Công Thức Tính Diện Tích Mặt Cầu - Gia Sư Tâm Tài Đức

5/5 - (1 bình chọn)

Mục Lục

Toggle

• Diện tích mặt cầu:
  • • – Công thức
    • – Ví dụ
  • Công thức tính thể tích hình cầu
    • – Giới thiệu
    • – Công thức
    • – Ví dụ
  • Khái niệm hình cầu, mặt cầu
    • – Khái niệm hình cầu
    • – Khái niệm mặt cầu
  • Cách tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
  • Cách tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương và mặt cầu nội tiếp hình lập phương
  • Cách tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật
  • Tổng kết công thức tính diện tích mặt cầu
  • Cách tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ tam giác đều
  • Bài tập vận dụng tính diện tích mặt cầu và Thể tính khối cầu

Diện tích mặt cầu:

Tính diện tích mặt cầu giúp bạn tính được diện tích mặt cầu bên trong hình cầu.

– Công thức

S = 4.π.r2 = π.d2

Trong đó:

• S là diện tích mặt cầu
• r là bán kính mặt cầu/hình cầu
• d là bánh kính mặt cầu/hình cầu

– Ví dụ

Mình sẽ hướng dẫn bạn cách tính diện tích mặt cầu thông qua ví dụ như sau: Cho một hình cầu có bán kính từ tâm O dài 6cm. Hỏi diện tích của mặt cầu là bao nhiêu?

Áp dụng công thức trên, bạn có thể tính được diện tích mặt cầu như sau:

S = 4.π.r2 = 4.π.62 = 114.π cm2

Ví dụ, bài tập tính thể diện tích mặt cầu

Cho một hình cầu có bán kính nối từ tâm O dài 5cm. Hỏi diện tích của mặt cầu này là bao nhiêu.

Áp dụng công thức tính diện tích mặt cầu, hình cầu ở trên ta có bán kính r = 5cm. Suy ra diện tích mặt cầu này sẽ bằng:S = 4 x π x r2 = 4 x π x 52 = 314 cm2Đáp án sau khi tính diện tích mặt cầu là 314 cm2

Công thức tính thể tích hình cầu

– Giới thiệu

Tính thể tích hình cầu giúp bạn tính được dung tích của toàn bộ hình cầu trong hệ quy chiếu không gian.

– Công thức

V = 4/3.π.r3 = 1/6.π.d3

Trong đó:

+ r: Bán kính hình cầu

+ π: Hằng số Pi (π = 3.14)

– Ví dụ

Cho một hình cầu có bán kính từ tâm O dài 8cm. Hỏi thể tích của hình cầu là bao nhiêu?

Áp dụng công thức trên, bạn có thể tính được thể tích hình cầu như sau:

V = 4/3.π.r3 = 4/3.π.83 = 2144.7 cm3

Áp dụng theo bài toán trên nhưng thay đổi giá trị bán kính nối từ tâm O ra mặt cầu bằng 7cm. Hỏi thể tích hình cầu này bằng bao nhiêu?

Ta có r = 7cm. Khi áp dụng giá trị bán kính vào công thức tính thể tích hình cầu, ta có.V = 4/3 x π x r3 = 4/3 x π x 73 = 1436 cm3 hoặc 14,36 m3

Khái niệm hình cầu, mặt cầu

– Khái niệm hình cầu

Trong không gian ba chiều, khi bạn xoay nửa hình tròn có tâm O, bán kính R một vòng quanh trục hay còn gọi là đường kính AB thì sẽ tạo thành một hình cầu.

– Khái niệm mặt cầu

Trong không gian ba chiều, mặt cầu là quỹ tích tập hợp các điểm cách đều một điểm O cố định cho trước một khoảng không đổi R.

Trong đó, O là tâm của hình cầu và khoảng cách R là bán kính.

Bạn cũng có thể tham khảo cách tính diện tích hình tròn, chu vi hình tròn.

Cách tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp nếu nó đi qua mọi đỉnh của hình chóp. Để tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp, chúng ta cần xác định tâm của mặt cầu ngoại tiếp. Ngoài ra có thể áp dụng phương pháp tính nhanh với một số dạng toán cụ thể.

Phương pháp xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

Bước 1: Xác định trục của đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy, là đường thẳng vuông góc với đáy tại tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy.

Bước 2: Xác định mặt phẳng trung trực của một cạnh bên. Hoặc trục của đường tròn ngoại tiếp mặt bên.

Bước 3: Giao điểm của trục của đáy và mặt phẳng trung trực của một cạnh bên (hoặc trục của đường tròn ngoại tiếp mặt bên) là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.

Trong một vài trường hợp đặc biệt, có thể có công thức tính nhanh diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

Trường hợp 1: Hình chóp có các đỉnh cùng nhìn 1 cạnh AB góc 90 độ

Các đỉnh này không nằm trên cạnh đó) dưới góc 90 độ, bán kính đường tròn ngoại tiếp hình chóp đó: R=AB/2 , diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S= 2 π AB2

Ví dụ: Cho hình chóp S.ABC, đáy là hình tam giác ABC có góc B bằng 90 độ, cạnh SA vuông góc với đáy tại điểm A. Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC biết SC = 2a

=> Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SABC: r = SC/2 = a

=> Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC: S= 4 π a2

=> Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp SABC: V = 4/3 π r3

Trường hợp 2: Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp tam giác đều SABC, SA = a

Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SABC: r = SA2 /2.SO

Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SABC: S= 4 π R2 = 3/2 π a2

Trường hợp 3: Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp tứ giác đều đáy SABCD,

Hình chóp tứ diện đều có ABCD là hình vuông. O là tâm hình vuông ABCD đồng thời là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SABCD.

=> Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SABCD: r = OD

Ví dụ: Cho hình chóp S ABCD là hình chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh bằng a.

Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SABCD

Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SABCD R= OD = (a √ 2)/2

Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp tứ diện đều SABCD S = 4 π R2 = 2 π a2

Cách tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương và mặt cầu nội tiếp hình lập phương

Hình lập phương có cả mặt cầu ngoại tiếp và mặt cầu nội tiếp.

Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương

Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương cạnh a: r = (a √ 3)/2

Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương cạnh a: S = 3 π a2

Thể tích mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương cạnh a:

V =√ 3 /2 π a3

Diện tích mặt cầu nội tiếp hình lập phương

Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương cạnh a: r = a/2

Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương cạnh a: S = π a2

Thể tích mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương cạnh a: V = ⅙ π a3

Cách tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật

Cho hình hộp chữ nhật ABCD A’B’C’D’ có độ dài các cạnh lần lượt là a,b,h Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật: R= (√ (a2 +b2 +h2) )/2

Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật : S = π (a2 +b2 +h2)

Tổng kết công thức tính diện tích mặt cầu

Cách tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ tam giác đều

Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC A’B’C’ có độ dài cạnh đáy = chiều cao =a Gọi O và O’ lần lượt là trọng tâm của 2 đáy tam giác ABC và A’BC’

=> Trung điểm I của đoạn OO’ là trọng tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ tam giác đều ABC A’B’C’

Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ tam giác đều: R = IC = √(IO’2 +O’C;2) = ( a√21 )/6

Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ tam giác đều S = 4 π R2 = 7/3πa2

Bài tập vận dụng tính diện tích mặt cầu và Thể tính khối cầu

* Bài 1 (Bài 10 trang 49 SGK Hình học 12): Cho hình chóp S.ABC có bốn đỉnh đều nằm trên một mặt cầu, SA = a, SB = b, SC = c và ba cạnh SA, SB, SC đôi một vuông góc. Tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu được tạo nên bởi mặt cầu đó.

* Lời giải:

– Minh họa hình như sau:

– Ta gọi M là trung điểm của cạnh AB.

– Ta có, ΔSAB là tam giác vuông tại S có SM là đường trung tuyến nên:

⇒ M là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác SAB.

– Kẻ đường thẳng Δ qua M và vuông góc với mp(SAB), khi đó ta có:

Δ//SC và Δ là trục đường tròn ngoại tiếp ΔSAB.

– Trong mp(Δ,SC), đường trung trực của SC cắt Δ tại điểm I.

