Công Thức Tổng Quát Tính Thể Tích Của Một Khối Tứ Diện Bất ...

THỂ TÍCH KHỐI TỨ DIỆN

Tứ diện ABCD có $BC=a,CA=b,AB=c,AD=d,BD=e,CD=f$ta có công thức tính thể tích của tứ diện theo sáu cạnh như sau:

$V=\frac{1}{12}\sqrt{M+N+P-Q}$,

trong đó

Tứ diện đều cạnh a, ta có \[V=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{12}\].

Tứ diện vuông ( các góc tại một đỉnh của tứ diện là góc vuông).

Với tứ diện \[ABCD\]có \[AB,AC,AD\]đôi một vuông góc và \[AB=a,AC=b,AD=c\], ta có

\[V=\frac{1}{6}abc.\]

Tứ diện gần đều ( các cặp cạnh đối tương ứng bằng nhau)

Với tứ diện  \[ABCD\] có \[AB=CD=a,BC=AD=b,AC=BD=c\], ta có

Từ đó suy ra:

\[AP=\sqrt{2}.\sqrt{-{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}},AQ=\sqrt{2}.\sqrt{{{a}^{2}}-{{b}^{2}}+{{c}^{2}}},\text{AR}=\sqrt{2}.\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}-{{c}^{2}}}.\]

Vậy từ \[(*)\] ta suy ra:

\[{{V}_{ABCD}}=\frac{\sqrt{2}}{12}\sqrt{(-{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}).({{a}^{2}}-{{b}^{2}}+{{c}^{2}}).({{a}^{2}}+{{b}^{2}}-{{c}^{2}})}.\]

Ngoài ra ta có thể tính thể tích khối tứ diện qua độ dài, khoảng cách và góc giữa cặp cạnh đối diện của tứ diện

Tứ diện \[ABCD\] có

\[AD=a,BC=b,d(AD,BC)=d,(AD,BC)=\alpha ,\] ta có

\[V=\frac{1}{6}abd\sin \alpha .\]

Khối tứ diện biết diện tích hai mặt kề nhau

Xét khối tứ diện \[ABCD\] ta có \[{{S}_{1}}={{S}_{CAB}},{{S}_{2}}={{S}_{DAB}},\alpha =((CAB),(DAB)),AB=a,\]ta có\[V=\frac{2{{S}_{1}}{{S}_{2}}\sin \alpha }{3a}\].

Câu 1. Cho khối tứ diện \[ABCD\]có \[AB=x\],tất cả các cạnh còn lại bằng nhau và bằng \[\sqrt{3}x\]. Tìm \[x\], biết thể tích khối tứ diện đã cho bằng 48(cm3).

A.\[x=2\sqrt{6}\] B. \[x=2\sqrt{2}\] C.\[x=6\sqrt{2}\] D. \[x=2\sqrt{3}\]

 Ta có 

Vậy \[V=\frac{{{(\sqrt{3}x)}^{2}}}{6}\sqrt{1+2\left( \frac{5}{6} \right)\left( \frac{1}{2} \right)\left( \frac{1}{2} \right)-{{\left( \frac{5}{6} \right)}^{2}}-{{\left( \frac{1}{2} \right)}^{2}}-{{\left( \frac{1}{2} \right)}^{2}}}=\frac{{{x}^{3}}}{\sqrt{6}}=48\Leftrightarrow x=2\sqrt{6}.\]

Chọn đáp án A.

Tứ diện có 3 góc cùng xuất phát từ một đỉnh

Tứ diện \[SABC\] có \[SA=a,SB=b,SC=c\] và

\[\angle \text{AS}B=x,\angle BSC=y,\angle CSA=z,\] ta có

\[V=\frac{1}{6}abc\sqrt{1+2\cos x\cos y\operatorname{cosz}-c\text{o}{{\text{s}}^{2}}x-c\text{o}{{\text{s}}^{2}}y-c\text{o}{{\text{s}}^{2}}z}\]

Câu 1. Cho khối tứ diện \[ABCD\] có \[AB=2,AC=3,AD=BC=4,BD=2\sqrt{5},CD=5.\] Tính thể tích \[V\]khối tứ diện \[ABCD\].

1. \[V=\sqrt{15}.\]              B. \[V=\frac{\sqrt{15}}{2}\]                 C. \[V=\frac{3\sqrt{5}}{2}\]                D. \[V=\frac{9\sqrt{5}}{2}\]

>>Lời giải:

Ta có 

Chọn đáp án A.

Vậy $V=\frac{1}{3}DA.{{S}_{ABC}}=\frac{1}{6}DA.AB.AC.\sin \widehat{BAC}=\frac{1}{6}.4.2.3.\sqrt{1-{{\left( -\frac{1}{4} \right)}^{2}}}=\sqrt{15}.$

Câu 2. Cho khối tứ diện \[ABCD\] có \[AB=5,AC=3,AD=BC=4,BD=4,AD=3\]và \[CD=\frac{12\sqrt{2}}{5}\]. Tính thể tích \[V\]của khối tứ diện \[ABCD\].

1. \[V=\frac{24}{5}.\]
2. \[V=\frac{24\sqrt{2}}{5}.\]
3. \[V=\frac{19}{3}\].
4. \[V=\frac{19\sqrt{2}}{3}.\]

>>Lời giải:  Để ý

Với \[E\]là trung điểm của cạnh \[CD\]. Vì vậy \[V=\frac{1}{3}{{S}_{ABCD}}.CD.\]

Ta có \[AB=5\], \[E=\sqrt{{{3}^{2}}-{{\left( \frac{6\sqrt{2}}{5} \right)}^{2}}}=\frac{3\sqrt{17}}{5},BE=\sqrt{{{4}^{2}}-{{\left( \frac{6\sqrt{2}}{5} \right)}^{2}}}=\frac{2\sqrt{82}}{5}\Rightarrow {{S}_{ABE}}=3\sqrt{2}.\]

Vậy \[V=\frac{1}{3}.3\sqrt{2}.\frac{12\sqrt{2}}{5}=\frac{24}{5}.\]

 

Bài viết gợi ý:

1. Công thức tính nhanh các bài toán hình học trong mặt phẳng tọa độ Oxyz

2. Căn bậc hai số phức và phương trình bậc hai

3. Mở đầu về số phức.

4. Một số bài toán vận dụng cao liên quan đến đường tiệm cận của đồ thị hàm số

5. Chuyên đề: Ứng dụng tích phân giải các bài toán thực tế.

6. Sự tương giao của đồ thị hàm số

7. Hàm số lũy thừa (Mức độ 1,2)