Công Thức Tìm Số Hạng Tổng Quát Của Cấp Số Cộng Chi Tiết Nhất

Công thức tìm số hạng tổng quát của cấp số cộng - Toán lớp 11

1. Lý thuyết

a) (un) là cấp số cộng khi un+1=un+d, n∈ℕ* (d gọi là công sai)

b) Số hạng tổng quát của cấp số cộng (un) được xác định bởi công thức:

un = u1 + (n – 1)d với n∈ℕ*.

2. Công thức

Số hạng tổng quát của cấp số cộng (un) được xác định bởi công thức:

un = u1 + (n – 1)d với n∈ℕ*.

3. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho cấp số cộng (un) có u1 = 1 và d = – 3.

a) Xác định số hạng tổng quát của cấp số cộng.

b) Tìm số hạng thứ 2021 của cấp số cộng.

c) Số – 488 là số hạng thứ bao nhiêu của cấp số cộng.

Lời giải

a) Số hạng tổng quát:

un = u1 + (n – 1)d = 1 + (n – 1).(– 3) = – 3n + 4.

b) Số hạng thứ 2021 của cấp số cộng:

u2021 = – 3.2021 + 4 = – 6059.

c) Gọi số hạng thứ k là số – 488, ta có: uk = – 3k + 4 = – 488. Suy ra k = 164.

Vậy số – 488 là số hạng thứ 164.

Ví dụ 2: Cho cấp số cộng (un) thỏa mãn u2+u3=20u5+u7=−29.

a) Tìm u1; d?

b) Xác định số hạng tổng quát của cấp số cộng.

c) Số –1372,5 là số hạng thứ bao nhiêu của cấp số cộng.

Lời giải

a) Ta có:

u2+u3=20u5+u7=−29⇔u1+d+u1+2d=20u1+4d+u1+6d=−29⇔2u1+3d=202u1+10d=−29⇔d=−7u1=412

Vậy u1=412;d=−7.

b) Số hạng tổng quát:

un=u1+n−1d=412+n−1−7=−7n+552

c) Gọi số hạng thứ k là số – 1372,5, ta có:

uk=−7k+552=−1372,5⇔k=200.

Vậy số – 1372,5 là số hạng thứ 200.

4. Bài tập vận dụng

Bài 1:

a) Tìm x biết: x2 + 1, x – 2, 1 – 3x lập thành cấp số cộng.

b) Cho cấp số cộng – 2, x, 6, y. Tính giá trị của biểu thức P = x2 + y2.

Lời giải

a) Ta có: x2 + 1, x – 2, 1 – 3x lập thành cấp số cộng

⇔ x 2 + 1 + 1 − 3 x = 2 ( x − 2 )

⇔ x 2 − 5 x + 6 = 0

⇔ x = 2; x = 3

Vậy x = 2, x = 3 là những giá trị cần tìm.

b) Theo tính chất của cấp số cộng, ta có

x = (− 2 + 6)/ 2 = 2 và 6 = (x + y)/ 2

⇔ x = 2 và y = 10

Vậy P = x2 + y2 = 22 + 102 = 104.

Bài 2: Chứng minh rằng:

a) Nếu ba số a, b, c lập thành một cấp số cộng thì ba số x, y, z cũng lập thành một cấp số cộng, với: x = a2 – bc, y = b2 – ca, z = c2 – ab.

b) Nếu phương trình x3 – ax2 + bx – c = 0 có ba nghiệm lập thành cấp số cộng thì 9ab = 2a3 + 27c.

Lời giải

a) a, b, c là cấp số cộng nên a + c = 2b

Cần chứng minh x, y, z cũng lập thành một cấp số cộng tức là x + z = 2y.

Ta có 2y = 2b2 – 2ca

Và x + z = a2 + c2 - b(a + c)

= (a + c)2 – 2ac – 2b2

= 4b2 – 2ac – 2b2

= 2b2 – 2ac = 2y

Khi đó ta được: y = x + z 2

Vậy ta có điều phải chứng minh. b) Giả sử phương trình có ba nghiệm x1, x2, x3 lập thành cấp số cộng khi đó: x1 + x3 = 2x2 (1)

Mặt khác: x3 – ax2 + bx – c

= (x – x1)(x – x2)(x – x3)

= x3 – (x1 + x2 + x3)x2 + (x1 x2 + x2 x3 + x3 x1)x – x1 x2 x3

Suy ra x1 + x2 + x3 = a (2)

Từ (1) và (2), ta được 3 x 2 = a ⇔ x 2 = a/3

Vì phương trình đã cho có nghiệm x 2 = a/3, tức là: (a/3)3 − a(a/2) 2 + b(a/3) − c = 0

⇔ − 2 a 3/ + ba/3 − c = 0

⇔ 9ab = 2a3

Bài 3: Dãy số 3; 6; 9; 12; 15 là một cấp số cộng vì sao?

Bài 4: Cho cấp số cộng u ( n ) có u1 = -2 và công sai d = 7. Tính số hạng tổng quát?

Bài 5: Cho cấp số cộng u ( n) với điều kiện d = 3, u1 = - 1. TÍnh S ( 100 )

Bài 6: Cho cấp số cộng u ( n ) có tổng 100 số hạng đầu bằng 2400, u1 = 1. Tính công sai d của cấp số cộng bằng bao nhiêu?

Bài 7: Tìm bốn số hạng liên tiếp của một cấp số cộng biết tổng của chúng bằng 20 và tổng của bình phương của chúng bằng 120.

Xem thêm tổng hợp công thức môn Toán lớp 9 đầy đủ và chi tiết khác:

Công thức tính tổng n số hạng đầu của cấp số cộng

Công thức cấp số nhân

Công thức tính công bội của cấp số nhân

Công thức số hạng tổng quát của cấp số nhân

Công thức tính tổng n số hạng đầu của cấp số nhân