Công Thức Tính độ Dài Cung Tròn Hay Nhất - TopLoigiai

Mục lục nội dung 1. Cung tròn là gì?2. Công thức tính độ dài cung tròn3. Cách tính độ dài cung tròn4. Đường tròn là gì?5. Một số thuật ngữ về hình tròn6. Tính chất chung của hình trònDạng bài tập thường gặp và phương pháp giải1. Tính độ dài đường tròn, cung tròn và các đại lượng liên quan.2. Dạng 2: So sánh độ dài của hai cung.Bài tập luyện tập độ dài đường tròn, cung tròn

1. Cung tròn là gì?

Cung là đoạn đóng của một đường cung khả vi trong một đa tạp (được ký hiệu là: ᴖ)

Cung tròn là một phần của đường tròn hay nó là một phần của chu vi( biên) của hình tròn. Cung tròn tức là quỹ tích các điểm thuộc đường tròn nằm giữa 2 điểm.

2. Công thức tính độ dài cung tròn

Công thức tính độ dài cung tròn bằng tích của số Pi, bán kính và số độ cung tròn chia 180:

Trong đó: ᴨ là hằng số Archimedes (là hằng số toán học có giá trị bằng tỷ số giữa chu vi của một đường tròn với đường kính của đường tròn đó) hằng số này có giá trị xấp xỉ = 3,14

             R chính là bán kính hình tròn

             n số đo độ của cung tròn cần tính

             L chính là độ dài cung tròn

3. Cách tính độ dài cung tròn

Khi thực hành tính độ dài cung tròn là vẽ 2 đoạn thẳng từ 2 đầu mút giới hạn của cung tròn đến tâm đường tròn, rồi đo góc tạo bởi 2 đoạn thẳng đó rồi từ từ nhân chéo để tính ra độ dài L

Số đo góc(tính bằng độ) /360 = L/ chu vi

Kiến thức mở rộng về hình tròn

4. Đường tròn là gì?

Trong hình học phẳng, đường tròn (hoặc vòng tròn) là tập hợp của tất cả những điểm trên một mặt phẳng, cách đều một điểm cho trước bằng một khoảng cách nào đó. Điểm cho trước gọi là tâm của đường tròn, còn khoảng cho trước gọi là bán kính của đường tròn.

Đường tròn tâm O bán kính R ký hiệu là (O;R)

Đường tròn là một hình khép kín đơn giản chia mặt phẳng ra làm 2 phần: phần bên trong và phần bên ngoài. Trong khi “đường tròn” ranh giới của hình, “hình tròn” bao gồm cả ranh giới và phần bên trong.

Đường tròn cũng được định nghĩa là một hình elíp đặc biệt với hai tiêu điểm trùng nhau và tâm sai bằng 0. Đường tròn cũng là hình bao quanh nhiều diện tích nhất trên mỗi đơn vị chu vi bình phương.

5. Một số thuật ngữ về hình tròn

- Cung: một đoạn đóng bất kì trên đường tròn.

- Dây cung (gọi tắt là dây): đoạn thẳng có 2 đầu mút nằm trên đường tròn.

- Tâm: điểm cách đều tất cả các điểm trên đường tròn.

- Chu vi hình tròn: độ dài đường biên giới hạn hình tròn.

- Bán kính: là đoạn thẳng (hoặc độ dài đoạn thẳng) nối tâm với một điểm bất kì trên đường tròn và bằng một nửa đường kính.

- Đường kính: đoạn thẳng (hoặc độ dài đoạn thẳng) có 2 đầu mút nằm trên đường tròn và là dây cung đi qua tâm, hoặc khoảng cách dài nhất giữa 2 điểm trên đường tròn. Đường kính là dây cung dài nhất của đường tròn và bằng 2 lần bán kính.

- Cát tuyến: đường thẳng trên mặt phẳng cắt đường tròn tại 2 điểm.

- Tiếp tuyến: đường thẳng tiếp xúc với đường tròn tại một điểm duy nhất.

- Hình tròn: phần mặt phẳng giới hạn bởi đường tròn.

- Hình khuyên (hình nhẫn hoặc hình vành khăn): vùng bị giới hạn bởi 2 đường tròn đồng tâm và có bán kính khác nhau.

- Hình bán nguyệt: cung căng đường kính. Thông thường, thuật ngữ này còn bao gồm đường kính, cung căng đường kính và phần bên trong, tức nửa hình tròn.

- Đường tròn ngoại tiếp đa giác là đường tròn đi qua tất cả các đỉnh của đa giác đó. Khi đó đa giác nội tiếp đường tròn.

- Đường tròn nội tiếp đa giác là đường tròn tiếp xúc với tất cả các cạnh của đa giác đó. Khi đó đa giác ngoại tiếp đường tròn.

6. Tính chất chung của hình tròn

- Đường tròn là hình có diện tích lớn nhất với chu vi cho trước.

- Đường tròn có tính đối xứng cao: tâm của đường tròn là tâm đối xứng và các đường kính là các trục đối xứng

- Mọi đường tròn đều đồng dạng.

