Công Thức Tính Đạo Hàm Căn Bậc 3 Và Một Số Ví Dụ Minh Họa

Đạo hàm căn bậc 3 là phần nội dung các em cần nắm vững trong chương trình Toán 11. Các bài kiểm tra và đề thi đều có dạng bài tập xoay quanh phần lý thuyết này. Để củng cố kiến thức về công thức tính đạo hàm căn bậc 3 với một số ví dụ minh họa, các em hãy đọc ngay bài viết bên dưới đây từ Marathon Education.

>>> Xem thêm:

Toán 12 Nguyên Hàm – Lý Thuyết, Công Thức Và Các Dạng Bài Tập

Bảng Nguyên Hàm Và Công Thức Nguyên Hàm Đầy Đủ, Chi Tiết

Dạng Bài Tập Và Cách Giải Bất Phương Trình Toán Lớp 10

Đạo hàm là gì?

Đầu tiên, các em cần phải hiểu rõ bản chất của đạo hàm.

\begin{aligned} &\small \text{Lấy một hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a;b), với }x_0 \in (a;b). \text{Ta có giới hạn hữu tỉ (nếu }\\ &\small\text{tồn tại) của tỉ số }\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} \text{ khi } x\to x_0 \text{ được gọi là đạo hàm của hàm số đã cho trước tại }x_0.\\ &\small \text{Kí hiệu đạo hàm là }f’(x_0) \text{ hay } y’(x_0).\\ &\small\text{Theo đó, ta sẽ có } f'(x_0)=\lim\limits_{x \to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}. \text{ Nếu ta đặt } x-x_0=\Delta x \text{ và } f(x_0+\Delta x)-f(x_0) =\Delta y\\ &\small \text{thì ta sẽ thu được }f'(x_0)=\lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}. \text{ Trong đó: }\\ &\small \ \ \ \bull \text{x: số gia của đối số tại }x_0\\ &\small \ \ \ \bull \text{y: số gia tương ứng của hàm số đã cho.} \end{aligned}

>>> Xem thêm: Tổng Hợp Các Kí Hiệu Trong Toán Học Phổ Biến Đầy Đủ Và Chi Tiết

Lý Thuyết Hàm Số Lũy Thừa Toán 12 Định Nghĩa Và Bài Tập Minh Họa

Cách tính đạo hàm của hàm căn thức

Đối với hàm số có chứa căn thức, các em sẽ áp dụng những công thức tính đạo hàm của hàm căn thức sau để giải quyết các bài toán:

(\sqrt{x})'=\frac{1}{2\sqrt{x}} \ \ \ \text{và} \ \ \ (\sqrt{u})'=\frac{u'}{2\sqrt{u}} \text{ với hàm u là hàm hợp}

Ngoài ra, nếu cần tính đạo hàm căn bậc 3 trở lên hay hàm số có căn thức dưới mẫu thì các em có thể biến đổi biểu thức và sử dụng các công thức đạo hàm dưới đây:

\begin{aligned} &\bull \sqrt[n]{u}=u^{\frac{1}{n}}\\ &\bull \sqrt[n]{u^m}=u^{\frac{m}{n}}\\ &\bull (u^\alpha)'=\alpha.u^{\alpha - 1}.u'\\ &\bull \left(\frac{1}{u}\right)'=-\frac{u'}{u^2} \end{aligned}

Ví dụ về cách tính đạo hàm của hàm căn thức cụ thể như sau:

\begin{aligned} \bull\ &y=\sqrt{2x}\\ &y'=\left(\sqrt{2x}\right)'=\frac{(2x)'}{2\sqrt{2x}}=\frac{2}{2\sqrt{2x}}=\frac{1}{\sqrt{2x}}\\ \bull\ &y=\sqrt{2x+1}\\ &y'=\left(\sqrt{2x+1}\right)'=\frac{(2x+1)'}{2\sqrt{2x+1}}=\frac{2}{2\sqrt{2x+1}}=\frac{1}{\sqrt{2x+1}}\\ \bull\ &y=\sqrt{2x^2+1}\\ &y'=\left(\sqrt{2x^2+1}\right)'=\frac{(2x^2+1)'}{2\sqrt{2x^2+1}}=\frac{4x}{2\sqrt{2x^2+1}}=\frac{2x}{\sqrt{2x^2+1}}\\ \bull\ &y=\frac{1}{\sqrt{2x+1}}\\ &y'=\left(\frac{1}{\sqrt{2x+1}}\right)'=-\frac{\left(\sqrt{2x+1} \right)'}{\sqrt{(2x+1)^2}}=-\frac{(2x+1)'}{2\sqrt{2x+1}}.\frac{1}{\sqrt{(2x+1)^2}}\\ &\ \ \ =-\frac{2}{2\sqrt{2x+1}}.\frac{1}{\sqrt{(2x+1)^2}}=-\frac{1}{\sqrt{2x+1}}.\frac{1}{\sqrt{(2x+1)^2}}\\ \bull\ &y=\sqrt{x+\sqrt{x}}\ \ \ (x>0)\\ &y'=\left(\sqrt{x+\sqrt{x}}\right)'=\frac{(x+\sqrt{x})'}{2\sqrt{x+\sqrt{x}}}=\frac{1+\frac{1}{2\sqrt{x}}}{2\sqrt{x+\sqrt{x}}}=\frac{2\sqrt{x}+1}{4\sqrt{x}\sqrt{x+\sqrt{x}}}=\frac{2\sqrt{x}+1}{4\sqrt{x^2+x\sqrt{x}}}\\ \bull\ &y=sin\sqrt{x+1}\\ &y'=\left(sin\sqrt{x+1}\right)'=(\sqrt{x+1})'.cos\sqrt{x+1}=\frac{(x+1)'}{2\sqrt{x+1}}.cos\sqrt{x+1}=\frac{cos\sqrt{x+1}}{2\sqrt{x+1}}\\ \bull\ &y=\sqrt[5]{2x+3}=(2x+3)^{\frac{1}{5}}\\ &y'=\left[(2x+3)^{\frac{1}{5}} \right]'=\frac{1}{5}(2x+3)^{\frac{-4}{5}}(2x+3)'=\frac{2}{5}.\frac{1}{(2x+3)^{\frac{4}{5}}}=\frac{2}{5}.\frac{1}{\sqrt[5]{(2x+3)^4}}\\ \bull\ &y=\sqrt[5]{(2x^2+1)^3}=(2x^2+1)^\frac{3}{5}\\ &y'=\left[(2x^2+1)^\frac{3}{5} \right]'=\frac{3}{5}(2x^2+1)^{\frac{-2}{5}}(2x^2+1)'=\frac{3}{5}.4x.\frac{1}{(2x^2+1)^{\frac{2}{5}}}=\frac{12}{5}x.\frac{1}{\sqrt[5]{(2x^2+1)^2}}\\ \end{aligned}

>>> Xem thêm: Công Thức Đạo Hàm Hàm Hợp Và Bài Tập Ứng Dụng

ĐĂNG KÝ NGAY

Công thức tính đạo hàm căn bậc 3

Đối với dạng bài tập tính đạo hàm liên quan đến số mũ hữu tỉ, các em cần lưu ý các lý thuyết sau:

\begin{aligned} &\bull \ \text{Lũy thừa với số mũ nguyên dương } a\in\R: a_n=a.a.a...a \text{ (n thừa số a)}.\\ &\bull \ \text{Lũy thừa với số mũ nguyên âm } a\not= 0: a^{-n}=\frac{1}{a^n} \text{ và } a^0=1.\\ &\bull \ \text{Lũy thừa với số mũ hữu tỉ }a>0: a^\frac{m}{n}=\sqrt[n]{a^m}\ (m,n\in \Z, n\geq 2). \end{aligned}

Từ đó có thể suy ra được công thức tính đạo hàm căn bậc 3 như sau:

\begin{aligned} \sqrt[3]u &=u^\frac{1}{3}\\ \Rightarrow(u^\frac{1}{3})'&=\frac{1}{3}.u'.u^{\frac{1}{3}-1}=\frac{1}{3}.u'.u^\frac{-2}{3}=\frac{1}{3}.u'.\frac{1}{u^\frac{2}{3}}\\ &=\frac{1}{3}.u'.\frac{1}{\sqrt[3]{u^2}} \end{aligned}

Dưới đây là một số ví dụ về đạo hàm căn bậc 3:

\begin{aligned} \bull\ &y=\sqrt[3]{x^2}=x^\frac{2}{3}\\ &y'=\left(x^\frac{2}{3}\right)' =\frac{2}{3}.x^{\frac{2}{3}-1}=\frac{2}{3}.x^\frac{-1}{3}=\frac{2}{3}.\frac{1}{\sqrt[3]x}\\ \bull\ &y=\sqrt[3]{x^2+1}=(x^2+1)^\frac{1}{3}\\ &y'=\left[(x^2+1)^\frac{1}{3}\right]'=\frac{1}{3}(x^2+1)'(x^2+1)^{\frac{1}{3}-1}=\frac{1}{3}.2x.(x^2+1)^{\frac{-2}{3}}=\frac{2x}{3\sqrt[3]{(x^2+1)^2}}\\ \end{aligned}

>>> Xem thêm: Cách Tính Đạo Hàm Hàm Số Mũ Và Bài Tập Áp Dụng

Tham khảo ngay các khoá học online của Marathon Education

Gia sư Online Lý Thuyết Đầy Đủ Về Số Phức. Cách Giải Bài Tập Số Phức Bằng Máy Tính Cầm Tay Học Online Toán 12 Học Online Hóa 10 Học Online Toán 11 Học Online Toán 6 Học Online Toán 10 Học Online Toán 7 Học Online Lý 10 Học Online Lý 9 Học Online Toán 8 Học Online Toán 9 Học Tiếng Anh 6 Học Tiếng Anh 7

Đạo hàm căn bậc 3 là phần kiến thức khó và gây nhiều khó khăn trong quá trình học tập cho nhiều học sinh. Hy vọng sau khi đọc xong bài viết của Marathon với các bài tập ví dụ có lời giải chi tiết, các em đã nắm vững công thức tính đạo hàm của hàm căn thức và công thức tính đạo hàm căn bậc 3. Để học trực tuyến nhiều kiến thức Toán – Lý – Hóa 10 – 11 – 12 bổ ích khác, các em hãy thường xuyên theo dõi wesite của Marathon Education. Chúc các em luôn đạt được nhiều thành tích cao trong học tập!