Công Thức SIN COS - Bảng Công Thức Lượng Giác Cơ Bản Và Nâng Cao

Số lượt đọc bài viết: 17.615

Bảng công thức lượng giác cơ bản và nâng cao là kiến thức quan trọng trong chương trình toán học THPT. Bên cạnh đó, công thức sin cos trong lượng giác là các các cung đặc biệt yêu cầu học sinh cần nắm vững để giải các dạng toán liên quan. Trong nội dung bài viết dưới đây, DINHNGHIA.VN sẽ giúp bạn tổng hợp lý thuyết cũng như bài tập về chủ đề các công thức lượng giác cơ bản, nâng cao cũng như kiến thức cần nhớ về công thức sin cos, cùng tìm hiểu nhé!.

MỤC LỤC

• Định nghĩa hàm số lượng giác
• Lý thuyết về hàm sin
  • Hàm số sin là gì? 
  • Đồ thị hình sin
  • Cách tính sin
• Lý thuyết về hàm cos
  • Hàm số cos là gì?
  • Đồ thị hình cos
  • Cách tính cos
• Lý thuyết về hàm tang
  • Hàm tang là gì?
  • Đồ thị hình tang
  • Cách tính tang
• Lý thuyết về hàm cot
  • Hàm cot là gì?
  • Đồ thị hình cot
  • Cách tính cot
• Các hàm số lượng giác thường gặp 
  • Lý thuyết hàm số \(y=\sin x\)
    • Kiến thức hàm số \(y=\sin x\)
    • Các giá trị đặc biệt của \(y=\sin x\)
    • Đồ thị hàm số \(y=\sin x\)
  • Lý thuyết hàm số \(y=\cos x\)
    • Kiến thức hàm số \(y=\cos x\)
    • Các giá trị đặc biệt của \(y=\cos x\)
    • Đồ thị hàm số \(y=\cos x\)
  • Lý thuyết hàm số \(y=\tan x\)
    • Kiến thức hàm số \(y=\tan x\)
    • Các giá trị đặc biệt của hàm số \(y=\tan x\)
    • Đồ thị hàm số \(y=\tan x\)
  • Lý thuyết hàm số \(y=\cot x\)
    • Kiến thức hàm số \(y=\cot x\)
    • Các giá trị đặc biệt của hàm số \(y=\cot x\)
    • Đồ thị hàm số \(y=\cot x\)
• Định nghĩa tỉ số lượng giác là gì?
• Các tính chất của tỉ số lượng giác
• Bảng giá trị lượng giác đặc biệt 
• Các cung liên quan đặc biệt sin cos tan cot
  • Hai cung đối nhau
  • Hai cung bù nhau
  • Hai cung phụ nhau
  • Hai cung hơn, kém 
  • Cung hơn kém \(\frac{\pi}{2}\)
• Thơ ghi nhớ cung đặc biệt
• Các công thức lượng giác cơ bản
• Công thức cộng lượng giác
• Công thức nhân đôi lượng giác
• Công thức nhân ba lượng giác
• Công thức hạ bậc lượng giác
• Công thức biến đổi tổng thành tích
• Công thức biến đổi tích thành tổng
• Công thức lượng giác đặc biệt
• Công thức nghiệm của phương trình lượng giác cơ bản
• Một số trường hợp đặc biệt của công thức lượng giác 
• Cách nhớ nhanh thơ về công thức lượng giác
  • Tỉ số lượng giác
  • Công thức cộng lượng giác
  • Công thức nhân đôi
  • Công thức nhân ba
  • Công thức chia đôi
  • Công thức hạ bậc lượng giác
  • Công thức biến đổi tổng thành tích
  • Công thức biến đổi tích thành tổng
  • Hệ thức lượng trong tam giác vuông

Định nghĩa hàm số lượng giác

Hàm lượng giác được biết đến là những hàm toán học của góc và được dùng khi nghiên cứu tam giác và các hiện tượng có tính chất tuần hoàn.

Lý thuyết về hàm sin

Trước khi tìm hiểu về công thức Sin Cos, hãy cùng tham khảo về một số hàm cơ bản trong lượng giác.

Hàm số sin là gì? 

Trong một tam giác vuông thì sin của một góc nhọn được định nghĩa là tỷ lệ giữa cạnh góc vuông đối diện chia cho cạnh huyền. 

Đồ thị hình sin

Đồ thị hàm sin nằm trong khoảng \(\left ( -\infty;+\infty \right )\) và nhận giá trị từ \(\left [ -1;1 \right ]\) Ta có đồ thị hàm sin như sau:

Cách tính sin

Ví dụ: 

• \(\sin\alpha=\frac{a}{c}\)
• \(\sin\beta=\frac{b}{c}\)

Lý thuyết về hàm cos

Hàm số cos là gì?

Trong một tam giác vuông thì cos của một góc nhọn được định nghĩa chính là tỷ lệ giữa cạnh kề của cạnh góc vuông chia cho cạnh huyền. 

Đồ thị hình cos

Đồ thị hàm cos nằm trong khoảng \(\left ( -\infty;+\infty \right )\) và nhận giá trị từ \(\left [ -1;1 \right ]\).

Cách tính cos

Ví dụ: 

• \(\cos\alpha=\frac{b}{c}\)
• \(\cos\beta=\frac{a}{c}\)

Lý thuyết về hàm tang

Hàm tang là gì?

Trong một tam giác vuông thì tang của một góc nhọn được định nghĩa chính là tỷ lệ giữa cạnh đối diện và cạnh kề của góc đó.

Đồ thị hình tang

Đồ thị hình tang có miền xác định trên \(\mathbb{R}/\left \{ \frac{\pi}{2}+k\pi \right \}\), trong đó k nguyên và có giá trị từ \(\left ( -\infty;+\infty \right )\)

Cách tính tang

Ví dụ: 

• \(\tan\alpha=\frac{a}{b}\)
• \(\tan\beta=\frac{b}{a}\)

Lý thuyết về hàm cot

Hàm cot là gì?

Trong một tam giác vuông thì tang của một góc nhọn được định nghĩa chính là tỷ lệ giữa cạnh kề và cạnh đối diện của góc đó.

Đồ thị hình cot

Đồ thị hình cot có miền xác định trên \(\mathbb{R}/\left \{ k\pi \right \}\), trong đó k nguyên và có giá trị từ \(\left ( -\infty;+\infty \right )\)

Cách tính cot

Ví dụ:

• \(\cot\alpha=\frac{b}{a}\)
• \(\cot\beta=\frac{a}{b}\)

Các hàm số lượng giác thường gặp 

Lý thuyết hàm số \(y=\sin x\)

Kiến thức hàm số \(y=\sin x\)

• Tập xác định: \(\mathbb{R}\) và \(-1\le\sin x\le1,\forall x\in\mathbb{R}\).
• Hàm số \(y=\sin x\) là hàm lẻ.
• Hàm số \(y=\sin x\) là hàm số tuần hoàn với chu kỳ \(2\pi\).

Các giá trị đặc biệt của \(y=\sin x\)

• \(\sin x=0\) khi \(x=k\pi,k\in\mathbb{Z}\).
• \(\sin x=1\) khi \(x=\frac{\pi}{2}+k2\pi,k\in\mathbb{Z}\).
• \(\sin x=-1\) khi \(x=-\frac{\pi}{2}+k2\pi,k\in\mathbb{Z}\).

Đồ thị hàm số \(y=\sin x\)

Lý thuyết hàm số \(y=\cos x\)

Kiến thức hàm số \(y=\cos x\)

• Tập xác định: \(\mathbb{R}\) và \(-1\le\cos x\le1,\forall x\in\mathbb{R}\).
• Hàm số \(y=\cos x\) là hàm số chẵn.
• Hàm số \(y=\cos x\) là hàm số tuần hoàn với chu kỳ \(2\pi\).

Các giá trị đặc biệt của \(y=\cos x\)

• \(\cos x=0\) khi \(x=\frac{\pi}{2}+k\pi,k\in\mathbb{Z}\).
• \(\cos x=1\) khi \(x=k2\pi,k\in\mathbb{Z}\).
• \(\cos x=-1\) khi \(x=2\left ( k+1 \right )\pi,k\in\mathbb{Z}\).

Đồ thị hàm số \(y=\cos x\)

Lý thuyết hàm số \(y=\tan x\)

Kiến thức hàm số \(y=\tan x\)

• Hàm số \(y=\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}\)
• Miền xác định: \(D=\mathbb{R}/\left \{ \frac{\pi}{2}+k\pi,k\in\mathbb{Z} \right \}\).
• Hàm số \(y=\tan x\) là hàm số lẻ.
• Hàm số \(y=\tan x\) là hàm số tuần hoàn với chu kỳ \(\pi\)

Các giá trị đặc biệt của hàm số \(y=\tan x\)

• \(\tan x=0\) khi \(x=k\pi, k\in\mathbb{Z}\)
• \(\tan x=1\) khi \(x=\frac{\pi}{4}+k\pi, k\in\mathbb{Z}\)
• \(\tan x=-1\) khi \(x=-\frac{\pi}{4}+k\pi, k\in\mathbb{Z}\)

Đồ thị hàm số \(y=\tan x\)

Lý thuyết hàm số \(y=\cot x\)

Kiến thức hàm số \(y=\cot x\)

• Hàm số \(y=\cot x=\frac{\cos x}{\sin x}\)
• Tập xác định: \(D=\mathbb{R}/\left \{ k\pi,k\in\mathbb{Z} \right \}\)
• Hàm số \(y=\cot x\) là hàm số lẻ
• Hàm số \(y=\cot x\) là hàm số tuần hoàn với chu kỳ \(\pi\)

Các giá trị đặc biệt của hàm số \(y=\cot x\)

• \(\cot x=0\) khi \(x=\frac{\pi}{2}+k\pi,k\in\mathbb{Z}\).
• \(\cot x=1\) khi \(x=\frac{\pi}{4}+k\pi,k\in\mathbb{Z}\).
• \(\cot x=-1\) khi \(x=-\frac{\pi}{4}+k\pi,k\in\mathbb{Z}\).

Đồ thị hàm số \(y=\cot x\)

Định nghĩa tỉ số lượng giác là gì?

Cho tam giác ABC vuông tại A, với các giá trị của góc \(\alpha\) sẽ được định nghĩa như sau: 

• \(\sin\alpha=\frac{AB}{BC}\)
• \(\cos\alpha=\frac{AC}{BC}\)
• \(\tan\alpha=\frac{AB}{AC}\)
• \(\cot\alpha=\frac{AC}{AB}\)

Các tính chất của tỉ số lượng giác

• Nếu hai góc phụ nhau thì sin góc này bằng cos góc kia, tang góc này bằng cot góc kia. Tức là: Cho hai góc \(\alpha,\beta\) có \(\alpha+\beta=90^\circ\). Khi đó: \(\sin\alpha=\cos\beta;\cos\alpha=\sin\beta;\tan\alpha=\cot\beta;\cot\alpha=\tan\beta\).
• Nếu hai góc nhọn \(\alpha\) và \(\beta\) có \(\sin\alpha=\sin\beta\) hoặc \(\cos\alpha=\cos\beta\) thì \(\alpha=\beta\)
• Nếu \(\alpha\) là một góc nhọn bất kỳ thì 

\(0<\sin\alpha<1;\hspace{0.3cm}0<\cos\alpha<1;\hspace{0.3cm}\tan\alpha>0;\hspace{0.3cm}\cot\alpha>0\)

Bảng giá trị lượng giác đặc biệt 

Các cung liên quan đặc biệt sin cos tan cot

Hai cung đối nhau

• \(\cos\left ( -\alpha \right )=\cos\alpha\)
• \(\sin\left ( -\alpha \right )=-\sin\alpha\)
• \(\tan\left ( -\alpha \right )=-\tan\alpha\)
• \(\cot\left ( -\alpha \right )=-\cot\alpha\)

Hai cung bù nhau

• \(\sin\left (\pi -\alpha \right )=\sin\alpha\)
• \(\cos\left (\pi -\alpha \right )=-\cos\alpha\)
• \(\tan\left (\pi -\alpha \right )=-\tan\alpha\)
• \(\cot\left (\pi -\alpha \right )=-\cot\alpha\)

Hai cung phụ nhau

(\(\alpha\) và \(\frac{\pi}{2}-\alpha\))

• \(\sin\left (\frac{\pi}{2}-\alpha \right )=\cos\alpha\)
• \(\cos\left (\frac{\pi}{2}-\alpha \right )=\sin\alpha\)
• \(\tan\left (\frac{\pi}{2}-\alpha \right )=\cot\alpha\)
• \(\cot\left (\frac{\pi}{2}-\alpha \right )=\tan\alpha\)

Hai cung hơn, kém 

\(\pi\): (\(\alpha\) và \(\pi+\alpha\))

• \(\sin\left ( \pi+\alpha \right )=-\sin\alpha\)
• \(\cos\left ( \pi+\alpha \right )=-\cos\alpha\)
• \(\tan\left ( \pi+\alpha \right )=\tan\alpha\)
• \(\cot\left ( \pi+\alpha \right )=\cot\alpha\)

Cung hơn kém \(\frac{\pi}{2}\)

• \(\cos\left ( \frac{\pi}{2}+x \right )=-\sin x\)
• \(\sin\left ( \frac{\pi}{2}+x \right )=\cos x\)

Thơ ghi nhớ cung đặc biệt

Cos đối; Sin bù; phụ chéo; khác \(\pi\) tang và cot.

Cosin của 2 góc thì bằng nhau

Sin của 2 góc bù nhau cũng bằng nhau

Phụ chéo là hai góc phụ nhau thì sin góc này bằng cos góc kia

Tang góc này bằng cotang góc kia

Tang của hai góc hơn kém pi cũng bằng nhau.

Các công thức lượng giác cơ bản

• Sin= đối/ huyền.
• Cos= kề/ huyền.
• Tan= đối/ kề.
• Cot= kề/ huyền
• \(\sin^2x+\cos^2x=1\)
• \(1+\cot^2x=\frac{1}{\sin^2x},x\ne k\pi, k\in\mathbb{Z}\)
• \(1+\tan^2x=\frac{1}{\cos^2x},x\ne\frac{\pi}{2}+k\pi, k\in\mathbb{Z}\)
• \(\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}\)
• \(\cot x=\frac{\cos x}{\sin x}\)
• \(\tan x.\cot x=1,x\ne k\frac{\pi}{2},k\in\mathbb{Z}\)
• \(\sin^3\alpha+\cos^3\alpha=\left ( \sin\alpha+\cos\alpha \right )\left ( 1-\sin\alpha\cos\alpha \right )\)
• \(\sin^3\alpha-\cos^3\alpha=\left ( \sin\alpha-\cos\alpha \right )\left ( 1+\sin\alpha\cos\alpha \right )\)
• \(\sin^4\alpha+\cos^4\alpha=1-2\sin^2\alpha\cos^2\alpha\)
• \(\sin^4\alpha-\cos^4\alpha=\sin^2\alpha-\cos^2\alpha=-\cos2a\)
• \(\sin^6\alpha+\cos^6\alpha=1-3\sin^2\alpha\cos^2\alpha\)
• \(\sin^6\alpha-\cos^6\alpha=-\cos2\alpha\left ( 1-\sin^2\alpha\cos^2\alpha \right )\)

Cách ghi nhớ: Sin đi học, Cos không hư, tan đoàn kết, cotan kết đoàn

Công thức cộng lượng giác

• \(\sin\left ( a\pm b \right )=\sin a.\cos b\pm \cos a.\sin b\)
• \(\cos\left ( a\pm b \right )=\cos a.\cos b\mp \sin a.\sin b\)
• \(\tan\left ( a\pm b \right )=\frac{\tan a\pm \tan b}{1\mp \tan a.\tan b}\)

Công thức nhân đôi lượng giác

• \(\sin2a=2\sin a\cos a\)
• \(\cos2a=\cos^2 a-\sin^2 a=2\cos^2a-1=1-2\sin^2a\)
• \(\tan2a=\frac{2\tan a}{1-\tan^2a}\)

Công thức nhân ba lượng giác

• \(\sin3a=3\sin a-4\sin^3a\)
• \(\cos3a=4\cos^3a-3\cos a\)
• \(\tan3a=\frac{3\tan a-\tan^3a}{1-3\tan^2a}\)

Công thức hạ bậc lượng giác

• \(\sin^2a=\frac{1-\cos2a}{2}\)
• \(\cos^2a=\frac{1+\cos2a}{2}\)
• \(\sin^3a=\frac{3\sin a-\sin3a}{4}\)
• \(\cos^3a=\frac{3\cos a+\cos3a}{4}\)
• \(\tan^2\alpha=\frac{1-\cos2\alpha}{1+\cos2\alpha}\)

Công thức biến đổi tổng thành tích

• \(\cos a+\cos b=2\cos\frac{a+b}{2}\cos\frac{a-b}{2}\)
• \(\cos a-\cos b=-2\sin\frac{a+b}{2}\sin\frac{a-b}{2}\)
• \(\sin a+\sin b=2\sin\frac{a+b}{2}\cos\frac{a-b}{2}\)
• \(\sin a-\sin b=2\cos\frac{a+b}{2}\sin\frac{a-b}{2}\)
• \(\tan a+\tan b=\frac{\sin\left ( x+y \right )}{\cos x\cos y}\)
• \(\tan a-\tan b=\frac{\sin\left ( x-y \right )}{\cos x\cos y}\)
• \(\sin x+\cos x=\sqrt2\sin\left ( x+\frac{\pi}{4} \right )=\sqrt2\cos\left ( x-\frac{\pi}{4} \right )\)
• \(\sin x-\cos x=\sqrt2\sin\left ( x-\frac{\pi}{4} \right )=-\sqrt2\cos\left ( x+\frac{\pi}{4} \right )\)

Công thức biến đổi tích thành tổng

• \(\cos a.\cos b=\frac{1}{2}\left [\cos\left ( a+b \right )+\cos\left (a-b \right ) \right ]\)
• \(\sin a.\sin b=-\frac{1}{2}\left [\cos\left ( a+b \right )-\cos\left (a-b \right ) \right ]\)
• \(\sin a.\cos b=\frac{1}{2}\left [\sin\left ( a+b \right )-\sin\left (a-b \right ) \right ]\)

Công thức lượng giác đặc biệt

• \(1+\sin2x=\left ( \sin x+\cos x \right )^2\)
• \(1-\sin2x=\left ( \sin x-\cos x \right )^2\)
• \(\cos2x=\left ( \sin x-\cos x \right ).\left ( \sin x+\cos x \right )\)
• \(\cos^2x=\left (1- \sin x \right )\left ( 1+\sin x \right )\)
• \(\sin^2x=\left (1- \cos x \right )\left ( 1+\cos x \right )\)
• \(\sin^4x+\cos^4x =1-\frac{1}{2}\sin^2{2x}\)
• \(\sin^6x+\cos^6x =1-\frac{3}{4}\sin^2{2x}\)

Công thức nghiệm của phương trình lượng giác cơ bản

• \(\sin u=\sin v\Leftrightarrow\left [\begin{array}{l} u=v+k2\pi\\ u=\pi-v+k2\pi \end{array}\right.\)
• \(\cos u=\cos v\Leftrightarrow\left [\begin{array}{l} u=v+k2\pi\\ u=-v+k2\pi \end{array}\right.\)
• \(\tan u=\tan v\Leftrightarrow u=v+k\pi\)
• \(\cot u=\cot v\Leftrightarrow u=v+k\pi\)

Một số trường hợp đặc biệt của công thức lượng giác 

• \(\sin u=0\Leftrightarrow u=k\pi\)
• \(\sin u=1\Leftrightarrow u=\frac{\pi}{2}+k2\pi\)
• \(\sin u=-1\Leftrightarrow u=-\frac{\pi}{2}+k2\pi\)
• \(\cos u=0\Leftrightarrow u=\frac{\pi}{2}+k\pi\)
• \(\cos u=1\Leftrightarrow u=k2\pi\)
• \(\cos u=-1\Leftrightarrow u=\pi+k2\pi\)

Cách nhớ nhanh thơ về công thức lượng giác

Tỉ số lượng giác

Tìm sin lấy đối chia huyền

Cosin ta lấy kề huyền chia nhau

Còn tang ta hãy tính sau

Đối trên, kề dưới chia nhau ra liền

Cotang cũng dễ ăn tiền

Kề trên, đối dưới chia liền là ra.

Công thức cộng lượng giác

Sin thì sin cos, cos sin

Cos thì cos cos, sin sin dấu trừ

Tang thì tang cộng lấy tang

Mẫu còn số 1 tang tang dấu trừ.

Cos cộng cos bằng hai cos cos

cos trừ cos bằng trừ hai sin sin

Sin cộng sin bằng hai sin cos

sin trừ sin bằng hai cos sin.

Công thức nhân đôi

Sin gấp đôi bằng 2 sin cos

Cos gấp đôi bằng bình cos trừ bình sinh

Bằng trừ 1 cộng hai bình cos

Bằng 1 trừ hai bình sin

Tang gấp đôi, ta lấy 2 tang chia đi 1 trừ bình tang ra liền.

Công thức nhân ba

Nhân 3 một góc bất kỳ

Sin thì sin hết, cos thì cos thôi

Cơ mà hệ số hỡi ơi

Sin thì ba bốn, cos thời bốn ba

Dấu trừ đặt giữa hai ta

Lập phương chỗ bốn… thế là ok.

Công thức chia đôi

Ta sẽ tính theo t=tg(a/2)

Sin, cos mẫu giống nhau chả khác

Ai cũng là một cộng bình tê (1+t^2)

Sin thì tử có hai tê (2t),

cos thì tử có 1 trừ bình tê (1-t^2)

Công thức hạ bậc lượng giác

Chúng ta dựa vào thơ của công thức nhân đôi và nhân ba của cos, rồi từ đó ta suy ra công thức hạ bậc.

Công thức biến đổi tổng thành tích

Sin tổng lập tổng sin cô.

Cô tổng lập hiệu đôi cô đôi chàng.

Tang tổng thì lập tổng hai tang.

Một trừ tang tích mẫu mang thương sầu.

Gặp hiệu ta chớ phải lo.

Đổi trừ thành cộng ghi sâu trong lòng

Công thức biến đổi tích thành tổng

Cos cos nửa cos cộng, cộng cos trừ

Sin sin nửa cos trừ trừ cos cộng

Sin cos nửa sin cộng cộng sin trừ.

Hệ thức lượng trong tam giác vuông

Sao Đi Học ( Sin = Đối / Huyền)

Cứ Khóc Hoài ( Cos = Kề / Huyền)

Thôi Đừng Khóc ( Tan = Đối / Kề)

Có Kẹo Đây ( Cotan = Kề/ Đối)

Sin : đi học (cạnh đối – cạnh huyền)

Cos: không hư (cạnh đối – cạnh huyền)

Tang: đoàn kết (cạnh đối – cạnh kề)

Cotang: kết đoàn (cạnh kề – cạnh đối)

Tìm sin lấy đối chia huyền

Cosin lấy cạnh kề, huyền chia nhau

Còn tang ta hãy tính sau

Đối trên, kề dưới chia nhau ra liền

Cotang cũng dễ ăn tiền

Kề trên, đối dưới chia liền là ra

Bài viết trên đây của DINHNGHIA.VN đã giúp bạn tổng hợp kiến thức quan trọng về công thức sin cos nói riêng cũng như bảng công thức lượng giác cơ bản và nâng cao nói chung. Hy vọng bạn đã tìm thấy những thông tin hữu ích phục vụ cho quá trình học tập cũng như nghiên cứu chủ đề công thức sin cos. Chúc bạn luôn học tập tốt!. 

Xem thêm: 

• Bài toán cách tìm tiếp tuyến của đồ thị hàm số và Các dạng bài tập
• Cung và góc lượng giác: Tổng hợp Lý thuyết và Bài tập về các dạng toán
• Số gần đúng và sai số lớp 10 – Lý thuyết và Các dạng bài tập cơ bản
• Phương trình lượng giác và Công thức nghiệm phương trình lượng giác
• Đồ thị của hàm số y=ax+b và tổng hợp các dạng đồ thị hàm số liên quan
• Giá trị lượng giác của một cung, Các hệ quả và Bài tập giá trị lượng giác của một cung

1.6/5 - (7 bình chọn) Please follow and like us: