Công Thức Tính Tâm đường Tròn Nội Tiếp Tam Giác - Blog Của Thư

Cách xác định tâm đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp tam giác

Trung tâm Gia sư Hà Nội hướng dẫn các em phương pháp, cách xác định tâm đường tròn nội tiếp và đường tròn ngoại tiếp tam giác qua các khái niệm.

Để không bị nhầm lẫn và hiểu rõ hơn về đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp tam giác thì các em cần tìm hiểu qua các khái niệm.

Nội dung chính Show

• Cách xác định tâm đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp tam giác
• Trung tâm Gia sư Hà Nội hướng dẫn các em phương pháp, cách xác định tâm đường tròn nội tiếp và đường tròn ngoại tiếp tam giác qua các khái niệm.
• 1. Khái niệm đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp tam giác
• 2. Cáchxác định tâm đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp tam giác
• Đề cương ôn tập học kì 1 môn Toán 9 năm học 2017-2018
• 268 bài toán nâng cao lớp 9 có đáp án
• Khái niệm, diện tích mặt cầu và thể tích hình cầu
• Khái niệm, diện tích xung quanh và thể tích của hình nón, hình nón cụt
• Công thức tính độ dài đường tròn, cung tròn
• Tứ giác nội tiếp đường tròn
• Bài toán quỹ tích, cung chứa góc
• III. CÔNG THỨC ĐỘ DÀI CỦA BÁN KÍNH ĐƯỜNG TRÒN NỘI TIẾP TAM GIÁC
• IV. BÀI TẬP MINH HỌA VỀ CÔNG THỨC ĐỘ DÀI CỦA  BÁN KÍNH ĐƯỜNG TRÒN NGOẠI TIẾP TAM GIÁC
• Ví dụ: Cho hình △ABC có độ dài các cạnh của hình tam giác lần lượt là là 8cm, 10cm, 12cm. Xác định bán kính đường tròn nội tiếp △ABC bằng bao nhiêu?
• Cách xác định tâm đường tròn nội tiếp tam giác vuông
• Cách xác định tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông
• Lý thuyết tâm đường tròn nội tiếp tam giác
• Tổng quát tâm đường tròn nội tiếp tam giác
• Xác định tâm đường tròn nội tiếp tam giác
• Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác
• Phương trình đường tròn nội tiếp tam giác
• Bài tập về đường tròn nội tiếp tam giác
• Dạng 1: Tìm tâm của đường tròn nội tiếp khi biết tọa độ ba đỉnh
• Dạng 2: Tìm bán kính đường tròn nội tiếp tam giác
• Dạng 3: Viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác ABC khi biết tọa độ 3 đỉnh
• Video liên quan

1. Khái niệm đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp tam giác

– Khi 3 cạnh của tam giác là tiếp tuyến của đường tròn và đường tròn nằm trong tam giác thì ta gọi đường tròn đó là đường tròn nộitiếp tam giác.

Đường tròn tâm I nội tiếp tam giác ABC

–Đường tròn ngoại tiếp tam giác là đường tròn đi qua cả 3 đỉnh của tam giác. Có thể nói cách khác là tam giác nội tiếp đường tròn.

Đường tròn tâm I ngoại tiếp tam giác ABC

2. Cáchxác định tâm đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp tam giác

Để xác định được tâm của đường tròn nội tiếp và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác các em cần ghi nhớ lý thuyết: – Tâm đường tròn nội tiếp của tam giác là giao điểm ba đường PHÂN GIÁC TRONG của tam giác (có thể là 2 đường phân giác) – Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là giao điểm ba đường TRUNG TRỰC của ba cạnh tam giác (có thể là giao điểm hai đường trung trực)

Bồi dưỡng Toán 9, Hình học 9 - Tags: đường tròn, nội tiếp, tâm đường tròn, tam giác

• Đề cương ôn tập học kì 1 môn Toán 9 năm học 2017-2018

• 268 bài toán nâng cao lớp 9 có đáp án

• Khái niệm, diện tích mặt cầu và thể tích hình cầu

• Khái niệm, diện tích xung quanh và thể tích của hình nón, hình nón cụt

• Công thức tính độ dài đường tròn, cung tròn

• Tứ giác nội tiếp đường tròn

• Bài toán quỹ tích, cung chứa góc

Đường tròn nội tiếp tam giác hay tam giác ngoại tiếp đường tròn là đường tròn tiếp xúc với ba cạnh của tam giác.

Đường tròn nội tiếp tam giác có tính chất:

• Mỗi một tam giác chỉ có duy nhất 1 đường tròn nội tiếp.
• Tâm của đường tròn nội tiếp tam giác là giao điểm giữa 3 đường phân giác của tam giác đó do đó bán kính của đường tròn nội tiếp tam giác chính bằng khoảng cách từ tâm hạ vuông góc xuống ba cạnh của tam giác.
• Đối với tam giác đều, đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp tam giác có cùng tâm đường tròn với nhau.

Ví dụ: △ABC trên ngoại tiếp đường tròn (O, r =OH).

III. CÔNG THỨC ĐỘ DÀI CỦA BÁN KÍNH ĐƯỜNG TRÒN NỘI TIẾP TAM GIÁC

Công thức tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác được tính bằng diện tích tam giác ngoại tiếp đường tròn đó chia cho nửa chu vi của tam giác đó.

$$r = {S \over p}= \sqrt{(p-a).(p-b).(p-c)\over p}$$

Trong đó:

• S: Diện tích của hình tam giác.
• a, b. c: Độ dài các cạnh của hình tam giác.
• r: bán kính đường tròn nội tiếp tam giác.

IV. BÀI TẬP MINH HỌA VỀ CÔNG THỨC ĐỘ DÀI CỦA  BÁN KÍNH ĐƯỜNG TRÒN NGOẠI TIẾP TAM GIÁC

Ví dụ: Cho hình △ABC có độ dài các cạnh của hình tam giác lần lượt là là 8cm, 10cm, 12cm. Xác định bán kính đường tròn nội tiếp △ABC bằng bao nhiêu?

Lời giải tham khảo:

Áp dụng công thức chu vi  tam giác ta có, chu vi △ABC là:

P= 8 + 10 + 12 = 30 (cm)

⇒ nửa chu vi của △ABC là: p = 30 : 2= 15 (cm)

Áp dụng công thức ta có bán kính đường tròn nội tiếp △ABC là:

\(r = \sqrt{(p-a).(p-b).(p-c)\over p}\)

\(=\sqrt{(15-8).(15-10).(15-12)\over 15}\)

\(= \sqrt{7}\)

Bài toán về đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác vuông là một dạng toán kết hợp giữa tam giác vuông và đường tròn. Do đó, đây là dạng toán khó trong chương trình Toán lớp 9. Để làm được bài toán này, các bạn phải biết cách xác định được tâm đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp trong tam giác vuông. Sau đây tôi sẽ tổng quan về cách xác định này.

Thông báo:  Giáo án, tài liệu miễn phí, và các giải đáp sự cố khi dạy online có tại Nhóm giáo viên 4.0 mọi người tham gia để tải tài liệu, giáo án, và kinh nghiệm giáo dục nhé!

Cách xác định tâm đường tròn nội tiếp tam giác vuông

Xác định được tâm đường tròn nội tiếp trong tam giác vuông, cần thực hiện theo hai bước sau:

• Bước 1: Xác định hai tia phân giác của hai góc trong tam giác vuông. Giao điểm của hai tia phân giác sẽ là tâm của đường tròn nội tiếp tam giác vuông.
• Bước 2: Vẽ đường tròn nội tiếp tam giác vuông với tâm là giao điểm của hai tia phân giác và bán kính là đoạn thẳng kẻ từ giao điểm vuông góc với cạnh của tam giác.

Bán kính của đường tròn nội tiếp tam giác vuông:

r = 2S/(a +b + c) = √[(p – a).(p – b).(p – c)/p].

Với S là diện tích tam giác, p = (a + b +c)/2 là nửa chu vi tam giác.

Cách xác định tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông

Xác định được tâm đường tròn ngoại tiếp trong tam giác vuông, cần thực hiện theo hai bước sau:

• Bước 1: Xác định giao điểm của hai đường trung trực trong tam giác vuông. Giao điểm của hai đường trung trực sẽ là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông.
• Bước 2: Vẽ đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông với tâm là giao điểm của hai đường và bán kính là đoạn thẳng kẻ từ giao điểm đến góc của tam giác.

Bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông được tính như sau: R = a.b.c/4S

Dựa vào cách xác định và công thức tính bán kính, các bạn hãy áp dụng vào các bài tập. Hãy tham khảo tài liệu bên dưới để có nhiều bài tập rèn luyện.

Tải tài liệu miễn phí ở đây

Sưu tầm:  Thu Hoài

Tâm đường tròn nội tiếp tam giác là gì? Lý thuyết và cách giải các dạng toán về tâm đường tròn nội tiếp tam giác như nào? Cùng DINHNGHIA.VN tìm hiểu về chủ đề này qua bài viết dưới đây nhé!

Lý thuyết tâm đường tròn nội tiếp tam giác

Tổng quát tâm đường tròn nội tiếp tam giác

Trong hình học, đường tròn nội tiếp của một tam giác là đường tròn lớn nhất nằm trong tam giác; nó tiếp xúc với cả ba cạnh của tam giác. Tâm của đường tròn nội tiếp là giao điểm của ba đường phân giác trong.

Xác định tâm đường tròn nội tiếp tam giác

Cách 1: Gọi D,E,F là chân đường phân giác trong của tam giác ABC kẻ lần lượt từ A,B,C

• Bước 1 : Tính độ dài các cạnh của tam giác
• Bước 2 : Tính tỉ số \(k_{1} = \frac{AB}{AC}, k_{2} = \frac{BA}{BC}, k_{3}=\frac{CA}{CB}\)
• Bước 3 : Tìm tọa độ các điểm D, E, F
• Bước 4: Viết phương trình đường thẳng AD,BE
• Bước 5: Tâm của đường tròn nội tiếp tam giác ABC là giao điểm của AD và BE

Cách 2: Trong mặt phẳng Oxy, ta có thể xác định tọa độ điểm I như sau:

\(\left\{\begin{matrix} x_{I} = \frac{BC.x_{A} + CA.x_{B} + AB.x_{C}}{BC+CA+AB}\\ y_{I} = \frac{BC.y_{A}+CA.y_{B}+AB.y_{C}}{BC+AC+BC} \end{matrix}\right.\)

Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác

Cho tam giác ABC

Gọi a, b, c lần lượt là độ dài các cạnh BC, AC, AB

Đặt \(p = \frac{a + b + c}{2}\) , ta có bán kính đường tròn ngoại tiếp:

\(r = \frac{2S}{a + b + c} = \frac{S}{p} = (p – a)\tan \frac{A}{2} = (p – b)\tan \frac{B}{2} = (p – c)\tan \frac{C}{2} = \sqrt{\frac{(p – a)(p – b)(p – c)}{p}}\)

Phương trình đường tròn nội tiếp tam giác

Cho tam giác ABC có \(A(x_{A};y_{A}), B(x_{B}; y_{B}), C(x_{C}; y_{C})\)

Cách 1:

1. Viết phương trình hai đường phân giác trong góc A và B
2. Tâm I là giao điểm của hai đường phân giác trên
3. Tính khoảng cách từ I đến một cạnh của tam giác ta được bán kính
4. Viết phương trình đường tròn

Cách 2:

1. Viết phương trình đường phân giác trong của đỉnh A
2. Tìm tọa độ chân đường phân giác trong đỉnh A
3. Gọi I là tâm đường tròn, tọa độ I thỏa mãn hệ thức \(\underset{ID}{\rightarrow}=- \frac{BD}{BA}\underset{IA}{\rightarrow}\)
4. Tính khoảng cách từ I đến một cạnh của tam giác
5. Viết phương trình đường tròn

Bài tập về đường tròn nội tiếp tam giác

Dạng 1: Tìm tâm của đường tròn nội tiếp khi biết tọa độ ba đỉnh

Ví dụ: Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC với A(1;5)  B(–4;–5) và C(4;-1).Tìm tâm I của đương tròn nội tiếp tam giác ABC .

