Cực Trị Có điều Kiện.

Định nghĩa1: Một hàm được cho là có cực đại cục bộ tại một điểm nếu tồn tại một vùng lân cận của điểm sao cho bất kỳ điểm nào M với tọa độ (x, y) bất đẳng thức được đáp ứng:. Trong trường hợp này, tức là số gia của hàm< 0.

Định nghĩa2: Một hàm được cho là có cực tiểu cục bộ tại một điểm nếu tồn tại một vùng lân cận của điểm sao cho bất kỳ điểm nào M với tọa độ (x, y) bất đẳng thức được đáp ứng:. Trong trường hợp này, tức là số gia của hàm> 0.

Định nghĩa 3: Điểm tối thiểu và điểm tối đa cục bộ được gọi là điểm cực trị.

Cực trị có điều kiện

Khi tìm kiếm cực trị của một hàm nhiều biến, các vấn đề thường nảy sinh liên quan đến cái gọi là cực trị có điều kiện. Khái niệm này có thể được giải thích bằng ví dụ về một hàm hai biến.

Cho một hàm và một dòng được cho trước L trên bề mặt 0xy. Nhiệm vụ là xếp hàng L tìm một điểm như vậy P (x, y), trong đó giá trị của hàm lớn nhất hoặc nhỏ nhất so với các giá trị của hàm này tại các điểm thuộc đoạn thẳng L nằm gần điểm P. Điểm như vậy P triệu tập điểm cực trị có điều kiện chức năng dòng L. Không giống như điểm cực trị thông thường, giá trị hàm tại điểm cực trị có điều kiện được so sánh với các giá trị hàm không phải tại tất cả các điểm của một số vùng lân cận của nó, mà chỉ ở những điểm nằm trên đường L.

Rõ ràng là quan điểm của thái cực thông thường (họ cũng nói cực đoan vô điều kiện) cũng là một điểm cực trị có điều kiện cho bất kỳ đường thẳng nào đi qua điểm này. Tất nhiên, ngược lại là không đúng: một điểm cực trị có điều kiện có thể không phải là một điểm cực trị thông thường. Hãy để tôi giải thích điều này bằng một ví dụ đơn giản. Đồ thị của hàm số là bán cầu trên (Phụ lục 3 (Hình 3)).

Hàm này có giá trị cực đại tại điểm gốc; nó tương ứng với đầu M bán cầu. Nếu dòng L có một đường thẳng đi qua các điểm NHƯNG và TẠI(phương trình của cô ấy x + y-1 = 0), thì rõ ràng về mặt hình học rằng đối với các điểm của đường thẳng này, giá trị lớn nhất của hàm đạt được tại điểm nằm ở giữa giữa các điểm NHƯNG và TẠI.Đây là điểm cực trị có điều kiện (cực đại) của hàm trên dòng cho trước; nó tương ứng với điểm M 1 trên bán cầu, và có thể thấy từ hình vẽ rằng không thể có bất kỳ điểm cực trị thông thường nào ở đây.

Lưu ý rằng trong phần cuối cùng của bài toán tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của một hàm trong một vùng đóng, chúng ta phải tìm các giá trị cực trị của hàm trên biên của vùng này, tức là. trên một số dòng, và do đó giải quyết vấn đề cho một cực trị có điều kiện.

Bây giờ chúng ta hãy tiến hành tìm kiếm các điểm cực trị có điều kiện của hàm Z = f (x, y) với điều kiện các biến x và y có quan hệ với nhau bởi phương trình (x, y) = 0. Mối quan hệ này sẽ là được gọi là phương trình ràng buộc. Nếu từ phương trình kết nối y có thể được biểu thị rõ ràng theo x: y \ u003d (x), chúng ta nhận được một hàm của một biến Z \ u003d f (x, (x)) \ u003d Ф (x).

Sau khi tìm thấy giá trị của x mà tại đó hàm này đạt cực trị và sau đó xác định các giá trị tương ứng của y từ phương trình kết nối, chúng ta sẽ thu được các điểm mong muốn của cực trị có điều kiện.

Vì vậy, trong ví dụ trên, từ phương trình truyền x + y-1 = 0, chúng ta có y = 1-x. Từ đây

Dễ dàng kiểm tra rằng z đạt cực đại tại x = 0,5; nhưng sau đó từ phương trình kết nối y = 0,5, và chúng tôi nhận được chính xác điểm P, được tìm thấy từ các xem xét hình học.

Bài toán cực trị có điều kiện được giải rất đơn giản ngay cả khi phương trình ràng buộc có thể được biểu diễn bằng các phương trình tham số x = x (t), y = y (t). Thay các biểu thức x và y vào hàm này, chúng ta lại đến với bài toán tìm cực trị của hàm một biến.

Nếu phương trình ràng buộc có dạng phức tạp hơn và chúng ta không thể biểu thị rõ ràng một biến này theo biến khác, hoặc thay thế nó bằng phương trình tham số, thì bài toán tìm điểm cực trị có điều kiện sẽ trở nên khó khăn hơn. Chúng ta sẽ tiếp tục giả sử rằng trong biểu thức của hàm z = f (x, y) biến (x, y) = 0. Đạo hàm toàn phần của hàm z = f (x, y) bằng:

Đạo hàm y` ở đâu, được tìm thấy theo quy tắc phân biệt của hàm ẩn. Tại các điểm của cực trị có điều kiện, đạo hàm toàn phần tìm được phải bằng 0; điều này cho ta một phương trình liên quan đến x và y. Vì chúng cũng phải thỏa mãn phương trình ràng buộc nên ta nhận được một hệ hai phương trình với hai ẩn số

Hãy biến đổi hệ thống này thành một hệ thống thuận tiện hơn nhiều bằng cách viết phương trình đầu tiên dưới dạng tỷ lệ và đưa vào một ẩn số phụ mới:

(phía trước có đặt dấu trừ để tiện theo dõi). Có thể dễ dàng chuyển từ các giá trị bằng này sang hệ thống sau:

f` x = (x, y) + `x (x, y) = 0, f` y (x, y) +` y (x, y) = 0 (*),

mà cùng với phương trình ràng buộc (x, y) = 0, tạo thành một hệ ba phương trình với các ẩn số x, y và.

Các phương trình (*) này dễ nhớ nhất bằng cách sử dụng quy tắc sau: để tìm các điểm có thể là điểm cực trị có điều kiện của hàm

Z = f (x, y) với phương trình ràng buộc (x, y) = 0, bạn cần tạo một hàm phụ

F (x, y) = f (x, y) + (x, y)

Hằng số ở đâu và viết phương trình để tìm các điểm cực trị của hàm số này.

Theo quy luật, hệ phương trình được chỉ định chỉ cung cấp các điều kiện cần thiết, tức là không phải mọi cặp giá trị x và y thỏa mãn hệ thức này đều là một điểm cực trị có điều kiện. Tôi sẽ không đưa ra các điều kiện đầy đủ cho các điểm cực trị có điều kiện; rất thường nội dung cụ thể của vấn đề tự nó gợi ý điểm tìm được là gì. Kỹ thuật được mô tả để giải các bài toán cho một cực trị có điều kiện được gọi là phương pháp nhân Lagrange.

Đầu tiên chúng ta hãy xem xét trường hợp của một hàm hai biến. Cực trị có điều kiện của hàm $ z = f (x, y) $ tại điểm $ M_0 (x_0; y_0) $ là cực trị của hàm này, đạt được với điều kiện là các biến $ x $ và $ y $ trong vùng lân cận của điểm này thỏa mãn phương trình ràng buộc $ \ varphi (x, y) = 0 $.

Tên cực trị "có điều kiện" là do điều kiện bổ sung $ \ varphi (x, y) = 0 $ được áp dụng cho các biến. Nếu có thể biểu diễn một biến dưới dạng khác từ phương trình kết nối, thì bài toán xác định cực trị có điều kiện được rút gọn thành bài toán về cực trị thông thường của hàm một biến. Ví dụ: nếu $ y = \ psi (x) $ theo sau từ phương trình ràng buộc, sau đó thay $ y = \ psi (x) $ thành $ z = f (x, y) $, chúng ta nhận được một hàm của một biến $ z = f \ left (x, \ psi (x) \ right) $. Tuy nhiên, trong trường hợp chung, phương pháp này ít được sử dụng, vì vậy cần phải có một thuật toán mới.

Phương pháp nhân Lagrange cho hàm hai biến.

Phương pháp của nhân Lagrange là để tìm cực trị có điều kiện, hàm Lagrange được cấu tạo: $ F (x, y) = f (x, y) + \ lambda \ varphi (x, y) $ (tham số $ \ lambda $ được gọi là số nhân Lagrange). Các điều kiện cực đại cần thiết được đưa ra bởi một hệ phương trình mà từ đó các điểm đứng yên được xác định:

$$ \ left \ (\ begin (căn chỉnh) & \ frac (\ một phần F) (\ một phần x) = 0; \\ & \ frac (\ một phần F) (\ một phần y) = 0; \\ & \ varphi (x, y) = 0. \ end (căn chỉnh) \ phải. $$

Kí hiệu $ d ^ 2 F = F_ (xx) ^ ("") dx ^ 2 + 2F_ (xy) ^ ("") dxdy + F_ (yy) ^ ("") dy ^ 2 $. Nếu tại điểm đứng yên $ d ^ 2F> 0 $, thì hàm $ z = f (x, y) $ có điều kiện cực tiểu tại điểm này, nhưng nếu $ d ^ 2F< 0$, то условный максимум.

Có một cách khác để xác định bản chất của điểm cực trị. Từ phương trình ràng buộc, chúng ta nhận được: $ \ varphi_ (x) ^ (") dx + \ varphi_ (y) ^ (") dy = 0 $, $ dy = - \ frac (\ varphi_ (x) ^ (")) ( \ varphi_ (y) ^ (")) dx $, vì vậy tại bất kỳ điểm tĩnh nào, chúng ta có:

$$ d ^ 2 F = F_ (xx) ^ ("") dx ^ 2 + 2F_ (xy) ^ ("") dxdy + F_ (yy) ^ ("") dy ^ 2 = F_ (xx) ^ ( "") dx ^ 2 + 2F_ (xy) ^ ("") dx \ left (- \ frac (\ varphi_ (x) ^ (")) (\ varphi_ (y) ^ (")) dx \ right) + F_ (yy) ^ ("") \ left (- \ frac (\ varphi_ (x) ^ (")) (\ varphi_ (y) ^ (")) dx \ right) ^ 2 = \\ = - \ frac (dx ^ 2) (\ left (\ varphi_ (y) ^ (") \ right) ^ 2) \ cdot \ left (- (\ varphi_ (y) ^ (")) ^ 2 F_ (xx) ^ (" ") +2 \ varphi_ (x) ^ (") \ varphi_ (y) ^ (") F_ (xy) ^ (" ") - (\ varphi_ (x) ^ (")) ^ 2 F_ (yy) ^ ("") \ right) $$

Yếu tố thứ hai (nằm trong ngoặc) có thể được biểu diễn ở dạng sau:

Các phần tử của $ \ left | \ begin (array) (cc) F_ (xx) ^ ("") & F_ (xy) ^ ("") \\ F_ (xy) ^ ("") & F_ (yy) ^ ("") \ end (array) \ right | $ là Hessian của hàm Lagrange. Nếu $ H> 0 $ thì $ d ^ 2F< 0$, что указывает на условный максимум. Аналогично, при $H < 0$ имеем $d^2F >$ 0, tức là chúng ta có điều kiện tối thiểu của hàm $ z = f (x, y) $.

Lưu ý về dạng của định thức $ H $. hiện an

$$ H = - \ left | \ begin (array) (ccc) 0 & \ varphi_ (x) ^ (") & \ varphi_ (y) ^ (") \\ \ varphi_ (x) ^ (") & F_ (xx) ^ ("") & F_ (xy) ^ ("") \\ \ varphi_ (y) ^ (") & F_ (xy) ^ (" ") & F_ (yy) ^ (" ") \ end (array) \ right | $$

Trong trường hợp này, quy tắc được xây dựng ở trên thay đổi như sau: nếu $ H> 0 $, thì hàm có điều kiện tối thiểu và đối với $ H< 0$ получим условный максимум функции $z=f(x,y)$. При решении задач следует учитывать такие нюансы.

Thuật toán nghiên cứu một hàm hai biến đối với cực trị có điều kiện

1. Soạn hàm Lagrange $ F (x, y) = f (x, y) + \ lambda \ varphi (x, y) $
2. Giải hệ thống $ \ left \ (\ begin (căn chỉnh) & \ frac (\ một phần F) (\ một phần x) = 0; \\ & \ frac (\ một phần F) (\ một phần y) = 0; \\ & \ varphi (x, y) = 0. \ end (căn chỉnh) \ phải. $
3. Xác định bản chất của cực trị tại mỗi điểm đứng yên trong đoạn trước. Để thực hiện việc này, hãy sử dụng bất kỳ phương pháp nào sau đây:
   • Soạn định thức $ H $ và tìm dấu hiệu của nó
   • Tính đến phương trình ràng buộc, hãy tính dấu của $ d ^ 2F $

Phương pháp nhân Lagrange cho các hàm của n biến

Giả sử chúng ta có một hàm gồm $ n $ các biến $ z = f (x_1, x_2, \ ldots, x_n) $ và các phương trình ràng buộc $ m $ ($ n> m $):

$$ \ varphi_1 (x_1, x_2, \ ldots, x_n) = 0; \ U0026 \ varphi_2 (x_1, x_2, \ ldots, x_n) = 0, \ ldots, \ varphi_m (x_1, x_2, \ ldots, x_n) = 0. $$

Ký hiệu các số nhân Lagrange là $ \ lambda_1, \ lambda_2, \ ldots, \ lambda_m $, chúng tôi soạn hàm Lagrange:

$$ F (x_1, x_2, \ ldots, x_n, \ lambda_1, \ lambda_2, \ ldots, \ lambda_m) ​​= f + \ lambda_1 \ varphi_1 + \ lambda_2 \ varphi_2 + \ ldots + \ lambda_m \ varphi_m $$

Các điều kiện cần thiết để tồn tại một điểm cực trị có điều kiện được đưa ra bởi một hệ phương trình mà từ đó tọa độ của các điểm đứng yên và các giá trị của nhân Lagrange được tìm thấy:

$$ \ left \ (\ begin (căn chỉnh) & \ frac (\ một phần F) (\ một phần x_i) = 0; (i = \ overline (1, n)) \\ & \ varphi_j = 0; (j = \ overline (1, m)) \ end (căn chỉnh) \ phải. $$

Có thể tìm hiểu xem một hàm có giá trị cực tiểu có điều kiện hay cực đại có điều kiện tại điểm tìm được, như trước đây, bằng cách sử dụng dấu $ d ^ 2F $. Nếu tại điểm tìm được $ d ^ 2F> 0 $, thì hàm có điều kiện tối thiểu, nhưng nếu $ d ^ 2F< 0$, - то условный максимум. Можно пойти иным путем, рассмотрев следующую матрицу:

Định thức ma trận $ \ left | \ begin (mảng) (ccccc) \ frac (\ một phần ^ 2F) (\ một phần x_ (1) ^ (2)) & \ frac (\ một phần ^ 2F) (\ một phần x_ (1) \ một phần x_ (2) ) & \ frac (\ một phần ^ 2F) (\ một phần x_ (1) \ một phần x_ (3)) & \ ldots & \ frac (\ một phần ^ 2F) (\ một phần x_ (1) \ một phần x_ (n)) \\ \ frac (\ một phần ^ 2F) (\ một phần x_ (2) \ một phần x_1) & \ frac (\ một phần ^ 2F) (\ một phần x_ (2) ^ (2)) & \ frac (\ một phần ^ 2F ) (\ một phần x_ (2) \ một phần x_ (3)) & \ ldots & \ frac (\ một phần ^ 2F) (\ một phần x_ (2) \ một phần x_ (n)) \\ \ frac (\ một phần ^ 2F ) (\ một phần x_ (3) \ một phần x_ (1)) & \ frac (\ một phần ^ 2F) (\ một phần x_ (3) \ một phần x_ (2)) & \ frac (một phần ^ 2F) (\ một phần x_ (3) ^ (2)) & \ ldots & \ frac (\ một phần ^ 2F) (\ một phần x_ (3) \ một phần x_ (n)) \\ \ ldots & \ ldots & \ ldots & \ ldots & \ ldots \\ \ frac (\ một phần ^ 2F) (\ một phần x_ (n) \ một phần x_ (1)) & \ frac (\ một phần ^ 2F) (\ một phần x_ (n) \ một phần x_ (2)) & \ frac (\ một phần ^ 2F) (\ một phần x_ (n) \ một phần x_ (3)) & \ ldots & \ frac (\ một phần ^ 2F) (\ một phần x_ (n) ^ (2)) \\ \ end ( array) \ right | $ được đánh dấu màu đỏ trong ma trận $ L $ là Hessian của hàm Lagrange. Chúng tôi sử dụng quy tắc sau:

• Nếu các dấu hiệu của trẻ vị thành niên ở góc là $ H_ (2m + 1), \; Các ma trận H_ (2m + 2), \ ldots, H_ (m + n) $ $ L $ trùng với dấu của $ (- 1) ^ m $ thì điểm dừng đang nghiên cứu là điểm cực tiểu có điều kiện của hàm $ z = f (x_1, x_2, x_3, \ ldots, x_n) $.
• Nếu các dấu hiệu của trẻ vị thành niên ở góc là $ H_ (2m + 1), \; H_ (2m + 2), \ ldots, H_ (m + n) $ thay thế và dấu của $ H_ (2m + 1) $ trùng với dấu của số $ (- 1) ^ (m + 1 ) $, thì điểm dừng được nghiên cứu là điểm cực đại có điều kiện của hàm $ z = f (x_1, x_2, x_3, \ ldots, x_n) $.

Ví dụ 1

Tìm cực trị có điều kiện của hàm $ z (x, y) = x + 3y $ với điều kiện $ x ^ 2 + y ^ 2 = 10 $.

Giải hình học của bài toán này như sau: yêu cầu tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của ứng dụng của mặt phẳng $ z = x + 3y $ cho các giao điểm của nó với hình trụ $ x ^ 2 + y ^ 2 = 10 $.

Hơi khó để thể hiện một biến này theo biến khác từ phương trình ràng buộc và thay thế nó vào hàm $ z (x, y) = x + 3y $, vì vậy chúng ta sẽ sử dụng phương pháp Lagrange.

Ký hiệu $ \ varphi (x, y) = x ^ 2 + y ^ 2-10 $, chúng tôi soạn hàm Lagrange:

$$ F (x, y) = z (x, y) + \ lambda \ varphi (x, y) = x + 3y + \ lambda (x ^ 2 + y ^ 2-10); \\ \ frac (\ một phần F) (\ một phần x) = 1 + 2 \ lambda x; \ frac (\ một phần F) (\ một phần y) = 3 + 2 \ lambda y. $$

Hãy cùng viết hệ phương trình xác định điểm đứng yên của hàm Lagrange:

$$ \ left \ (\ begin (căn chỉnh) & 1 + 2 \ lambda x = 0; \\ & 3 + 2 \ lambda y = 0; \\ & x ^ 2 + y ^ 2-10 = 0. \ end (căn chỉnh) \ phải. $$

Nếu chúng ta giả sử $ \ lambda = 0 $, thì phương trình đầu tiên trở thành: $ 1 = 0 $. Kết quả là mâu thuẫn nói rằng $ \ lambda \ neq 0 $. Với điều kiện $ \ lambda \ neq 0 $, từ phương trình thứ nhất và thứ hai, chúng ta có: $ x = - \ frac (1) (2 \ lambda) $, $ y = - \ frac (3) (2 \ lambda) $. Thay các giá trị thu được vào phương trình thứ ba, ta được:

$$ \ left (- \ frac (1) (2 \ lambda) \ right) ^ 2 + \ left (- \ frac (3) (2 \ lambda) \ right) ^ 2-10 = 0; \\ \ frac (1) (4 \ lambda ^ 2) + \ frac (9) (4 \ lambda ^ 2) = 10; \ lambda ^ 2 = \ frac (1) (4); \ left [\ begin (căn chỉnh) & \ lambda_1 = - \ frac (1) (2); \\ & \ lambda_2 = \ frac (1) (2). \ end (căn chỉnh) \ phải. \\ \ begin (căn chỉnh) & \ lambda_1 = - \ frac (1) (2); \ U0026 x_1 = - \ frac (1) (2 \ lambda_1) = 1; \ U0026 y_1 = - \ frac (3) (2 \ lambda_1) = 3; \\ & \ lambda_2 = \ frac (1) (2); \ U0026 x_2 = - \ frac (1) (2 \ lambda_2) = - 1; \ U0026 y_2 = - \ frac (3) (2 \ lambda_2) = - 3. \ end (căn chỉnh) $$

Vậy hệ có hai nghiệm: $ x_1 = 1; \; y_1 = 3; \; \ lambda_1 = - \ frac (1) (2) $ và $ x_2 = -1; \; y_2 = -3; \; \ lambda_2 = \ frac (1) (2) $. Chúng ta hãy tìm ra tính chất của cực trị tại mỗi điểm đứng yên: $ M_1 (1; 3) $ và $ M_2 (-1; -3) $. Để làm điều này, chúng tôi tính định thức $ H $ tại mỗi điểm.

$$ \ varphi_ (x) ^ (") = 2x; \; \ varphi_ (y) ^ (") = 2y; \; F_ (xx) ^ ("") = 2 \ lambda; \; F_ (xy) ^ ("") = 0; \; F_ (yy) ^ ("") = 2 \ lambda. \\ H = \ left | \ begin (array) (ccc) 0 & \ varphi_ (x) ^ (") & \ varphi_ (y) ^ (") \\ \ varphi_ (x) ^ (") & F_ (xx) ^ (" ") & F_ (xy) ^ ("") \\ \ varphi_ (y) ^ (") & F_ (xy) ^ (" ") & F_ (yy) ^ (" ") \ end (array) \ right | = \ trái | \ begin (array) (ccc) 0 & 2x & 2y \\ 2x & 2 \ lambda & 0 \\ 2y & 0 & 2 \ lambda \ end (array) \ right | = 8 \ cdot \ left | \ begin (array) (ccc) 0 & x & y \\ x & \ lambda & 0 \\ y & 0 & \ lambda \ end (array) \ right | $$

Tại điểm $ M_1 (1; 3) $ ta nhận được: $ H = 8 \ cdot \ left | \ begin (array) (ccc) 0 & x & y \\ x & \ lambda & 0 \\ y & 0 & \ lambda \ end (array) \ right | = 8 \ cdot \ left | \ begin (array) (ccc) 0 & 1 & 3 \\ 1 & -1/2 & 0 \\ 3 & 0 & -1/2 \ end (array) \ right | = 40> 0 $, vì vậy tại thời điểm $ M_1 (1; 3) $ hàm $ z (x, y) = x + 3y $ có điều kiện tối đa là $ z _ (\ max) = z (1; 3) = 10 $.

Tương tự, tại điểm $ M_2 (-1; -3) $ chúng ta tìm thấy: $ H = 8 \ cdot \ left | \ begin (array) (ccc) 0 & x & y \\ x & \ lambda & 0 \\ y & 0 & \ lambda \ end (array) \ right | = 8 \ cdot \ left | \ begin (array) (ccc) 0 & -1 & -3 \\ -1 & 1/2 & 0 \\ -3 & 0 & 1/2 \ end (array) \ right | = -40 $. Kể từ khi $ H< 0$, то в точке $M_2(-1;-3)$ имеем условный минимум функции $z(x,y)=x+3y$, а именно: $z_{\min}=z(-1;-3)=-10$.

Tôi lưu ý rằng thay vì tính toán giá trị của định thức $ H $ tại mỗi điểm, sẽ thuận tiện hơn nhiều nếu mở nó theo cách tổng quát. Để không làm lộn xộn văn bản với các chi tiết, tôi sẽ ẩn phương pháp này dưới một ghi chú.

Ký hiệu định thức $ H $ ở dạng tổng quát. hiện an

$$ H = 8 \ cdot \ left | \ begin (array) (ccc) 0 & x & y \\ x & \ lambda & 0 \\ y & 0 & \ lambda \ end (array) \ right | = 8 \ cdot \ left (- \ lambda (y ^ 2) - \ lambda (x ^ 2) \ right) = -8 \ lambda \ cdot \ left (y ^ 2 + x ^ 2 \ right). $$

Về nguyên tắc, $ H $ đã có dấu hiệu rõ ràng. Vì không có điểm nào $ M_1 $ hoặc $ M_2 $ trùng với điểm gốc nên $ y ^ 2 + x ^ 2> 0 $. Do đó, dấu của $ H $ ngược với dấu của $ \ lambda $. Bạn cũng có thể hoàn thành các phép tính:

$$ \ begin (căn chỉnh) & H (M_1) = - 8 \ cdot \ left (- \ frac (1) (2) \ right) \ cdot \ left (3 ^ 2 + 1 ^ 2 \ right) = 40; \ \ & H (M_2) = - 8 \ cdot \ frac (1) (2) \ cdot \ left ((- 3) ^ 2 + (- 1) ^ 2 \ right) = - 40. \ end (căn chỉnh) $$

Câu hỏi về tính chất của cực trị tại các điểm đứng yên $ M_1 (1; 3) $ và $ M_2 (-1; -3) $ có thể được giải mà không cần sử dụng định thức $ H $. Tìm dấu của $ d ^ 2F $ tại mỗi điểm đứng yên:

$$ d ^ 2 F = F_ (xx) ^ ("") dx ^ 2 + 2F_ (xy) ^ ("") dxdy + F_ (yy) ^ ("") dy ^ 2 = 2 \ lambda \ left ( dx ^ 2 + dy ^ 2 \ right) $$

Tôi lưu ý rằng ký hiệu $ dx ^ 2 $ có nghĩa là chính xác $ dx $ được nâng lên lũy thừa thứ hai, tức là $ \ left (dx \ right) ^ 2 $. Do đó chúng ta có: $ dx ^ 2 + dy ^ 2> 0 $, vì vậy với $ \ lambda_1 = - \ frac (1) (2) $, chúng ta nhận được $ d ^ 2F< 0$. Следовательно, функция имеет в точке $M_1(1;3)$ условный максимум. Аналогично, в точке $M_2(-1;-3)$ получим условный минимум функции $z(x,y)=x+3y$. Отметим, что для определения знака $d^2F$ не пришлось учитывать связь между $dx$ и $dy$, ибо знак $d^2F$ очевиден без дополнительных преобразований. В следующем примере для определения знака $d^2F$ уже будет необходимо учесть связь между $dx$ и $dy$.

Trả lời: tại điểm $ (- 1; -3) $ hàm có điều kiện nhỏ nhất, $ z _ (\ min) = - 10 $. Tại điểm $ (1; 3) $ hàm có điều kiện tối đa, $ z _ (\ max) = 10 $

Ví dụ số 2

Tìm cực trị có điều kiện của hàm $ z (x, y) = 3y ^ 3 + 4x ^ 2-xy $ với điều kiện $ x + y = 0 $.

Cách đầu tiên (phương pháp nhân Lagrange)

Ký hiệu $ \ varphi (x, y) = x + y $, chúng ta soạn hàm Lagrange: $ F (x, y) = z (x, y) + \ lambda \ varphi (x, y) = 3y ^ 3 + 4x ^ 2 -xy + \ lambda (x + y) $.

$$ \ frac (\ một phần F) (\ một phần x) = 8x-y + \ lambda; \ U0026 \ frac (\ một phần F) (\ một phần y) = 9y ^ 2-x + \ lambda. \\ \ left \ (\ begin (căn chỉnh) & 8x-y + \ lambda = 0; \\ & 9y ^ 2-x + \ lambda = 0; \\ & x + y = 0. \ end (căn chỉnh) \ phải. $$

Giải hệ, ta được: $ x_1 = 0 $, $ y_1 = 0 $, $ \ lambda_1 = 0 $ và $ x_2 = \ frac (10) (9) $, $ y_2 = - \ frac (10) (9 ) $, $ \ lambda_2 = -10 $. Chúng ta có hai điểm đứng yên: $ M_1 (0; 0) $ và $ M_2 \ left (\ frac (10) (9); - \ frac (10) (9) \ right) $. Chúng ta hãy tìm bản chất của cực trị tại mỗi điểm đứng yên bằng cách sử dụng định thức $ H $.

$$ H = \ left | \ begin (array) (ccc) 0 & \ varphi_ (x) ^ (") & \ varphi_ (y) ^ (") \\ \ varphi_ (x) ^ (") & F_ (xx) ^ (" ") & F_ (xy) ^ ("") \\ \ varphi_ (y) ^ (") & F_ (xy) ^ (" ") & F_ (yy) ^ (" ") \ end (array) \ right | = \ trái | \ begin (array) (ccc) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 8 & -1 \\ 1 & -1 & 18y \ end (array) \ right | = -10-18y $$

Tại điểm $ M_1 (0; 0) $ $ H = -10-18 \ cdot 0 = -10< 0$, поэтому $M_1(0;0)$ есть точка условного минимума функции $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$, $z_{\min}=0$. В точке $M_2\left(\frac{10}{9};-\frac{10}{9}\right)$ $H=10 >0 $, vì vậy tại thời điểm này, hàm có điều kiện tối đa, $ z _ (\ max) = \ frac (500) (243) $.

Chúng tôi điều tra bản chất của cực trị tại mỗi điểm bằng một phương pháp khác nhau, dựa trên dấu của $ d ^ 2F $:

$$ d ^ 2 F = F_ (xx) ^ ("") dx ^ 2 + 2F_ (xy) ^ ("") dxdy + F_ (yy) ^ ("") dy ^ 2 = 8dx ^ 2-2dxdy + 18ydy ^ 2 $$

Từ phương trình ràng buộc $ x + y = 0 $ ta có: $ d (x + y) = 0 $, $ dx + dy = 0 $, $ dy = -dx $.

$$ d ^ 2 F = 8dx ^ 2-2dxdy + 18ydy ^ 2 = 8dx ^ 2-2dx (-dx) + 18y (-dx) ^ 2 = (10 + 18y) dx ^ 2 $$

Vì $ d ^ 2F \ Bigr | _ (M_1) = 10 dx ^ 2> 0 $ nên $ M_1 (0; 0) $ là điểm cực tiểu có điều kiện của hàm $ z (x, y) = 3y ^ 3 + 4x ^ 2-xy $. Tương tự, $ d ^ 2F \ Bigr | _ (M_2) = - 10 dx ^ 2< 0$, т.е. $M_2\left(\frac{10}{9}; -\frac{10}{9} \right)$ - точка условного максимума.

Cách thứ hai

Từ phương trình ràng buộc $ x + y = 0 $ ta được: $ y = -x $. Thay $ y = -x $ vào hàm $ z (x, y) = 3y ^ 3 + 4x ^ 2-xy $, ta thu được một hàm nào đó của biến $ x $. Hãy biểu thị hàm này là $ u (x) $:

$$ u (x) = z (x, -x) = 3 \ cdot (-x) ^ 3 + 4x ^ 2-x \ cdot (-x) = - 3x ^ 3 + 5x ^ 2. $$

Như vậy, chúng ta đã rút gọn bài toán tìm cực trị có điều kiện của hàm hai biến thành bài toán xác định cực trị của hàm một biến.

$$ u_ (x) ^ (") = - 9x ^ 2 + 10x; \\ -9x ^ 2 + 10x = 0; \; x \ cdot (-9x + 10) = 0; \\ x_1 = 0; \ ; y_1 = -x_1 = 0; \\ x_2 = \ frac (10) (9); \; y_2 = -x_2 = - \ frac (10) (9). $$

Có điểm $ M_1 (0; 0) $ và $ M_2 \ left (\ frac (10) (9); - \ frac (10) (9) \ right) $. Nghiên cứu sâu hơn được biết đến từ quá trình tính vi phân của các hàm một biến. Kiểm tra dấu của $ u_ (xx) ^ ("") $ tại mỗi điểm đứng yên hoặc kiểm tra sự đổi dấu của $ u_ (x) ^ (") $ tại các điểm tìm được, ta nhận được kết luận tương tự như khi giải bài thứ nhất. . Ví dụ: kiểm tra dấu $ u_ (xx) ^ ("") $:

$$ u_ (xx) ^ ("") = - 18x + 10; \\ u_ (xx) ^ ("") (M_1) = 10; \; u_ (xx) ^ ("") (M_2) = - 10. $$

Vì $ u_ (xx) ^ ("") (M_1)> 0 $ nên $ M_1 $ là điểm nhỏ nhất của hàm $ u (x) $, trong khi $ u _ (\ min) = u (0) = 0 $. Vì $ u_ (xx) ^ ("") (M_2) 0; \; y> 0. \ end (căn chỉnh) \ phải. $$

Tất cả các phép biến đổi tiếp theo được thực hiện có tính đến $ x> 0; \ U0026 y> 0 $ (điều này được quy định trong điều kiện của bài toán). Từ phương trình thứ hai, chúng ta biểu thị $ \ lambda = - \ frac (5x) (y) $ và thay giá trị tìm được vào phương trình thứ nhất: $ 5y- \ frac (5x) (y) \ cdot \ frac (x) ( 4) = 0 $, $ 4y ^ 2-x ^ 2 = 0 $, $ x = 2y $. Thay $ x = 2y $ vào phương trình thứ ba, ta được: $ \ frac (4y ^ 2) (8) + \ frac (y ^ 2) (2) -1 = 0 $, $ y ^ 2 = 1 $, $ y = 1 $.

Vì $ y = 1 $ nên $ x = 2 $, $ \ lambda = -10 $. Tính chất của điểm cực trị tại điểm $ (2; 1) $ được xác định theo dấu của $ d ^ 2F $.

$$ F_ (xx) ^ ("") = \ frac (\ lambda) (4); \ U0026 F_ (xy) ^ ("") = 5; \ U0026 F_ (yy) ^ ("") = \ lambda. $$

Vì $ \ frac (x ^ 2) (8) + \ frac (y ^ 2) (2) -1 = 0 $, nên:

$$ d \ left (\ frac (x ^ 2) (8) + \ frac (y ^ 2) (2) -1 \ right) = 0; \ U0026 d \ left (\ frac (x ^ 2) (8) \ right) + d \ left (\ frac (y ^ 2) (2) \ right) = 0; \ U0026 \ frac (x) (4) dx + ydy = 0; \ U0026 dy = - \ frac (xdx) (4y). $$

Về nguyên tắc, ở đây bạn có thể thay ngay tọa độ của điểm dừng $ x = 2 $, $ y = 1 $ và tham số $ \ lambda = -10 $, do đó thu được:

$$ F_ (xx) ^ ("") = \ frac (-5) (2); \ U0026 F_ (xy) ^ ("") = - 10; \ U0026 dy = - \ frac (dx) (2). \\ d ^ 2 F = F_ (xx) ^ ("") dx ^ 2 + 2F_ (xy) ^ ("") dxdy + F_ (yy) ^ (" ") dy ^ 2 = - \ frac (5) (2) dx ^ 2 + 10dx \ cdot \ left (- \ frac (dx) (2) \ right) -10 \ cdot \ left (- \ frac (dx) (2) \ right) ^ 2 = \\ = - \ frac (5) (2) dx ^ 2-5dx ^ 2- \ frac (5) (2) dx ^ 2 = -10dx ^ 2. $$

Tuy nhiên, trong các bài toán khác đối với điểm cực trị có điều kiện, có thể có một số điểm đứng yên. Trong những trường hợp như vậy, tốt hơn là biểu diễn $ d ^ 2F $ ở dạng tổng quát, và sau đó thay thế tọa độ của từng điểm đứng yên tìm được vào biểu thức kết quả:

$$ d ^ 2 F = F_ (xx) ^ ("") dx ^ 2 + 2F_ (xy) ^ ("") dxdy + F_ (yy) ^ ("") dy ^ 2 = \ frac (\ lambda) (4) dx ^ 2 + 10 \ cdot dx \ cdot \ frac (-xdx) (4y) + \ lambda \ cdot \ left (- \ frac (xdx) (4y) \ right) ^ 2 = \\ = \ frac (\ lambda) (4) dx ^ 2- \ frac (5x) (2y) dx ^ 2 + \ lambda \ cdot \ frac (x ^ 2dx ^ 2) (16y ^ 2) = \ left (\ frac (\ lambda ) (4) - \ frac (5x) (2y) + \ frac (\ lambda \ cdot x ^ 2) (16y ^ 2) \ right) \ cdot dx ^ 2 $$

Thay $ x = 2 $, $ y = 1 $, $ \ lambda = -10 $, ta được:

$$ d ^ 2 F = \ left (\ frac (-10) (4) - \ frac (10) (2) - \ frac (10 \ cdot 4) (16) \ right) \ cdot dx ^ 2 = - 10dx ^ 2. $$

Vì $ d ^ 2F = -10 \ cdot dx ^ 2< 0$, то точка $(2;1)$ есть точкой условного максимума функции $z=5xy-4$, причём $z_{\max}=10-4=6$.

Trả lời: tại điểm $ (2; 1) $ hàm có điều kiện tối đa, $ z _ (\ max) = 6 $.

Trong phần tiếp theo, chúng ta sẽ xem xét việc áp dụng phương pháp Lagrange cho các hàm có số lượng biến lớn hơn.

Ví dụ

Tìm cực trị của hàm với điều kiện X và tại có liên quan với nhau theo tỷ lệ:. Về mặt hình học, vấn đề có nghĩa như sau: trên một hình elip chiếc máy bay .

Vấn đề này có thể được giải quyết như sau: từ phương trình tìm thấy X:

miễn là , rút ​​gọn thành bài toán tìm cực trị của hàm một biến, trên đoạn .

Về mặt hình học, vấn đề có nghĩa như sau: trên một hình elip thu được bằng cách vượt qua hình trụ chiếc máy bay , nó được yêu cầu để tìm giá trị tối đa hoặc tối thiểu của ứng dụng (Hình 9). Vấn đề này có thể được giải quyết như sau: từ phương trình tìm thấy . Thay giá trị tìm được của y vào phương trình mặt phẳng, ta được một hàm một biến X:

Như vậy, bài toán tìm cực trị của hàm số miễn là , rút ​​gọn thành bài toán tìm cực trị của hàm một biến trên một đoạn.

Cho nên, vấn đề tìm một điểm cực trị có điều kiện là bài toán tìm điểm cực trị của hàm mục tiêu , với điều kiện là các biến X và tại chịu sự hạn chế triệu tập phương trình kết nối.

Chúng tôi sẽ nói rằng dấu chấm , thỏa mãn phương trình ràng buộc, là một điểm tối đa có điều kiện cục bộ (tối thiểu) nếu có một khu phố như vậy cho bất kỳ điểm nào , tọa độ của nó thỏa mãn phương trình ràng buộc, thì bất đẳng thức đó.

Nếu từ phương trình giao tiếp có thể tìm được biểu thức cho tại, sau đó, thay biểu thức này vào hàm ban đầu, chúng tôi biến biểu thức sau thành một hàm phức của một biến X.

Phương pháp chung để giải bài toán cực trị có điều kiện là Phương pháp số nhân Lagrange. Hãy tạo một chức năng bổ trợ, trong đó ─ một số. Chức năng này được gọi là Hàm Lagrange, một ─ Hệ số nhân Lagrange. Do đó, bài toán tìm điểm cực trị có điều kiện đã được rút gọn thành việc tìm điểm cực trị cục bộ cho hàm Lagrange. Để tìm các điểm có cực trị, cần giải hệ 3 phương trình với 3 ẩn số. x, y và.

Sau đó, người ta nên sử dụng điều kiện cực đại đủ sau đây.

LÝ THUYẾT. Gọi điểm là điểm cực trị có thể có của hàm Lagrange. Chúng tôi giả định rằng trong vùng lân cận của điểm có các đạo hàm riêng cấp hai liên tục của các hàm và . Chứng tỏ

Sau đó nếu , sau đó ─ điểm cực trị có điều kiện của hàm tại phương trình ràng buộc trong khi đó, nếu , sau đó ─ điểm tối thiểu có điều kiện, nếu , sau đó ─ điểm tối đa có điều kiện.

§tám. Gradient và đạo hàm có hướng

Để chức năng được xác định trong một số miền (mở). Xem xét bất kỳ điểm nào khu vực này và bất kỳ đường thẳng có hướng nào (trục) đi qua điểm này (Hình 1). Để cho được - một số điểm khác của trục này, - độ dài của đoạn giữa và , được thực hiện với một dấu cộng, nếu hướng trùng với hướng của trục và có dấu trừ nếu hướng của chúng ngược nhau.

Để cho được tiếp cận vô thời hạn . Giới hạn

triệu tập đạo hàm hàm đối với (hoặc dọc theo trục ) và được ký hiệu như sau:

.

Đạo hàm này đặc trưng cho "tốc độ thay đổi" của hàm tại điểm đối với . Đặc biệt, và các đạo hàm riêng thông thường ,cũng có thể được coi là phái sinh "đối với sự chỉ đạo".

Giả sử bây giờ hàm có các đạo hàm riêng liên tục trong vùng đang xét. Để trục tạo thành các góc với các trục tọa độ và . Theo các giả thiết được đưa ra, đạo hàm có hướng tồn tại và được biểu thị bằng công thức

.

Nếu vectơ được thiết lập bởi tọa độ của nó , thì đạo hàm của hàm theo hướng của vectơ có thể được tính bằng công thức:

.

Vectơ có tọa độ triệu tập vector gradient chức năng tại điểm . Vectơ gradient cho biết hướng tăng nhanh nhất của hàm tại một điểm cho trước.

Ví dụ

Cho một hàm, một điểm A (1, 1) và một vectơ . Tìm: 1) grad z tại điểm A; 2) đạo hàm tại điểm A theo hướng của vectơ .

Đạo hàm từng phần của một hàm đã cho tại một điểm :

; .

Khi đó vectơ gradient của hàm tại thời điểm này là: . Vectơ gradient cũng có thể được viết bằng cách sử dụng mở rộng vectơ và :

. Đạo hàm hàm theo hướng của vectơ :

Cho nên, ,.◄

Điều kiện cần và đủ để hàm số đạt cực trị hai biến. Một điểm được gọi là điểm cực tiểu (cực đại) của hàm số nếu trong một lân cận nào đó của hàm số đó xác định và thỏa mãn bất đẳng thức (tương ứng, điểm cực đại và cực tiểu được gọi là điểm cực trị của hàm số).

Một điều kiện cần thiết cho một điểm cực trị. Nếu tại điểm cực trị, hàm có các đạo hàm riêng đầu tiên, thì chúng biến mất tại điểm này. Sau đó, để tìm các điểm cực trị của một hàm số đó, người ta phải giải hệ phương trình. Các điểm có tọa độ thỏa mãn hệ thức này được gọi là các điểm tới hạn của hàm số. Trong số đó có thể có điểm tối đa, điểm tối thiểu, cũng như các điểm không phải là điểm cực trị.

Các điều kiện cực hạn đủ được sử dụng để chọn điểm cực trị từ tập hợp các điểm tới hạn và được liệt kê dưới đây.

Để hàm số có đạo hàm riêng cấp hai liên tục tại điểm tới hạn. Nếu tại thời điểm này,

điều kiện, thì nó là một điểm cực tiểu tại và một điểm cực đại tại. Nếu tại một điểm tới hạn, thì nó không phải là một điểm cực trị. Trong trường hợp này, cần phải có một nghiên cứu tinh tế hơn về bản chất của điểm tới hạn, trong trường hợp này có thể có hoặc không phải là điểm cực trị.

Cực trị của hàm ba biến. Trong trường hợp một hàm ba biến, các định nghĩa về điểm cực trị lặp lại nguyên văn các định nghĩa tương ứng cho một hàm hai biến. Chúng tôi giới hạn bản thân để trình bày quy trình nghiên cứu một hàm cho một điểm cực trị. Giải hệ phương trình, người ta phải tìm các điểm tới hạn của hàm, sau đó tại mỗi điểm tới hạn tính toán các đại lượng

Nếu cả ba đại lượng đều dương thì điểm tới hạn đang xét là điểm cực tiểu; nếu thì điểm tới hạn đã cho là điểm tối đa.

Cực trị có điều kiện của một hàm hai biến.Điểm được gọi là điểm cực tiểu (cực đại) có điều kiện của hàm, với điều kiện là có một lân cận của điểm mà tại đó hàm được xác định và trong đó (tương ứng) với tất cả các điểm có tọa độ thỏa mãn phương trình

Để tìm các điểm cực trị có điều kiện, hãy sử dụng hàm Lagrange

trong đó số được gọi là số nhân Lagrange. Giải hệ ba phương trình

tìm các điểm tới hạn của hàm Lagrange (cũng như giá trị của hệ số phụ A). Tại những điểm tới hạn này, có thể có một cực trị có điều kiện. Hệ thức trên chỉ đưa ra các điều kiện cần thiết cho một điểm cực trị, nhưng chưa đủ: nó có thể được thỏa mãn bởi tọa độ của các điểm không phải là điểm của một điểm cực trị có điều kiện. Tuy nhiên, tiến hành từ bản chất của vấn đề, thường có thể xác lập bản chất của điểm tới hạn.

Cực trị có điều kiện của một hàm nhiều biến. Hãy xem xét một hàm của các biến với điều kiện rằng chúng có liên quan với nhau bằng các phương trình