{4}^{1}.( - 3)^{1}.x^{3} = - 12x^{3}$

Do đó số hạng chứa $x^{3}$ $x^{3}$ trong khai triển $P(x) = (x + 2)^{5} - (x - 3)^{4}$ $P(x) = (x + 2)^{5} - (x - 3)^{4}$ đã cho là: $40x^{3} - ( - 12)x^{3} = 52x^{3}$ $40x^{3} - ( - 12)x^{3} = 52x^{3}$

Vậy số hạng cần tìm là $52x^{3}$ $52x^{3}$.

Ví dụ: Biết rằng khai triển nhị thức Newton $(m + 2)^{n - 3}$ $(m + 2)^{n - 3}$ với $n\mathbb{\in N},n > 3;m \neq - 2$ $n\mathbb{\in N},n > 3;m \neq - 2$ có tất cả 6 số hạng. Hãy xác định $n$?

Hướng dẫn giải

Vì trong khai triển nhị thức Newton $(m + 2)^{n - 3}$ $(m + 2)^{n - 3}$ đã cho có tất cả 6 số hạng nên $n - 3 = 5 \Rightarrow n = 8$ $n - 3 = 5 \Rightarrow n = 8$

Vậy n = 8 là giá trị cần tìm.

Ví dụ: Khai triển biểu thức $\left( x^{2} - 5y \right)^{5}$ $\left( x^{2} - 5y \right)^{5}$ ta được:

A. $- x^{10} + 25x^{8}y - 250x^{6}y^{2} + 1250x^{4}y^{3} - 3125x^{2}y^{4} + 3125y^{5}$ $- x^{10} + 25x^{8}y - 250x^{6}y^{2} + 1250x^{4}y^{3} - 3125x^{2}y^{4} + 3125y^{5}$

B. $- x^{10} + 25x^{8}y - 250x^{6}y^{2} + 1250x^{4}y^{3} - 3125x^{2}y^{4} + 3125y^{5}$ $- x^{10} + 25x^{8}y - 250x^{6}y^{2} + 1250x^{4}y^{3} - 3125x^{2}y^{4} + 3125y^{5}$

C. $- x^{10} + 25x^{8}y - 250x^{6}y^{2} + 1250x^{4}y^{3} - 3125x^{2}y^{4} + 3125y^{5}$ $- x^{10} + 25x^{8}y - 250x^{6}y^{2} + 1250x^{4}y^{3} - 3125x^{2}y^{4} + 3125y^{5}$

D. $- x^{10} + 25x^{8}y - 250x^{6}y^{2} + 1250x^{4}y^{3} - 3125x^{2}y^{4} + 3125y^{5}$ $- x^{10} + 25x^{8}y - 250x^{6}y^{2} + 1250x^{4}y^{3} - 3125x^{2}y^{4} + 3125y^{5}$

Hướng dẫn giải

Ta có:

$\left( x^{2} - 5y \right)^{5}$ $\left( x^{2} - 5y \right)^{5}$

$= C_{5}^{0}.\left( x^{2} \right)^{5} + C_{5}^{1}\left( x^{2} \right)^{4}.( - 5y) + C_{5}^{2}.\left( x^{2} \right)^{3}.( - 5y)^{2}$ $= C_{5}^{0}.\left( x^{2} \right)^{5} + C_{5}^{1}\left( x^{2} \right)^{4}.( - 5y) + C_{5}^{2}.\left( x^{2} \right)^{3}.( - 5y)^{2}$

$+ C_{5}^{3}.\left( x^{2} \right)^{2}.( - 5y)^{3} + C_{5}^{4}.\left( x^{2} \right)^{1}.( - 5y)^{4} + C_{5}^{5}.\left( x^{2} \right)^{0}.( - 5y)^{5}$ $+ C_{5}^{3}.\left( x^{2} \right)^{2}.( - 5y)^{3} + C_{5}^{4}.\left( x^{2} \right)^{1}.( - 5y)^{4} + C_{5}^{5}.\left( x^{2} \right)^{0}.( - 5y)^{5}$

$=- x^{10} + 25x^{8}y - 250x^{6}y^{2} +1250x^{4}y^{3} - 3125x^{2}y^{4} + 3125y^{5}$ $=- x^{10} + 25x^{8}y - 250x^{6}y^{2} +1250x^{4}y^{3} - 3125x^{2}y^{4} + 3125y^{5}$

Ví dụ: Biết hệ số của $x^{2}$ $x^{2}$ trong khai triển nhị thức Newton của $(1 - 3x)^{n};\left( n\mathbb{\in N} \right)$ $(1 - 3x)^{n};\left( n\mathbb{\in N} \right)$ là $135$. Xác định giá trị $n$?

Hướng dẫn giải

Số hạng thứ $k + 1$ trong khai triển $(1 - 3x)^{n}$ $(1 - 3x)^{n}$ là:

$T_{k + 1} = C_{n}^{k}.( - 3)^{k}.x^{k}$ $T_{k + 1} = C_{n}^{k}.( - 3)^{k}.x^{k}$ với $1 \leq k \leq n$ $1 \leq k \leq n$ và $n,k \in \mathbb{N}^{*}$ $n,k \in \mathbb{N}^{*}$

Số hạng chứa $x^{2}$ $x^{2}$ ứng với $k = 2$

Ta có:

$C_{n}^{2}.( - 3)^{2} = 135 \Leftrightarrow C_{n}^{2} = 15$ $C_{n}^{2}.( - 3)^{2} = 135 \Leftrightarrow C_{n}^{2} = 15$

$\Leftrightarrow \frac{n!}{2!(n - 2)!} = 15 \Leftrightarrow n(n - 1) = 30$ $\Leftrightarrow \frac{n!}{2!(n - 2)!} = 15 \Leftrightarrow n(n - 1) = 30$

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} n = 6(TM) \\ n = - 5(L) \\ \end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} n = 6(TM) \\ n = - 5(L) \\ \end{matrix} \right.$

Vậy $n = 6$ là giá trị cần tìm thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Ví dụ: Xác định số hạng không chứa $x$ trong khai triển nhị thức $\left( x^{3} - \frac{1}{x^{2}} \right)^{5};(x \neq 0)$ $\left( x^{3} - \frac{1}{x^{2}} \right)^{5};(x \neq 0)$?

Hướng dẫn giải

Số hạng tổng quát trong khai triển nhị thức $\left( x^{3} - \frac{1}{x^{2}} \right)^{5};(x \neq 0)$ $\left( x^{3} - \frac{1}{x^{2}} \right)^{5};(x \neq 0)$ là:

$C_{5}^{k}.\left( x^{3} \right)^{5 - k}.\left( - \frac{1}{x^{2}} \right)^{k} = C_{5}^{k}.( - 1)^{k}.x^{15 - 5k}$ $C_{5}^{k}.\left( x^{3} \right)^{5 - k}.\left( - \frac{1}{x^{2}} \right)^{k} = C_{5}^{k}.( - 1)^{k}.x^{15 - 5k}$

Số hạng không chứa x khi và chỉ khi $15 - 5k = 0 \Rightarrow k = 3$ $15 - 5k = 0 \Rightarrow k = 3$

Suy ra số hạng không chứa x là: $C_{5}^{3}.( - 1)^{3} = - 10$ $C_{5}^{3}.( - 1)^{3} = - 10$.

Vậy -10 là giá trị cần tìm thỏa mãn yêu cầu đề bài.

III. Bài tập ứng dụng Nhị thức Newton tính tổng dãy số

Ví dụ 1: Tính tổng của dãy: $S = \frac{1}{2}.C_{n}^{0} - \frac{1}{4}C_{n}^{1} + \frac{1}{6}C_{n}^{3} + ... + \frac{( - 1)^{n}}{2(n + 1)}.C_{n}^{n}$ $S = \frac{1}{2}.C_{n}^{0} - \frac{1}{4}C_{n}^{1} + \frac{1}{6}C_{n}^{3} + ... + \frac{( - 1)^{n}}{2(n + 1)}.C_{n}^{n}$.

Hướng dẫn giải

Ta có:

$\begin{matrix} S = \frac{1}{2}.C_{n}^{0} - \frac{1}{4}C_{n}^{1} + \frac{1}{6}C_{n}^{3} + ... + \frac{( - 1)^{n}}{2(n + 1)}.C_{n}^{n} \\ \end{matrix}$ $\begin{matrix} S = \frac{1}{2}.C_{n}^{0} - \frac{1}{4}C_{n}^{1} + \frac{1}{6}C_{n}^{3} + ... + \frac{( - 1)^{n}}{2(n + 1)}.C_{n}^{n} \\ \end{matrix}$

$= \frac{1}{2}\left( C_{n}^{0} - \frac{1}{2}C_{n}^{1} + \frac{1}{3}C_{n}^{3} + ... + \frac{( - 1)^{n}}{n + 1}.C_{n}^{n} \right)$ $= \frac{1}{2}\left( C_{n}^{0} - \frac{1}{2}C_{n}^{1} + \frac{1}{3}C_{n}^{3} + ... + \frac{( - 1)^{n}}{n + 1}.C_{n}^{n} \right)$

Ta có: $\frac{( - 1)^{k}}{k + 1}.C_{n}^{k} = \frac{( - 1)^{k}}{n + 1}.C_{n + 1}^{k + 1}$ $\frac{( - 1)^{k}}{k + 1}.C_{n}^{k} = \frac{( - 1)^{k}}{n + 1}.C_{n + 1}^{k + 1}$ nên suy ra:

$S = \frac{1}{2(n + 1)}\sum_{k = 0}^{n}{( - 1)^{k}C_{n + 1}^{k + 1}}$ $S = \frac{1}{2(n + 1)}\sum_{k = 0}^{n}{( - 1)^{k}C_{n + 1}^{k + 1}}$

$= \frac{- 1}{2(n + 1)}.\left( \sum_{k = 0}^{n + 1}{( - 1)^{k}C_{n + 1}^{k}} - C_{n + 1}^{0} \right) = \frac{1}{2(n + 1)}$ $= \frac{- 1}{2(n + 1)}.\left( \sum_{k = 0}^{n + 1}{( - 1)^{k}C_{n + 1}^{k}} - C_{n + 1}^{0} \right) = \frac{1}{2(n + 1)}$

Ví dụ 2: Tính tổng của dãy: $S = C_{n}^{1}3^{n - 1} + 2C_{n}^{2}3^{n - 2} + 3C_{n}^{3}.3^{n - 3} + ... + nC_{n}^{n}$ $S = C_{n}^{1}3^{n - 1} + 2C_{n}^{2}3^{n - 2} + 3C_{n}^{3}.3^{n - 3} + ... + nC_{n}^{n}$.

Hướng dẫn giải

Ta có: $S = C_{n}^{1}3^{n - 1} + 2C_{n}^{2}3^{n - 2} + 3C_{n}^{3}.3^{n - 3} + \ldots + nC_{n}^{n}$ $S = C_{n}^{1}3^{n - 1} + 2C_{n}^{2}3^{n - 2} + 3C_{n}^{3}.3^{n - 3} + \ldots + nC_{n}^{n}$

$= 3^{n}\sum_{k = 1}^{n}{k.C_{n}^{k}.\left( \frac{1}{3} \right)^{k}}$ $= 3^{n}\sum_{k = 1}^{n}{k.C_{n}^{k}.\left( \frac{1}{3} \right)^{k}}$

Do $kC_{k}^{n}.\left( \frac{1}{3} \right)^{k} = n.\left( \frac{1}{3} \right)^{k}.C_{n - 1}^{k - 1},k \geq 1$ $kC_{k}^{n}.\left( \frac{1}{3} \right)^{k} = n.\left( \frac{1}{3} \right)^{k}.C_{n - 1}^{k - 1},k \geq 1$

$\Leftrightarrow S = 3^{n}\sum_{k = 1}^{n}{k.C_{n}^{k}.\left( \frac{1}{3} \right)^{k}} = 3^{n}.n.\sum_{k = 1}^{n}{C_{n - 1}^{k - 1}.\left( \frac{1}{3} \right)^{k}}$ $\Leftrightarrow S = 3^{n}\sum_{k = 1}^{n}{k.C_{n}^{k}.\left( \frac{1}{3} \right)^{k}} = 3^{n}.n.\sum_{k = 1}^{n}{C_{n - 1}^{k - 1}.\left( \frac{1}{3} \right)^{k}}$

$= 3^{n - 1}.n.\sum_{k = 1}^{n - 1}{C_{n - 1}^{k}.\left( \frac{1}{3} \right)^{k} = 3^{n - 1}.n.\left( 1 + \frac{1}{3} \right)^{n - 1} = n.4^{n - 1}}$ $= 3^{n - 1}.n.\sum_{k = 1}^{n - 1}{C_{n - 1}^{k}.\left( \frac{1}{3} \right)^{k} = 3^{n - 1}.n.\left( 1 + \frac{1}{3} \right)^{n - 1} = n.4^{n - 1}}$

Ví dụ 2: Chứng minh rằng $\sin x + sin2x + sin3x + ... + \sin nx = \frac{\sin\frac{nx}{2}.sin\frac{(n + 1)x}{2}}{\sin\frac{x}{2}}$ $\sin x + sin2x + sin3x + ... + \sin nx = \frac{\sin\frac{nx}{2}.sin\frac{(n + 1)x}{2}}{\sin\frac{x}{2}}$ với $x \neq k2\pi,n \geq 1$ $x \neq k2\pi,n \geq 1$

Hướng dẫn giải

Với $n = 1$ ta có $VT = \sin x,VP = \frac{\sin\frac{x}{2}.sinx}{\sin\frac{x}{2}} = \sin x = VT \Rightarrow (1)$ $VT = \sin x,VP = \frac{\sin\frac{x}{2}.sinx}{\sin\frac{x}{2}} = \sin x = VT \Rightarrow (1)$đúng

Giả sử (1) đúng với $n = k \geq 1$ $n = k \geq 1$ tức là:

$\sin x + sin2x + sin3x + ... + \sin kx = \frac{\sin\frac{kx}{2}.sin\frac{(k + 1)x}{2}}{\sin\frac{x}{2}}$ $\sin x + sin2x + sin3x + ... + \sin kx = \frac{\sin\frac{kx}{2}.sin\frac{(k + 1)x}{2}}{\sin\frac{x}{2}}$ (2)

Ta sẽ chứng minh (1) đúng với $n = k + 1$ tức là:

$\sin x + sin2x + sin3x + \ldots + \sin kx + \sin(k + 1)x$ $\sin x + sin2x + sin3x + \ldots + \sin kx + \sin(k + 1)x$

$= \frac{\sin\frac{(k + 1)x}{2}.sin\frac{(k + 2)x}{2}}{\sin\frac{x}{2}}$ $= \frac{\sin\frac{(k + 1)x}{2}.sin\frac{(k + 2)x}{2}}{\sin\frac{x}{2}}$

Tức là:

$\sin x + sin2x + sin3x + \ldots + \sin kx + \sin(k + 1)x$ $\sin x + sin2x + sin3x + \ldots + \sin kx + \sin(k + 1)x$

$= \frac{\sin\frac{kx}{2}.sin\frac{(k + 1)x}{2}}{\sin\frac{x}{2}} + \sin(k + 1)x$ $= \frac{\sin\frac{kx}{2}.sin\frac{(k + 1)x}{2}}{\sin\frac{x}{2}} + \sin(k + 1)x$

$= \frac{\sin\frac{kx}{2}.sin\frac{(k + 1)x}{2} + \sin\left\lbrack (k + 1)x \right\rbrack.sin\frac{x}{2}}{\sin\frac{x}{2}}$ $= \frac{\sin\frac{kx}{2}.sin\frac{(k + 1)x}{2} + \sin\left\lbrack (k + 1)x \right\rbrack.sin\frac{x}{2}}{\sin\frac{x}{2}}$

$= \frac{\sin\frac{kx}{2}.sin\frac{(k + 1)x}{2} + 2sin\frac{(k + 1)x}{2}.cos\frac{(k + 1)x}{2}.sin\frac{x}{2}}{\sin\frac{x}{2}}$ $= \frac{\sin\frac{kx}{2}.sin\frac{(k + 1)x}{2} + 2sin\frac{(k + 1)x}{2}.cos\frac{(k + 1)x}{2}.sin\frac{x}{2}}{\sin\frac{x}{2}}$

$= \sin\frac{(k + 1)x}{2}.\left\lbrack \frac{\sin\frac{kx}{2} + 2.cos\frac{(k + 1)x}{2}.sin\frac{x}{2}}{\sin\frac{x}{2}} \right\rbrack$ $= \sin\frac{(k + 1)x}{2}.\left\lbrack \frac{\sin\frac{kx}{2} + 2.cos\frac{(k + 1)x}{2}.sin\frac{x}{2}}{\sin\frac{x}{2}} \right\rbrack$

$= \frac{\sin\frac{(k + 1)x}{2}.sin\frac{(k + 2)x}{2}}{\sin\frac{x}{2}} = VP \Rightarrow dpcm$ $= \frac{\sin\frac{(k + 1)x}{2}.sin\frac{(k + 2)x}{2}}{\sin\frac{x}{2}} = VP \Rightarrow dpcm$

Vậy đẳng thức (1) đúng với mọi $x \neq k2\pi,n \geq 1$ $x \neq k2\pi,n \geq 1$.

IV. Bài tập tự luyện Nhị thức Newton

Bài tập 1: Viết khai triển theo công thức nhị thức Newton:

${{\left( 1+2x \right)}^{20}}$ ${{\left( 1+2x \right)}^{20}}$	${{\left( x+\frac{1}{3x} \right)}^{11}}$ ${{\left( x+\frac{1}{3x} \right)}^{11}}$
${{\left( \sqrt{x}-4x+6 \right)}^{8}}$ ${{\left( \sqrt{x}-4x+6 \right)}^{8}}$	${{\left( n+2m \right)}^{7}}$ ${{\left( n+2m \right)}^{7}}$

Bài tập2: Xét khai triển ${{\left( 3{{x}^{2}}+\frac{1}{x} \right)}^{30}}$ ${{\left( 3{{x}^{2}}+\frac{1}{x} \right)}^{30}}$

a. Tìm số hạng không chứa x trong khai triển.

b. Hệ số của số hạng chứa ${{x}^{6}}$ ${{x}^{6}}$ trong khai triển.

c. Số hạng thứ 11 trong khai triển.

Bài tập 3: Tính tổng: $S=C_{2n}^{0}+C_{2n}^{2}+C_{2n}^{4}+C_{2n}^{6}+...+C_{2n}^{2n}$ $S=C_{2n}^{0}+C_{2n}^{2}+C_{2n}^{4}+C_{2n}^{6}+...+C_{2n}^{2n}$

Bài tập 4: Tổng các hệ số nhị thức Newton trong khai triển ${{\left( 1+x \right)}^{3n}}$ ${{\left( 1+x \right)}^{3n}}$ là 64. Số hạng không chứa x trong khai triển ${{\left( 2nx+\frac{1}{2nx} \right)}^{2n}}.$ ${{\left( 2nx+\frac{1}{2nx} \right)}^{2n}}.$

Bài tập 5: Tìm số nguyên dương bé nhất n sao cho trong khai triển ${{\left( 1+x \right)}^{n}}$ ${{\left( 1+x \right)}^{n}}$ có hai hệ số liên tiếp có tỉ số là 7:15.

Bài tập 6. Khai triển biểu thức $(x + 1)^{4}$ $(x + 1)^{4}$ ta thu được kết quả:

A. $x^{4} + 4x^{3} + 6x^{2} + 4x + 1$ $x^{4} + 4x^{3} + 6x^{2} + 4x + 1$	B. $x^{4} + x^{3} + 6x^{2} + x + 1$ $x^{4} + x^{3} + 6x^{2} + x + 1$
C. $4x^{4} + 6x^{3} + 6x^{2} + 6x + 4$ $4x^{4} + 6x^{3} + 6x^{2} + 6x + 4$	D. $6x^{4} + 4x^{3} + 2x^{3} + 4x + 1$ $6x^{4} + 4x^{3} + 2x^{3} + 4x + 1$

Bài tập 7. Khai triển $(x + 3y)^{4}$ $(x + 3y)^{4}$ thành đa thức ta được biểu thức gồm mấy số hạng?

$3$

$4$

$5$

$6$

Bài tập8. Chọn đáp án đúng khi khai triển nhị thức $(3x - 2y)^{4}$ $(3x - 2y)^{4}$ ?

A. $81x^{4} - 216x^{3}y + 216x^{2}y^{2} - 96xy^{3} + 16y^{4}$ $81x^{4} - 216x^{3}y + 216x^{2}y^{2} - 96xy^{3} + 16y^{4}$	B. $81x^{4} + 216x^{3}y - 216x^{2}y^{2} + 96xy^{3} - 16y^{4}$ $81x^{4} + 216x^{3}y - 216x^{2}y^{2} + 96xy^{3} - 16y^{4}$
C. $81x^{4} + 216x^{3}y + 216x^{2}y^{2} + 96xy^{3} + 16y^{4}$ $81x^{4} + 216x^{3}y + 216x^{2}y^{2} + 96xy^{3} + 16y^{4}$	D. $3x^{4} - 24x^{3}y - 36x^{2}y^{2} - 24xy^{3} + 2y^{4}$ $3x^{4} - 24x^{3}y - 36x^{2}y^{2} - 24xy^{3} + 2y^{4}$

Bài tập 9. Biết hệ số của $x^{2}$ $x^{2}$ trong khai triển nhị thức Newton của $(1 - 3x)^{n};\left( n\mathbb{\in N} \right)$ $(1 - 3x)^{n};\left( n\mathbb{\in N} \right)$ là $135$ . Xác định giá trị $n$ ?

A. $n = 6$	B. $n = 4$
C.$n = 7$	D. $n = 5$

Bài tập 10: Tính tổng các dãy sau:

a. $A = \left( C_{n}^{0} \right)^{2} + \left( C_{n}^{1} \right)^{2} + \left( C_{n}^{2} \right)^{2} + ... + (C_{n}^{n})^{2}$ $A = \left( C_{n}^{0} \right)^{2} + \left( C_{n}^{1} \right)^{2} + \left( C_{n}^{2} \right)^{2} + ... + (C_{n}^{n})^{2}$

b. $B = C_{n}^{1}3^{n - 1} + 2C_{n}^{2}3^{n - 2} + 3C_{n}^{3}3^{n - 3} + .... + nC_{n}^{n}$ $B = C_{n}^{1}3^{n - 1} + 2C_{n}^{2}3^{n - 2} + 3C_{n}^{3}3^{n - 3} + .... + nC_{n}^{n}$

Bài tập 11: Tính tổng các dãy cho dưới đây:

a. $D = C_{n}^{0}.C_{n}^{k} + C_{n}^{2}.C_{n - 1}^{k - 1} + ... + C_{n}^{k}C_{n - k}^{0},0 \leq k \leq n$ $D = C_{n}^{0}.C_{n}^{k} + C_{n}^{2}.C_{n - 1}^{k - 1} + ... + C_{n}^{k}C_{n - k}^{0},0 \leq k \leq n$

b. $E = C_{n}^{1} + 2C_{n}^{2} + 3C_{n}^{3} + ... + nC_{n}^{n}$ $E = C_{n}^{1} + 2C_{n}^{2} + 3C_{n}^{3} + ... + nC_{n}^{n}$

------------------------------------------------------------

Nắm vững công thức Nhị thức Newton đầy đủ sẽ giúp bạn dễ dàng xử lý các bài toán khai triển lũy thừa, tính toán nhanh hệ số, và vận dụng linh hoạt trong các dạng toán tổ hợp, đại số và giải tích. Đây không chỉ là công cụ hữu ích trong học tập mà còn là nền tảng quan trọng nếu bạn định hướng theo các ngành kỹ thuật, công nghệ, tài chính hay khoa học dữ liệu. Hãy luyện tập thường xuyên và áp dụng công thức vào các bài tập thực tế để củng cố kiến thức một cách vững chắc. Đừng quên lưu lại bài viết này như một “bí kíp” học toán hữu ích giúp bạn tự tin hơn trong các kỳ thi quan trọng.

Tải về Chọn file muốn tải về:

Công thức Nhị thức Newton đầy đủ

469,9 KB

Tải xuống Word
307 KB

Đóng Chỉ thành viên VnDoc PRO/PROPLUS tải được nội dung này! Đóng 79.000 / tháng Mua ngay Đặc quyền các gói Thành viên PRO Phổ biến nhất PRO+ Tải tài liệu Cao cấp 1 Lớp 30 lượt tải tài liệu Xem nội dung bài viết Trải nghiệm Không quảng cáo Làm bài trắc nghiệm không giới hạn Tìm hiểu thêm Mua cả năm Tiết kiệm tới 48%

Chia sẻ bởi: Đen2017

11 61.242 Bài viết đã được lưu Bài trước Mục lục Bài sau

Có thể bạn quan tâm

Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng! Xác thực ngay Số điện thoại này đã được xác thực! Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây! Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin Sắp xếp theo Mặc định Mới nhất Cũ nhất

Xóa Đăng nhập để Gửi Tìm bài trong mục này

A. CHUYÊN ĐỀ TỰ LUẬN
- Chuyên đề: Mệnh đề
  - Lý thuyết: Mệnh đề
  - Cách xác định mệnh đề, mệnh đề chứa biến
  - Cách xác định mệnh đề phủ định dễ hiểu nhất
  - Hướng dẫn cách xác định mệnh đề kéo theo và mệnh đề đảo
  - Xác định tính đúng sai của mệnh đề
  - Mệnh đề chứa kí hiệu ∀ (mọi) và ∃ (tồn tại)
  - Phát biểu mệnh đề điều kiện cần và đủ
  - Mệnh đề tương đương kèm ví dụ và bài tập
  - Phủ định mệnh đề
- Chuyên đề: Tập hợp và các phép toán trên tập hợp
  - Tập hợp
  - Các phép toán tập hợp
  - Cách xác định tập hợp
  - Các phép toán trên tập hợp
  - Giải toán bằng biểu đồ Ven
  - Bài tập ứng dụng thực tế của tập hợp Toán 10 – Có đáp án chi tiết
- Chuyên đề: Số gần đúng và sai số
  - Số gần đúng và sai số
- Chuyên đề: Hàm số bậc nhất và bậc hai
  - Lý thuyết: Hàm số
  - Hàm số y = ax + b
  - Hàm số bậc hai
    - Nhận biết hàm số bậc hai. Xác định tọa độ đỉnh, trục đối xứng của (P)
    - Cách vẽ đồ thị hàm số bậc hai và xác định chiều biến thiên (Dễ hiểu – Có ví dụ)
    - Sự tương giao của đồ thị hàm số bậc hai đầy đủ chi tiết
    - Tìm điểm cố định mà (P) luôn đi qua với mọi m
    - Tìm hàm số bậc hai thỏa điều kiện cho trước
    - Tìm GTLN, GTNN của hàm số bậc hai
    - Giải các bài toán thực tế ứng dụng hàm số bậc hai
  - Phương trình đường chuẩn của Parabol (P)
  - Tìm tập xác định của hàm số
  - Xét tính chẵn lẻ của hàm số
  - Xác định hàm số y = ax + b và sự tương giao của đồ thị hàm số
  - Xét tính đơn điệu (đồng biến, nghịch biến) của hàm số
  - Xét sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số bậc nhất
  - Đồ thị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối
  - Ứng dụng của hàm số bậc nhất trong chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất
  - Xác định hàm số bậc hai
  - Đồ thị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối và cho bởi nhiều công thức
  - Ứng dụng của hàm số bậc hai trong chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất
- Chuyên đề: Phương trình - Hệ phương trình
  - Đại cương về phương trình
  - Phương trình quy về phương trình bậc nhất, bậc hai
  - Phương trình và hệ phương trình bậc nhất nhiều ẩn
  - Tìm tập xác định của phương trình
  - Giải phương trình bằng phương pháp biến đổi tương đương
  - Giải và biện luận phương trình bậc nhất
  - Giải và biện luận phương trình bậc hai
  - Nghiệm của phương trình bậc hai
  - Phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối
  - Chuyên đề: Phương trình chứa ẩn ở mẫu
  - Phương trình chứa ẩn dưới dấu căn
  - Các dạng phương trình quy về phương trình bậc hai
  - Các dạng hệ phương trình đặc biệt
- Chuyên đề: Bất đẳng thức - Bất phương trình
  - Bất đẳng thức
  - Bất phương trình và hệ bất phương trình một ẩn
  - Tìm m để bất phương trình có nghiệm
  - Tìm m để bất phương trình nghiệm đúng với mọi x
  - Dấu của nhị thức bậc nhất
  - Bất phương trình bậc nhất hai ẩn
  - Dấu của tam thức bậc hai
  - Giải bất phương trình chứa căn bằng phép biến đổi tương đương
  - Giải bất phương trình chứa căn bằng cách đánh giá
  - Giải bất phương trình chứa căn bằng cách đặt ẩn phụ
  - Tập nghiệm của bất phương trình
- Chuyên đề: Thống kê
  - Bảng phân bố tần số và tần suất
  - Chuyên đề: Biểu đồ
  - Số trung bình cộng - Số trung vị - Mốt
  - Phương sai và độ lệch chuẩn
  - Hướng dẫn cách bấm máy tính Casio giải toán thống kê lớp 10
- Chuyên đề: Cung và góc lượng giác - Công thức lượng giác
  - Cung và góc lượng giác
  - Giá trị lượng giác của một cung
  - Công thức lượng giác
  - Các định nghĩa về Vecto
- Chuyên đề: Vectơ
  - Các định nghĩa về Vecto
  - Tổng và hiệu của hai vectơ
  - Tích của vectơ với một số
  - Hệ trục tọa độ
- Chuyên đề: Tích vô hướng của hai vectơ và ứng dụng
  - Giá trị lượng giác của một góc bất kì từ 0o đến 180o
- Chuyên đề Ba đường Conic
  - Phương trình Elip trong mặt phẳng tọa độ Oxy
  - Cách lập phương trình chính tắc của elip
  - Tìm tọa độ đỉnh, tiêu cự, tiêu điểm, tâm sai, trục lớn, trục nhỏ của Elip
  - Tìm M thuộc elip (E) sao cho
  - Lập phương trình chính tắc Hypebol (cách giải chi tiết)
  - Phương trình Parabol trong mặt phẳng tọa độ
  - Bài toán thực tế về ba đường Conic có đáp án
- Chuyên đề: Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng
  - Phương trình tổng quát của đường thẳng
  - Viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm
  - Cách tính Khoảng cách từ một điểm tới đường thẳng
  - Cách lập phương trình đường tròn trong mặt phẳng tọa độ (kèm ví dụ giải chi tiết)
  - Nhận dạng phương trình đường tròn, tìm tọa độ tâm và tìm bán kính
  - Vị trí tương đối của điểm với đường thẳng, đường tròn với đường tròn
  - Bộ bài tập trắc nghiệm Phương trình đường tròn cơ bản – Có đáp án
  - Bộ bài tập trắc nghiệm Viết phương trình đường tròn - Có đáp án
B. CHUYÊN ĐỀ TRẮC NGHIỆM
- Bài tập Mệnh đề, mệnh đề chứa biến có đáp án chi tiết
- Bài tập Mệnh đề phủ định Có đáp án (mức độ nhận biết)
- Bài tập Mệnh đề phủ định có đáp án (mức độ Thông hiểu)
- Bài tập Mệnh đề kéo theo, mệnh đề đảo Có đáp án
- Bài tập Mệnh đề chứa kí hiệu với mọi và tồn tại Có đáp án chi tiết
- Bài tập: Phần tử tập hợp, xác định tập hợp có đáp án
- Bài tập Toán 10 Tập hợp con có đáp án chi tiết
- Bài tập Tập hợp bằng nhau Toán 10 có đáp án chi tiết
- Bài tập tìm giao các tập hợp Toán 10 có đáp án chi tiết
- Bài tập tìm hợp các tập hợp Toán 10 có đáp án chi tiết
- Bài tập Tìm hiệu và phần bù của tập hợp – Có lời giải chi tiết
- Bài tập Tìm hiệu và phần bù của tập hợp – Có lời giải chi tiết
- Các phép toán trên tập hợp chứa tham số Có đáp án chi tiết

Lớp 10
Toán lớp 10
Chuyên đề Toán 10
Đề thi khảo sát chất lượng đầu năm lớp 10
Đề thi giữa kì 1 lớp 10
Đề thi học kì 1 lớp 10
Đề thi giữa kì 2 lớp 10
Đề thi học kì 2 lớp 10
Thi học sinh giỏi lớp 10
Đề kiểm tra 15 phút lớp 10
Toán 10 Kết nối tri thức
Toán 10 Chân trời sáng tạo
Toán 10 Cánh Diều
Lý thuyết Toán 10 KNTT
Lý thuyết Toán 10 CTST

Tham khảo thêm

Tập nghiệm của bất phương trình
Tìm m để đường thẳng cắt Parabol tại hai điểm phân biệt
Hướng dẫn cách quy tròn số gần đúng chi tiết kèm ví dụ minh họa
Phương trình tổng quát của đường thẳng
Tìm m để ba đường thẳng đồng quy tại một điểm
Bài tập tích vô hướng của hai vectơ
Viết phương trình tham số, phương trình chính tắc của đường thẳng
Xác định vectơ chỉ phương của đường thẳng
Xác định Parabol y = ax^2 + bx + c
Ứng dụng của hàm số liên tục môn Toán lớp 11

Chuyên đề Toán 10

Xác định vectơ chỉ phương của đường thẳng
Xác định Parabol y = ax^2 + bx + c
Tìm m để đường thẳng cắt Parabol tại hai điểm phân biệt
Hướng dẫn cách quy tròn số gần đúng chi tiết kèm ví dụ minh họa
Viết phương trình tham số, phương trình chính tắc của đường thẳng
Phương trình tổng quát của đường thẳng

Xem thêm

Gợi ý cho bạn

Bài tập tiếng Anh lớp 10 Unit 1 Family life nâng cao
TOP 13 Viết thư cho ông bà để hỏi thăm và kể về tình hình gia đình em lớp 4
Được 18-20 điểm khối A1 nên đăng ký trường nào?
Bài tập cuối tuần môn Toán lớp 6 Cánh diều - Tuần 1

Xem thêm

Từ khóa » Tính Tổng Tổ Hợp Lớp 11

${{\left( 1+2x \right)}^{20}}$ \({{\left( 1+2x \right)}^{20}}\)	${{\left( x+\frac{1}{3x} \right)}^{11}}$ \({{\left( x+\frac{1}{3x} \right)}^{11}}\)
${{\left( \sqrt{x}-4x+6 \right)}^{8}}$ \({{\left( \sqrt{x}-4x+6 \right)}^{8}}\)	${{\left( n+2m \right)}^{7}}$ \({{\left( n+2m \right)}^{7}}\)

A. $x^{4} + 4x^{3} + 6x^{2} + 4x + 1$ \(x^{4} + 4x^{3} + 6x^{2} + 4x + 1\)	B. $x^{4} + x^{3} + 6x^{2} + x + 1$ \(x^{4} + x^{3} + 6x^{2} + x + 1\)
C. $4x^{4} + 6x^{3} + 6x^{2} + 6x + 4$ \(4x^{4} + 6x^{3} + 6x^{2} + 6x + 4\)	D. $6x^{4} + 4x^{3} + 2x^{3} + 4x + 1$ \(6x^{4} + 4x^{3} + 2x^{3} + 4x + 1\)

A. $81x^{4} - 216x^{3}y + 216x^{2}y^{2} - 96xy^{3} + 16y^{4}$ \(81x^{4} - 216x^{3}y + 216x^{2}y^{2} - 96xy^{3} + 16y^{4}\)	B. $81x^{4} + 216x^{3}y - 216x^{2}y^{2} + 96xy^{3} - 16y^{4}$ \(81x^{4} + 216x^{3}y - 216x^{2}y^{2} + 96xy^{3} - 16y^{4}\)
C. $81x^{4} + 216x^{3}y + 216x^{2}y^{2} + 96xy^{3} + 16y^{4}$ \(81x^{4} + 216x^{3}y + 216x^{2}y^{2} + 96xy^{3} + 16y^{4}\)	D. $3x^{4} - 24x^{3}y - 36x^{2}y^{2} - 24xy^{3} + 2y^{4}$ \(3x^{4} - 24x^{3}y - 36x^{2}y^{2} - 24xy^{3} + 2y^{4}\)

A. \(n = 6\)	B. \(n = 4\)
C.\(n = 7\)	D. \(n = 5\)

Mầm non

Lớp 1

Lớp 2

Lớp 3

Lớp 4

Lớp 5

Lớp 6

Lớp 7

Lớp 8

Lớp 9

Lớp 10

Lớp 11

Lớp 12

Thi vào lớp 6

Thi vào lớp 10

Thi Tốt Nghiệp THPT

Đánh Giá Năng Lực

Khóa Học Trực Tuyến

Hỏi bài

Trắc nghiệm Online

Tiếng Anh

Thư viện Học liệu

Bài tập Cuối tuần

Bài tập Hàng ngày

Thư viện Đề thi

Giáo án - Bài giảng

Tất cả danh mục

Nâng cấp gói Pro để trải nghiệm website VnDoc.com KHÔNG quảng cáo, và tải file cực nhanh không chờ đợi.

Công thức Nhị thức Newton nâng cao đầy đủ

I. Nhị thức Newton

1. Tổ hợp là gì?

Công thức tổ hợp

2. Công thức Nhị thức Newton

4. Một số công thức thường dùng trong các bài tập

5. Công thức Newton mở rộng

6. Dấu hiệu sử dụng nhị thức Newton

7. Tam giác Pascal

II. Bài tập nhị thức Newton

III. Bài tập ứng dụng Nhị thức Newton tính tổng dãy số

IV. Bài tập tự luyện Nhị thức Newton

Công thức Nhị thức Newton đầy đủ

Tải xuống Word

Có thể bạn quan tâm

A. CHUYÊN ĐỀ TỰ LUẬN

B. CHUYÊN ĐỀ TRẮC NGHIỆM

Lớp 10

Toán lớp 10

Chuyên đề Toán 10

Đề thi khảo sát chất lượng đầu năm lớp 10

Đề thi giữa kì 1 lớp 10

Đề thi học kì 1 lớp 10

Đề thi giữa kì 2 lớp 10

Đề thi học kì 2 lớp 10

Thi học sinh giỏi lớp 10

Đề kiểm tra 15 phút lớp 10

Toán 10 Kết nối tri thức

Toán 10 Chân trời sáng tạo

Toán 10 Cánh Diều

Lý thuyết Toán 10 KNTT

Lý thuyết Toán 10 CTST

Tham khảo thêm

Tập nghiệm của bất phương trình

Tìm m để đường thẳng cắt Parabol tại hai điểm phân biệt

Hướng dẫn cách quy tròn số gần đúng chi tiết kèm ví dụ minh họa

Phương trình tổng quát của đường thẳng

Tìm m để ba đường thẳng đồng quy tại một điểm

Bài tập tích vô hướng của hai vectơ

Viết phương trình tham số, phương trình chính tắc của đường thẳng

Xác định vectơ chỉ phương của đường thẳng

Xác định Parabol y = ax^2 + bx + c

Ứng dụng của hàm số liên tục môn Toán lớp 11

Chuyên đề Toán 10

Xác định vectơ chỉ phương của đường thẳng

Xác định Parabol y = ax^2 + bx + c

Tìm m để đường thẳng cắt Parabol tại hai điểm phân biệt

Hướng dẫn cách quy tròn số gần đúng chi tiết kèm ví dụ minh họa

Viết phương trình tham số, phương trình chính tắc của đường thẳng

Phương trình tổng quát của đường thẳng

Gợi ý cho bạn

Bài tập tiếng Anh lớp 10 Unit 1 Family life nâng cao