Giải:

Ta có \(AB= 5\sqrt{5}, AC=3\sqrt{5} BC=4\sqrt{5}\)

Do đó:

\(\left\{\begin{matrix} x_{I} = \frac{BC.x_{A} + CA.x_{B} + AB.x_{C}}{BC+CA+AB} = \frac{4\sqrt{5}.1 + 3\sqrt{5}.(-4)+5\sqrt{5}.4}{4\sqrt{5}+3\sqrt{5}+5\sqrt{5}} = 1\\ y_{I} = \frac{BC.y_{A}+CA.y_{B}+AB.y_{C}}{BC+AC+BC} = \frac{4\sqrt{5}.5 + 3\sqrt{5}.(-5)+5\sqrt{5}.(-1)}{4\sqrt{5}+3\sqrt{5}+5\sqrt{5}}=0\end{matrix}\right.\)

Vậy tâm của đường tròn nội tiếp tam giác ABC là I(1;0)

Dạng 2: Tìm bán kính đường tròn nội tiếp tam giác

Ví dụ: Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC với A(2;6), B(-3;-4), C(5;0). Tìm bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Giải:

Ta có, \(AB=5\sqrt{5} , AC= 3\sqrt{5}, BC= 4\sqrt{5}\)

\(p=\frac{AB+AC+BC}{2} = \frac{5\sqrt{5} + 3\sqrt{5} + 4\sqrt{5}}{2} = 6\sqrt{5}\)

Do đó, bán kính đường tròn nội tiếp tam giác \(ABC\) là

\(r = \sqrt{\frac{(p – a)(p – b)(p – c)}{p}} = \sqrt{\frac{(6\sqrt{5} – 5\sqrt{5})(6\sqrt{5}-3\sqrt{5})(6\sqrt{5}-4\sqrt{5})}{6\sqrt{5}}} = \sqrt{5}\)

Dạng 3: Viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác ABC khi biết tọa độ 3 đỉnh

Ví dụ: Trong mặt phẳng hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(11; -7), B(23;9), C(-1,2). Viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác ABC.

Giải:

Ta có phương trình cạnh BC: 7x-24y+55=0

Phương trình đường phân giác góc A: \(7x+y-70=0\)

Gọi D là chân đường phân giác trong đỉnh A. Tọa độ D là nghiệm của hệ:

\(\left\{\begin{matrix} 7x+y-70=0\\ 7x-24y+55=0\ \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=\frac{65}{7}\\ y=5 \end{matrix}\right. \Rightarrow D\left ( \frac{65}{7}; 5 \right )\)

Gọi I(a,b) là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC.

Ta có:

\(\underset{IA}{\rightarrow} = (11-a;-7-b), \underset{ID}{\rightarrow} = (\frac{65}{7}-a; 5-b), BA = 20, BD= \frac{100}{7}\)

\(\underset{ID}{\rightarrow} = -\frac{BD}{BA}\underset{IA}{\rightarrow} \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \frac{65}{7}-a = -\frac{5}{7}(11-a)\\ 5-b = -\frac{5}{7}(-7-b) \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a=10\\ b=0 \end{matrix}\right.\)

Vậy tọa độ I(10,0)

Bán kính đường tròn nội tiếp: \(r=d(I,AB)=5\)

Phương trình đường tròn nội tiếp tam giác ABC: \((x-10)^2+y^2=25\)

Trên đây là những lý thuyết và bài tập ví dụ tâm đường tròn nội tiếp tam giác. Hy vọng đã cung cấp cho bạn những kiến thức hữu ích phục vụ cho quá trình tìm hiểu của bản thân. Chúc bạn luôn học tập tốt!

>>> Cách xác định tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác – Toán học Lớp 9

Please follow and like us: