Công Thức Tính Bán Kính Mặt Cầu Ngoại Tiếp Tứ Diện đều

Mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện là mặt cầu đi qua tất cả các đỉnh của khối đa diện đó

Nội dung chính Show

• Cách xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
• Cách tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
• Bài tập minh họa công thức tính kèm lời giải chi tiết

Mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện là mặt cầu đi qua tất cả các đỉnh của khối đa diện đó

Định nghĩa mặt cầu ngoại tiếp

• Mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện là mặt cầu đi qua tất cả các đỉnh của khối đa diện đó

Điều kiện cần và đủ để khối chóp có mặt cầu ngoại tiếp

• Đáy là một đa giác nội tiếp

Công thức 1: Mặt cầu ngoại tiếp khối chóp có cạnh bên vuông góc với đáy

$R=\sqrt{R_{d}^{2}+{{\left( \dfrac{h}{2} \right)}^{2}}}.$

Trong đó ${{R}_{d}}$ là bán kính ngoại tiếp đáy; $h$ là độ dài cạnh bên vuông góc với đáy.

Ví dụ 1.Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình chữ nhật với $AB=3a,BC=4a,SA=12a$ và $SA$ vuông góc với đáy. Tính bán kính $R$ của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABCD.$

A. $R=\frac{13a}{2}.$

B. $R=6a.$

C. $R=\frac{17a}{2}.$

D. $R=\frac{5a}{2}.$

Trích đề thi THPT Quốc gia 2017 – Câu 16 – mã đề 122

Giải.Ta có ${{R}_{d}}=\frac{AC}{2}=\frac{\sqrt{A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}}}{2}=\frac{\sqrt{9{{a}^{2}}+16{{a}^{2}}}}{2}=\frac{5a}{2}.$

Vậy $R=\sqrt{R_{d}^{2}+{{\left( \frac{h}{2} \right)}^{2}}}=\sqrt{{{\left( \frac{5a}{2} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{12a}{2} \right)}^{2}}}=\frac{13a}{2}.$ Chọn đáp án A.

Công thức 2: Khối tứ diện vuông (đây là trường hợp đặc biệt của công thức 1)

Khối tứ diện vuông $OABC$ có $OA,OB,OC$ đôi một vuông góc có \[R=\frac{\sqrt{O{{A}^{2}}+O{{B}^{2}}+O{{C}^{2}}}}{2}.\]

Ví dụ 1:Khối tứ diện $OABC$ có $OA,OB,OC$ đôi một vuông góc và có bán kính mặt cầu ngoại tiếp bằng $\sqrt{3}.$ Thể tích lớn nhất của khối tứ diện $OABC$ bằng

A. $\frac{4}{3}.$

B. $8.$

C. $\frac{8}{3}.$

D. $8.$

Giải. Ta có $R=\frac{\sqrt{O{{A}^{2}}+O{{B}^{2}}+O{{C}^{2}}}}{2}=\sqrt{3}\Leftrightarrow O{{A}^{2}}+O{{B}^{2}}+O{{C}^{2}}=12.$

Mặt khác ${{V}_{OABC}}=\frac{1}{6}.OA.OB.OC$ và theo bất đẳng thức AM – GM ta có:

\[12=O{{A}^{2}}+O{{B}^{2}}+O{{C}^{2}}\ge 3\sqrt[3]{O{{A}^{2}}.O{{B}^{2}}.O{{C}^{2}}}\Rightarrow OA.OB.OC\le 8.\]

Do đó ${{V}_{OABC}}\le \frac{8}{6}=\frac{4}{3}.$ Chọn đáp án A.

Công thức 3:Khối lăng trụ đứng có đáy là đa giác nội tiếp (đây là trường hợp đặc biệt của công thức 1)

$R=\sqrt{R_{d}^{2}+{{\left( \frac{h}{2} \right)}^{2}}}.$

Trong đó ${{R}_{d}}$ là bán kính ngoại tiếp đáy; $h$ là độ dài cạnh bên.

Ví dụ 1.Cho mặt cầu bán kính $R$ ngoại tiếp một hình lập phương cạnh $a.$ Mệnh đề nào dưới đây đúng ?

A. $a=\frac{\sqrt{3}R}{3}.$

B. $a=2R.$

C. $a=\frac{2\sqrt{3}R}{3}.$

D. $a=2\sqrt{3}R.$

Trích đề thi THPT Quốc gia 2017 – Câu 29 – mã đề 124

Giải. Ta có $R=\sqrt{R_{d}^{2}+{{\left( \frac{h}{2} \right)}^{2}}}=\sqrt{{{\left( \frac{a}{\sqrt{2}} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{a}{2} \right)}^{2}}}=\frac{a\sqrt{3}}{2}.$ Vậy $a=\frac{2\sqrt{3}R}{3}.$ Chọn đáp án C.

Công thức 4: Công thức cho khối tứ diện có các đỉnh là đỉnh của một khối lăng trụ đứng $R=\sqrt{R_{d}^{2}+{{\left( \frac{h}{2} \right)}^{2}}}.$

Khối tứ diện $({{H}_{1}})$ có các đỉnh là đỉnh của khối lăng trụ đứng $({{H}_{2}}),$ khi đó ${{R}_{({{H}_{1}})}}={{R}_{({{H}_{2}})}}=\sqrt{R_{d}^{2}+{{\left( \frac{h}{2} \right)}^{2}}}.$

Công thức 5: Công thức cho khối chóp có mặt bên vuông góc đáy $R=\sqrt{R_{d}^{2}+{{\left( a.\cot \frac{x}{2} \right)}^{2}}}$ trong đó ${{R}_{d}}$ là bán kính ngoại tiếp đáy; $a,x$ tương ứng là độ dài đoạn giao tuyến của mặt bên và đáy, góc ở đỉnh của mặt bên nhìn xuống đáy.

Hoặc có thể sử dụng công thức $R=\sqrt{R_{d}^{2}+R_{b}^{2}-\frac{{{a}^{2}}}{4}},$ trong đó ${{R}_{b}}$ là bán kính ngoại tiếp của mặt bên và $a$ tương ứng là độ dài đoạn giao tuyến của mặt bên và đáy.

Ví dụ 1: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông, tam giác $SAD$ đều cạnh $\sqrt{2}a$ và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy. Tính bán kính $R$ của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABCD.$

A. $R=\frac{a\sqrt{10}}{2}.$

B. $R=\frac{a\sqrt{42}}{6}.$

C. $R=\frac{a\sqrt{6}}{4}.$

D. $R=\sqrt{2}a.$

Giải.Ta có $R=\sqrt{{{\left( \frac{\sqrt{2}a}{\sqrt{2}} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{\sqrt{2}a}{2}.\cot {{60}^{0}} \right)}^{2}}}=\sqrt{{{\left( \frac{\sqrt{2}a}{\sqrt{2}} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{\sqrt{2}a}{2\sqrt{3}} \right)}^{2}}}=\frac{a\sqrt{42}}{6}.$

Chọn đáp án B.

Công thức 6: Khối chóp có các cạnh bên bằng nhau có $R=\frac{c{{b}^{2}}}{2h},$ trong đó $cb$ là độ dài cạnh bên và $h$ là chiều cao khối chóp, được xác định bởi $h=\sqrt{c{{b}^{2}}-R_{d}^{2}}.$

Bài viết gợi ý:

Công thức tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đều, hình chóp tứ giác đều có công thức nhanh giúp bạn xử lý được mọi bài toán hình học liên quan

Hãy cùng chúng tôi theo dõi ngay nhé !

Tham khảo bài viết khác:

• Công thức tính thể tích khối nón tròn xoay

Cách xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

===> Để xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp ta thực hiện theo các bước sau:

+) Bước 1: Xác định trục của đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy. Gọi tắt là trục của đáy ( là đường thẳng vuông góc với đáy tại tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy).

+) Bước 2: Xác định mặt phẳng trung trực của một cạnh bên. Hoặc trục của của đường tròn ngoại tiếp một đa giác của mặt bên.

+) Bước 3: Giao điểm của trục của đáy và mặt phẳng trung trực của một cạnh bên (hoặc trục của đáy của và trục của một mặt bên) là tâm mặt cầu ngoại tiếp.

Nhận xét: Hình chóp có đáy hoặc các mặt bên là các đa giác không nội tiếp được đường tròn thì hình chóp đó không nội tiếp được mặt cầu.

Cách tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

Bài tập minh họa công thức tính kèm lời giải chi tiết

Bài tập 1: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng 3a. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp đã cho.

Hướng dẫn giải:

Gọi O là tâm của hình vuông ABCD, suy ra SO⊥(ABCD).

Xét tam giác SAO vuông tại O ta có:

Bài tập 2: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông. SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SC=2a. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp trên.

Hướng dẫn giải:

Áp dụng Định lí cos ta có:

Cám ơn bạn đã theo dõi những bài viết của chúng tôi, hy vọng bạn sẽ tìm được những kiến thức hữu ích trong bài viết này của chúng tôi !