HomeGiáo viên- Học SinhBài giảng toánToán 12Giải tích 12Công thức ứng dụng tích phân tính diện tích, thể tích đầy đủ
Xem nhiều tuần qua:
Các dạng toán tìm cực trị của hàm số thi THPTQG
Tổng hợp các câu tìm nguyên hàm trong đề thi THPTQG các năm
Tìm m để hàm số có GTLN GTNN thỏa mãn điều kiện cho trước
Cách tìm tập xác định của hàm số mũ, lũy thừa, logarit
Tìm nguyên hàm bằng máy tính Casio nhanh và chính xác
Công thức ứng dụng tích phân tính diện tích, thể tích đầy đủ
1. Ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng
a) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b], trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b được xác định: $$S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|} dx$$ Công thức ứng dụng tích phân tính diện tích, thể tích đầy đủ b) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), y = g(x) liên tục trên đoạn [a; b] và hai đường thẳng x = a, x = b được xác định: : $$S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right) – g\left( x \right)} \right|} dx$$ Chú ý: – Nếu trên đoạn [a; b], hàm số f(x) không đổi dấu thì: $$\int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|} dx = \left| {\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} } \right|$$ – Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường x = g(y), x = h(y) và hai đường thẳng y = c, y = d được xác định: $$S = \int\limits_c^d {\left| {g\left( y \right) – h\left( y \right)} \right|} dy$$
2. Thể tích vật thể và thể tích khối tròn xoay
a) Thể tích vật thể: Gọi B là phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại các điểm a và b; S(x) là diện tích thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm x, (a ≤ x ≤ b). Giả sử S(x) là hàm số liên tục trên đoạn [a; b]. Khi đó, thể tích của vật thể B được xác định: $$V = \int\limits_a^b {S\left( x \right)} dx$$ b) Thể tích khối tròn xoay: Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y = f(x) , trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b quanh trục Ox: Chú ý: – Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường x = g(y), trục hoành và hai đường thẳng y = c, y = d quanh trục Oy: – Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y = f(x), y = g(x) và hai đường thẳng x = a, x = b quanh trục Ox: $$V = \pi \int\limits_a^b {\left| {{f^2}\left( x \right) – {g^2}\left( x \right)} \right|} dx$$
Kĩ năng giải bài tập
1. Câu hỏi tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:
Những điểm cần lưu ý: Trường hợp 1. Cho hai hàm số f(x) và g(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = f(x), y = g(x), x = a, x = b là $$S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right) – g\left( x \right)} \right|} dx$$ Phương pháp giải toán +) Giải phương trình f(x) = g(x) +) Nếu (1) vô nghiệm thì $$S = \left| {\int\limits_a^b {\left( {f\left( x \right) – g\left( x \right)} \right)dx} } \right|$$ +) Nếu (1) có nghiệm thuộc .[a; b]. giả sử α thì $$S = \left| {\int\limits_a^\alpha {\left( {f\left( x \right) – g\left( x \right)} \right)dx} } \right| + \left| {\int\limits_\alpha ^b {\left( {f\left( x \right) – g\left( x \right)} \right)dx} } \right|$$ Chú ý: Có thể lập bảng xét dấu hàm số trên đoạn rồi dựa vào bảng xét dấu để tính tích phân. Trường hợp 2. Cho hai hàm số f(x) và g(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = f(x), y = g(x) là $$S = \int\limits_\alpha ^\beta {\left| {f\left( x \right) – g\left( x \right)} \right|} dx$$ Trong đó α, β là nghiệm nhỏ nhất và lớn nhất của phương trình f(x) = g(x) (a ≤ α < β ≤ b). Phương pháp giải toán Bước 1. Giải phương trình f(x) = g(x) tìm các giá trị α, β. Bước 2. Tính $$S = \int\limits_\alpha ^\beta {\left| {f\left( x \right) – g\left( x \right)} \right|} dx$$ như trường hợp 1.
2. Câu hỏi tính tính thể tích vật tròn xoay giới hạn bởi các đường:
Những điểm cần lưu ý: . Tính thể tích khối tròn xoay: Trường hợp 1. Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường y = f(x), y = 0, x = a và x = b (a < b) quay quanh trục Ox là $$V = \pi \int\limits_a^b {{f^2}\left( x \right)} dx$$ Trường hợp 2. Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường y = f(x), y = g(x), x = a và x = b (a < b) quay quanh trục Ox là $$V = \pi \int\limits_a^b {\left| {{f^2}\left( x \right) – {g^2}\left( x \right)} \right|} dx$$ Xem thêm Tìm nguyên hàm bằng máy tính Casio nhanh và chính xác Like share và ủng hộ chúng mình nhé: Tags: Công thức ứng dụng tích phânứng dụng tích phânứng dụng tích phân tính diện tích
Bài viết khác cùng mục:
Tính nhanh nguyên hàm từng phần bằng sơ đồ Các dạng bài tập tìm GTLN và GTNN của hàm số lượng giác 160 câu trắc nghiệm hàm số lớp 12 có đáp án Cách giải bất phương trình Mũ Logarit chứa tham số dùng bảng biến thiên Tổng hợp các câu hỏi về Mũ và Logarit trong đề thi THPTQG từ 2017 đến nay Phương pháp hàm số giải phương trình Mũ Logarit thi THPTQG Tìm m để phương trình mũ có nghiệm thỏa mãn – Phương trình mũ chứa tham số Cách bấm máy tính Logarit nhanh và chính xác nhất Cách biến đổi đẳng thức cho trước thành đẳng thức Logarit dễ hiểu – Biến đổi biểu thức Logarit Cho đồ thị của hàm y’, cách xác định GTLN GTNN của hàm hợp Tìm m để hàm số có GTLN GTNN thỏa mãn điều kiện cho trước Giải tích 12 – Cực trị hàm hợp, sự biến thiên của hàm hợp Bài viết mới
TÔNG HỢP REVIEW Vòng Phỏng vấn Vietcombank đợt 1 NĂM 2025
Tài liệu ôn thi Agribank 2025
Bộ Văn hóa, Thể thao và Du lịch tuyển dụng viên chức năm 2025
Chú ý: – Nếu trên đoạn [a; b], hàm số f(x) không đổi dấu thì: $$\int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|} dx = \left| {\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} } \right|$$ – Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường x = g(y), x = h(y) và hai đường thẳng y = c, y = d được xác định: $$S = \int\limits_c^d {\left| {g\left( y \right) – h\left( y \right)} \right|} dy$$ 
Khi đó, thể tích của vật thể B được xác định: $$V = \int\limits_a^b {S\left( x \right)} dx$$ b) Thể tích khối tròn xoay: Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y = f(x) , trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b quanh trục Ox: 
Chú ý: – Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường x = g(y), trục hoành và hai đường thẳng y = c, y = d quanh trục Oy: 
– Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y = f(x), y = g(x) và hai đường thẳng x = a, x = b quanh trục Ox: $$V = \pi \int\limits_a^b {\left| {{f^2}\left( x \right) – {g^2}\left( x \right)} \right|} dx$$ 
Tags: Công thức ứng dụng tích phânứng dụng tích phânứng dụng tích phân tính diện tích 
Tính nhanh nguyên hàm từng phần bằng sơ đồ 
Các dạng bài tập tìm GTLN và GTNN của hàm số lượng giác 
160 câu trắc nghiệm hàm số lớp 12 có đáp án 
Cách giải bất phương trình Mũ Logarit chứa tham số dùng bảng biến thiên 
Tổng hợp các câu hỏi về Mũ và Logarit trong đề thi THPTQG từ 2017 đến nay 
Phương pháp hàm số giải phương trình Mũ Logarit thi THPTQG 
Tìm m để phương trình mũ có nghiệm thỏa mãn – Phương trình mũ chứa tham số 
Cách bấm máy tính Logarit nhanh và chính xác nhất 
Cho đồ thị của hàm y’, cách xác định GTLN GTNN của hàm hợp 
Tìm m để hàm số có GTLN GTNN thỏa mãn điều kiện cho trước 
Giải tích 12 – Cực trị hàm hợp, sự biến thiên của hàm hợp Bài viết mới