- Chu vi đường tròn tỉ lệ thuận với bán kính theo hằng số 2π.

- Diện tích hình tròn tỉ lệ thuận với bình phương bán kính theo hằng số π.

- Đường tròn có tâm tại gốc tọa độ và bán kính là 1 gọi là đường tròn đơn vị.

- Đường tròn lớn của hình cầu đơn vị là đường tròn Riemann.

- Tập hợp tất cả các điểm nhìn đoạn thẳng dưới 1 góc vuông là đường tròn có đường kính là đoạn thẳng đó

Dây cung

- Dây cung cách đều tâm khi và chỉ khi chúng dài bằng nhau.

- Trong cùng một đường tròn, dây càng dài thì càng gần tâm.

- Đường kính vuông góc với dây cung tại trung điểm của dây cung đó

- Đường kính đi qua trung điểm của một dây không đi qua tâm thì vuông góc với dây.

- Đường kính là dây cung dài nhất trong đường tròn

- Nếu giao điểm hai dây cung cắt nhau chia một dây thành hai đoạn a và b, chia dây cung kia thành c và d, thì ab = cd (gọi là phương tích của điểm đó).

- Nếu giao điểm hai dây cung cắt nhau chia một dây thành hai đoạn a và b, chia dây cung kia thành m và n, thì a2 + b2 + m2 + n2  = d2 (với d là đường kính).

- Tổng bình phương chiều dài 2 dây cung vuông góc tại một điểm cố định không đổi và bằng 8r2 – 4p2 (với r là bán kính đường tròn, p là khoảng cách từ tâm đường tròn đến giao điểm đó).

- Khoảng cách từ một điểm trên đường tròn đến một dây cung nhân với đường kính bằng tích của khoảng cách điểm đó đến 2 đầu mút của dây cung.

- 2 cung nhỏ của một đường tròn hoặc 2 đường tròn bằng nhau căng 2 dây bằng nhau thì 2 cung đó bằng nhau và ngược lại

- Với 2 cung nhỏ của một đường tròn hoặc 2 đường tròn bằng nhau, cung nào căng dây lớn hơn(hoặc bé hơn) thì cung đó lớn hơn(hoặc bé hơn) và ngược lại.

Dạng bài tập thường gặp và phương pháp giải

1. Tính độ dài đường tròn, cung tròn và các đại lượng liên quan.

a) Phương pháp giải: Dựa vào hai công thức tính độ dài đường tròn cung tròn là:

- Độ dài đường tròn: C = 2πR và  C=πd

- Độ dài cung tròn: 

b) Ví dụ:

- Cho biết đường kính đường tròn bằng 5cm, hãy tính chu vi đường tròn

- Cho đường tròn bán kính 4cm, hãy tính độ dài cung 120 độ.

=> Lời giải:

- Áp dụng công thức tính độ dài đường tròn C=πd => C = 5π (cm)

- Áp dụng công thức tính độ dài cung tròn  

2. Dạng 2: So sánh độ dài của hai cung.

a) Phương pháp:

- Tính độ dài cung theo bán kính R và số đo của cung

- Kết quả sau khi thu được thì ta tiến hành so sánh

b) Ví dụ: AB là đường kính của nửa đường tròn. Trên đoạn thẳng AB lấy hai điểm M và N, trong đó M nằm giữa A và N. Vẽ tiếp ba nửa đường tròn có đường kính là AM, MN, NB. Hãy chứng minh độ dài của: AM + MN + NB = 1/2 AB

=> Lời giải:

Gọi lần lượt C1, C2, C3, C là độ dài của nửa đường tròn đường kính AM, MN, NB, AB.

Điều cần chứng minh: AM + MN + NB = 1/2 AB

Kết luận: C1 + C2 + C3 = C => Điều phải chứng minh.

Bài tập luyện tập độ dài đường tròn, cung tròn

Bài tập 1: Đường tròn tâm (O), bán kính R có độ dài cung AB bằng ᴨR/4. Hãy tính số đo cung AB.

=> Hướng dẫn:

- Gọi số đo cung nhỏ AB là n

- Áp dụng công thức tính độ dài cung tròn 

- Thay dữ liệu đề bài đã cho, ta được: 

Bài tập 2: Cho đường tròn tâm (O), bán kính R và dây cung AB. Cho hai trường hợp sau:

a) Nếu số đo cung AB bằng 90 độ. Hãy tính chu vi hình viên phấn giới hạn bởi dây AB và cung nhỏ AB.

b) Nếu độ dài cung AB bằng 5ᴨR/6 . Hỏi số đo của góc AOB bằng bao nhiêu?

=> Hướng dẫn:

Bài tập 3: Cho đường tròn tâm (O), bán kính R. Hãy:

a) Tính góc AOB khi biết độ dài cung AB bằng ᴨR/3

b) Trên cung lớn AB lấy điểm C sao cho tam giác AOC cân tại đỉnh O. Tính độ dài cung AC và cung BC lớn.

=> Hướng dẫn: