Cực Trị Có điều Kiện (cực Trị Ràng Buộc) | Maths 4 Physics & More...

Có thể bạn quan tâm

Ví dụ: Tìm cực trị của hàm z = 3x + 4y với điều kiện $x^2 + y^2 = 1$

Lập hàm Larrange: $F(x, y, {\lambda}) = 3x + 4y + {\lambda}(x^2+y^2-1)$

Giải hệ phương trình:

$\left\{\begin{array}{l} F_x^{'} = 3 + 2{\lambda}.x = 0 \\ 4 + 2{\lambda}.y = 0 \\ x^2 + y^2 = 1 \\ \end{array} \right.$

Từ 2 phương trình đầu, ta rút ra $x = -{ \dfrac{3}{\lambda}} ; y = -{ \dfrac{2}{\lambda}}$ , sau đó thế vào phương trình 3 ta tìm được: $\lambda = \pm { \dfrac{5}{2}}$

– Với ${\lambda} = { \dfrac{5}{2}} : x = -{ \dfrac{3}{5}} ; y = -{ \dfrac{4}{5}} \Rightarrow M \left( -{ \dfrac{3}{5}}; -{ \dfrac{4}{5}} \right)$

– Với ${\lambda} = -{ \dfrac{5}{2}} : x = { \dfrac{3}{5}} ; y = { \dfrac{4}{5}} \Rightarrow N \left( -{ \dfrac{3}{5}}; -{ \dfrac{4}{5}} \right)$

Điều kiện đủ:

Cách 1: ta xét dấu của $d^2F$

– Với ${\lambda} = { \dfrac{5}{2}}$ :

Ta có: ${ \dfrac{{\partial}^2F}{{\partial}x^2}} = 5 ; { \dfrac{{\partial}^2F}{{\partial}x{\partial}y}} =0 ; { \dfrac{{\partial}^2F}{{\partial}x^2}} = 5$

Khi đó: $d^2F = 5(dx^2+dy^2) > 0 , \forall dx,dy: -{ \dfrac{6}{5}}dx-{ \dfrac{8}{5}}dy = 0$

Vậy hàm số có cực tiểu có điều kiện tại $\left(-{ \dfrac{3}{5}} ; -{ \dfrac{4}{5}}\right)$ và giá trị cực tiểu z = -5.

– Với ${\lambda} = -{ \dfrac{5}{2}}$ :

Ta có: ${ \dfrac{{\partial}^2F}{{\partial}x^2}} = -5 ; { \dfrac{{\partial}^2F}{{\partial}x{\partial}y}} =0 ; { \dfrac{{\partial}^2F}{{\partial}x^2}} = -5$

Khi đó: $d^2F = -5(dx^2+dy^2) < 0 , \forall dx,dy: { \dfrac{6}{5}}dx+{ \dfrac{8}{5}}dy = 0$

Vậy hàm số có cực đại có điều kiện tại $\left({ \dfrac{3}{5}} ; { \dfrac{4}{5}}\right)$ và giá trị cực đại z = 5.

Cách 2: xác định dấu của định thức $\Delta$ :

– Với ${\lambda} = { \dfrac{5}{2}}$ :

Với $g(x,y) = x^2 + y^2 - 1 \Rightarrow D = -{ \dfrac{6}{5}}; E = -{ \dfrac{8}{5}}$

Ta có: $A = 5, B = 0, C = 5$

Vậy: $\Delta = - \left|\begin{array}{ccc} 0 & -{ \dfrac{6}{5}} & -{ \dfrac{8}{5}} \\ -{ \dfrac{6}{5}} & 5 & 0 \\ -{ \dfrac{8}{5}} & 0 & 5 \\ \end{array} \right| = 20$

Vậy hàm số có cực tiểu có điều kiện tại $\left(-{ \dfrac{3}{5}} ; -{ \dfrac{4}{5}}\right)$ và giá trị cực tiểu z = -5.

– Với ${\lambda} = -{ \dfrac{5}{2}}$ :

Với $g(x,y) = x^2 + y^2 - 1 \Rightarrow D = { \dfrac{6}{5}}; E ={ \dfrac{8}{5}}$

Ta có: $A = -5, B = 0, C = -5$

Vậy: $\Delta = - \left|\begin{array}{ccc} 0 & { \dfrac{6}{5}} & { \dfrac{8}{5}} \\ { \dfrac{6}{5}} & -5 & 0 \\ { \dfrac{8}{5}} & 0 & -5 \\ \end{array} \right| = -20$

Vậy hàm số có cực đại có điều kiện tại $\left({ \dfrac{3}{5}} ; { \dfrac{4}{5}}\right)$ và giá trị cực đại z = 5.

Bài tập giải mẫu: Tìm cực trị có điều kiện của hàm số: $z = x^2+y^2 - xy + x + y - 4$ , với $x + y + 3 = 0 (2)$

Cách 1: Chuyển về hàm 1 biến.

Từ (2) ta có: $y = -x - 3$ . Thế vào hàm số ta có:

$z = x^2 + (x+3)^2 +x(x+3) - 7 = 3x^2 + 9x + 2$

Ta có: $z_x^{'} = 6x + 9 \Rightarrow z_x^{'} = 0 \Leftrightarrow x = -{ \dfrac{3}{2}}$

Lập bảng biến thiên:

$\begin{array}{c|ccccc} x & -{\infty} & \qquad & -{ \dfrac{3}{2}} & \qquad & +{\infty} \\ \hline z' & \qquad & - & 0 & + & \qquad \\ \hline z & +{\infty} & \searrow & -{ \dfrac{19}{4}} & \nearrow & +{\infty} \\ \end{array}$

Vậy hàm số đạt cực tiểu có điều kiện tại $x = y = - { \dfrac{3}{2}}$ , với $z_{ct} = -{ \dfrac{19}{4}}$

Cách 2: Lập hàm Larrange:

Xét $F(x;y;{\lambda}) = x^2 + y^2 - xy + x + y - 4 +{\lambda}(x+y-3)$

Tọa độ điểm dừng của hàm Larrange là nghiệm hệ:

$\left\{\begin{array}{c} 2x - y + 1+{\lambda} = 0 \\ 2y - x +1+ {\lambda} = 0 \\ x + y - 3 = 0 \\ \end{array} \right.$

Giải hệ phương trình ta có: $x = y = -{ \dfrac{3}{2}} ; \lambda = { \dfrac{9}{2}}$

Vậy tọa độ điểm dừng $P \left(-{ \dfrac{3}{2}};-{ \dfrac{3}{2}} \right)$ ứng với $\lambda = { \dfrac{9}{2}}$

– Ta có: $F_{xx}^{''} = 2 ; F_{xy}^{''} = -1 ; F_{yy}^{''} = 2$

Cách 1: xét dấu $d^2F$ :

Ta có: $d^2F = 2dx^2-dxdy+2dy^2$ , với dx, dy thỏa mãn pt: $dx + dy = 0$ (vi phân của (2) tại điểm P)

Khi đó: $d^2F = 2dx^2-dx(-dx)+2(-dx)^2 = 5dx^2 > 0$

Vậy hàm số đạt cực tiểu có điều kiện tại P và $z_{ct} = -{ \dfrac{19}{4}}$

Cách 2: Xét dấu $\Delta$

Ta có: $A = 2 , B = -1, C = 2 ; D = 1 ; E = 1$

Vậy: $\Delta = - \left|\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & -1 \\ 1 & -1 & 2 \\ \end{array} \right| = 6 > 0$

Vậy hàm số đạt cực tiểu tại P và $z_{ct} = -{ \dfrac{19}{4}}$

Bài tập tự giải: Tìm cực trị có điều kiện

1. $z = { \dfrac{1}{x}} + { \dfrac{1}{y}}$ , với $x + y = 2$

2. $z = 2x + y$ với $x + 2y = 1$

3. $z = 4(x-y) -x^2 -y^2$ với $x^2 + y^2 \le 1$

4. $z = x^2 + 12xy + y^2$ với $4x^2 + y^2 \le 25$

Đánh giá:

Chia sẻ:

In
PDF
Email
Facebook

Thích Đang tải...

Trang: 1 2

Thảo luận

30 bình luận về “Cực trị có điều kiện (cực trị ràng buộc)”

thầy ơi giải giúp e bài này với ạ tìm cực trị của f(x,y,z)=4y-2z với giả thiết ràng buộc là 2x-y-z=2 và x^2+y^2=1

ThíchThích
Được đăng bởi Luyến | 28/04/2017, 23:25 Reply to this comment
Thầy ơi. Thầy giúp em giải câu hỏi này nhá Thầy…

Tìm cực trị của hàm z=x^3 + y^2 với điều kiện x^2 + y^2 =1.

Cảm ơn Thầy nhé..!!!

ThíchThích
Được đăng bởi LMH | 26/11/2014, 10:17 Reply to this comment
cám ơn thầy về bài viết trên .ở đây là trường hợp 2 biến em muốn hỏi vậy trường hợp 3 biến thì ta giải quyết như thế nào ạ !

ThíchThích
Được đăng bởi Vũ Văn Quyết | 30/12/2012, 14:51 Reply to this comment
Mot hinh hop cn ho phia tren co the tich 32cm khoi, hoi cac cach phai co do dai la bao nhieu de hop co dien tich xung quanh nho nhat. E rat me toan, mong thay giai giup e voi, thank u very much!

ThíchĐã thích bởi 1 người
Được đăng bởi Minh thang | 08/02/2012, 08:29 Reply to this comment
Bài toán tìm cực trị có điều kiện em muốn hỏi là: em đọc giải một số bài thấy người ta sau khi thay (x0,y0,z0) vào vi phân vấp 2 rồi sau đó họ lại xét điều kiện của dx,dy,dz. em ko hiểu để làm gỉ? em nghĩ là chỉ cần thay giá trị vào rồi so sánh với 0 là xong mà????

ThíchThích
Được đăng bởi công | 21/04/2011, 09:10 Reply to this comment
cho em hỏi, tại sao Delta > 0 thì điểm dừng đó là điểm cực đại với điều kiện ràng buộc tương ứng ạ

ThíchThích
Được đăng bởi hanh trinh | 21/03/2011, 18:53 Reply to this comment
Thưa thầy cho em hỏi một chút về giá trị định thức delta . Ở trên em chỉ thấy nêu 2 trường hợp delta >0 và delta < 0 . Vậy nếu delta = 0 thì ta phải xử lí như thế nào với giá trị điểm dừng x1 ?

ThíchThích
Được đăng bởi Lê Văn Việt | 13/03/2011, 09:46 Reply to this comment
bài tập này hay đấy nhưng cần nhiều hơn để rèn luyện…. thank you………

ThíchThích
Được đăng bởi anh tuấn | 21/02/2011, 23:46 Reply to this comment
vâng.thầy có thể lấy vài ví dụ về các trương hợp của phương pháp Larange không ạ.. em cảm ơn thầy!!

ThíchThích
Được đăng bởi BK2.25 | 29/12/2010, 07:46 Reply to this comment
thầy có thể lấy cho chúng em thêm 1 ví dụ về dạng này không ạ. giả sử hệ F'(x) = 0 , F’ (y) = 0 va phi (x) = 0 vô nghiệm thì kết luận hàm số không có cực trị phải không ạ. em cảm ơn thầy !!!

ThíchThích
Được đăng bởi bk2.25k55 | 28/12/2010, 11:38 Reply to this comment
Thưa thầy cho em hỏi nếu “delta = 0” thì làm thế nào ạ?

ThíchThích
Được đăng bởi hoang hung | 08/12/2010, 22:07 Reply to this comment
thầy ơi, cho em hỏi cực trị địa phương và cực trị thì có điểm giống và khác nhau thế nào ạ? em cần gấp lắm! cảm ơn thầy!

ThíchThích
Được đăng bởi haukute | 21/05/2010, 02:22 Reply to this comment
- Khi nói hàm số đạt cực trị tại (x0.y0) nghĩa là ta phải ngầm hiểu là nó đạt cực trị địa phương tại điểm đó bởi lẽ xét cực trị tại (x0;y0) đó là xét giá trị hàm số tại điểm đó với những điểm nằm trong lân cận của (x0;y0) bán kính epsilon.
  
  ThíchThích
  Được đăng bởi 2Bo02B | 23/05/2010, 22:27 Reply to this comment