– Ta có: IS = IC. (1)

và IS = IB = IA (2).

Từ (1) và (2) suy ra: IA = IB= IC = IS

⇒ I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC

– Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là:

Bài 2 (Bài 6 trang 50 SGK Hình học 12): Cho hình vuông ABCD cạnh a. Từ tâm O của hình vuông dựng đường thẳng Δ vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Trên Δ lấy điểm S sao cho OS = a/2 . Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD. Tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu được tạo nên bởi mặt cầu đó.

* Lời giải:

– Hình minh họa như sau:

– Giả sử Δ là trục của hình vuông ABCD, vậy tâm I của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD nằm trên Δ.

– ABCD là hình vuông cạnh a nên ta có:

Bài 3 (Bài 3 trang 51 SGK Hình học 12): Hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông tại A, SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) và SA = a, AB = b, AC = c. Mặt cầu đi qua các đỉnh A, B, C, S có bán kính r bằng bao nhiêu?

* Lời giải:

– Hình minh họa như sau:

– Gọi M là trung điểm của BC, khi đó MC = MB = MA ⇒ M là tâm đường tròn ngoại tiếp ΔABC.

– Dựng Mt ⊥ (ABC) ta có: Mt//SA và Mt là trục đường tròn ngoại tiếp ΔABC

– Trong mp(SA,Mt) đường trung trực của SA cắt Mt tại I, ta có:

IS = IA và IA = IB = IC

⇒ IS = IA = IB = IC

⇒ I là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện S.ABC

Đến đây nếu muốn tính diện tích mặt cầu tâm I bán kính R hay thể tích mặt cầu tâm I bán kính R ta chỉ việc vận dụng công thức là ra kết quả.

Như vậy, việc vận dụng công thức tính diện tích mặt cầu mà thể tích khối cầu tương đối dễ dàng, tuy nhiên việc xác định được bán kính của mặt cầu hay bán kính của khối cầu là điều không dễ.

Vì vậy, các em cần làm nhiều các bài tập liên quan để xác định được bán kính của mặt cầu, khối cầu từ đó mới vận dụng được công thức chúng ta có.

Cho hình chóp tam giác S ABC nội tiếp đường tròn, các cạnh SA, SB, SC đôi một vuông góc với nhau và có kích thước lần lượt là: a,b,c. Tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp SABC

Cách giải chi tiết

Gọi M là trung điểm của cạnh AB

=> Tam giác SAB là tam giác vuông tại S

=> SM = MA=MB = ½ AB (SM là đường trung tuyến)

=> M là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác SAB Kẻ đường thẳng α qua M và vuông góc với mặt phẳng (SAB) Trong mặt phẳng tạo bởi α và SC, đường trung trực của SC cắt α tại điểm I

=> IS = IC (1) Mà IS = IA = IB (2) Suy ra IA=IB=IC=IS

=> I là tâm đường tròn ngoại tiếp hình chóp SABC, bán kính IS=IA=IB=IC Ta có: SM = ½ AB = ½ √ (SA2  +SB2 ) = ½ √ (a2  +b2 ) IM = SC/2 = c/2 Bán kính R = IS = 1/2AB = 1/2√ (a2  +b2 +h2 )

Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SABC là S = 4 π R2  = (a2 +b2 +c2)π

Thể tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SABC là V = 4/3 π R3 = ⅙ π  (a2 +b2 +c2)3/2

Để tính diện tích mặt cầu S tâm I bán kính R ký hiệu (I;R), và thể tích khối cầu (hình cầu) V tâm I bán kính R ký hiệu (I;R) chúng ta chỉ việc áp dụng công thức sau khi tính được bán kính mặt cầu,

Tuy nhiên, việc xác định tâm của mặt cầu và bán kính của mặt cầu là không dễ và cần vận dụng qua nhiều bài học để tư duy tốt hơn trong các phương pháp tính. Ngoài ra, cần có kiến thức tổng hợp về hình học để có thể thành công với đa dạng bài tập.

Công thức toán

Gia sư môn toán

Công thức tính diện tích xung quanh hình trụ

Công thức tính diện tích mặt cầu

Công thức bán kính mặt cầu