Cực Trị Hàm đa Thức Bậc 3 Và Bậc 4 - Giáo Án Mẫu

Có thể bạn quan tâm

Trang chủ
Đăng ký
Đăng nhập
Liên hệ

Giáo Án Mẫu

Tổng hợp giáo án điện tử mầm non, mẫu giáo, tiểu học, trung học, đại học

Cực trị hàm đa thức bậc 3 và bậc 4

10 trang | Chia sẻ: tuananh27 | Lượt xem: 4646 | Lượt tải: 0

Bạn đang xem nội dung tài liệu Cực trị hàm đa thức bậc 3 và bậc 4, để tải tài liệu về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trênCỰC TRỊ HÀM ĐA THỨC BẬC 3 VÀ BẬC 4 A. CỰC TRỊ HÀM ĐA THỨC BẬC 3 I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1. Hàm số: y = f (x) 2. Đạo hàm: 3. Điều kiện tồn tại cực trị y = f (x) có cực trị Û y = f (x) có cực đại và cực tiểu Û có 2 nghiệm phân biệt Û D¢ = b2 - 3ac > 0 4. Kỹ năng tính nhanh cực trị Giả sử D¢ = b2 - 3ac > 0, khi đó có 2 nghiệm phân biệt với và hàm số đạt cực trị tại x1, x2. Theo định nghĩa ta có các cực trị của hàm số là: Trong trường hợp x1, x2 là số vô tỉ thì các cực trị f (x1), f (x2) nếu tính theo định nghĩa sẽ phức tạp hơn so với cách tính theo thuật toán sau đây: Bước 1: Thực hiện phép chia f (x) cho f ¢(x) ta có: hay với bậc Bước 2: Do Hệ quả: Đường thẳng đi qua cực đại, cực tiểu có phương trình là: y = r(x) Đối với hàm số tổng quát : y = f (x) thì đường thẳng đi qua cực đại, cực tiểu có phương trình: II. BÀI TẬP MẪU MINH HỌA Tìm m để hàm số: đạt cực tiểu tại x = -2. Giải: Þ Để hàm số đạt cực tiểu tại x = -2 thì Tìm a để các hàm số ; . có các điểm cực trị nằm xen kẽ nhau. Giải: . Ta cần tìm a sao cho g¢(x) có 2 nghiệm phân biệt và f ¢(x) có 2 nghiệm phân biệt sao cho (*) Ta có: Tìm m để có đường thẳng đi qua CĐ, CT song song với đường thẳng y = ax + b. Giải: Û Hàm số có CĐ, CT Û có 2 nghiệm phân biệt Û Thực hiện phép chia f (x) cho g(x) ta có: Với m ¹ 3 thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 và hàm số y = f (x) đạt cực trị tại x1, x2. Ta có: nên suy ra Þ Đường thẳng đi qua CĐ, CT là (D): Ta có (D) song song với đường thẳng y = ax + b Û Vậy nếu a < 0 thì ; nếu a ³ 0 thì không tồn tại m thoả mãn. Tìm m để có CĐ, CT nằm trên đường thẳng (d): y = -4x. Giải: Ta có: Û Hàm số có CĐ, CT có 2 nghiệm phân biệt Thực hiện phép chia f (x) cho g(x) ta có: Với thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 và hàm số y = f (x) đạt cực trị tại x1, x2. Ta có: nên suy ra Þ Đường thẳng đi qua CĐ, CT là (D): . Để cực đại, cực tiểu nằm trên đường thẳng (d): y = -4x thì (D) º (d) Û Tìm m để có đường thẳng đi qua CĐ, CT vuông góc với y = 3x - 7. Giải: Hàm số có CĐ, CT Û có 2 nghiệm phân biệt Û . Thực hiện phép chia f (x) cho f ¢(x) ta có: Với thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 và hàm số y = f (x) đạt cực trị tại x1, x2. Ta có: suy ra Þ Đường thẳng đi qua CĐ, CT là (D): Ta có (D) ^ y = 3x - 7 Û Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu đối xứng nhau qua (D): Giải: Hàm số có CĐ, CT Û có 2 nghiệm phân biệt Û . Thực hiện phép chia f (x) cho f ¢(x) ta có: Với thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 và hàm số y = f (x) đạt cực trị tại x1, x2. Ta có: nên Þ Đường thẳng đi qua CĐ, CT là (d): . Các điểm cực trị đối xứng nhau qua Û (d) ^ (D) tại trung điểm I của AB (*) . Ta có suy ra (*) Û Bài 7. Cho 1. CMR: Hàm số luôn có CĐ, CT. 2. Giả sử hàm số đạt cực trị tại x1, x2. CMR: Giải: 1. Xét phương trình: Ta có: Nếu (vô lý) Vậy D¢ > 0 "a Þ f ¢(x) = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 và hàm số có CĐ, CT. 2. Theo Viet ta có: Cho hàm số 1. Tìm m để hàm số đạt cực trị tại ít nhất 1 điểm > 1. 2. Gọi các điểm cực trị là x1, x2. Tìm Max của Giải: Ta có: 1. Hàm số đạt cực trị tại ít nhất 1 điểm > 1 có 2 nghiệm phân biệt thoả mãn: 2. Do Þ (do ) Þ . Với thì Tìm m để hàm số có khoảng cách giữa các điểm CĐ và CT là nhỏ nhất. Giải: Do có nên f ¢(x) = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 và hàm số đạt cực trị tại x1, x2 với các điểm cực trị là ; . Thực hiện phép chia f (x) cho f ¢(x) ta có: . Do nên Ta có: Þ . Vậy xảy ra Û m = 0. Tìm m để hàm số đạt cực trị tại x1, x2 thoả mãn . Giải: Hàm số có CĐ, CT Û có 2 nghiệm phân biệt Û Û (*) Với điều kiện (*) thì có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 và hàm số f (x) đạt cực trị tại x1, x2. Theo định lý Viet ta có: Ta có: Cả 2 giá trị này đều thoả mãn điều kiện (*). Vậy Tìm m để hàm số đạt cực trị tại x1, x2 thoả mãn điều kiện . Giải: HS có CĐ, CT Û có 2 nghiệm phân biệt Û (*) Với điều kiện này thì có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 và hàm số f (x) đạt cực trị tại x1, x2. Theo định lý Viet ta có: suy ra: (thoả mãn (*) ) Vậy để thì B. CỰC TRỊ HÀM ĐA THỨC BẬC 4 I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1. Hàm số: y = f (x) 2. Đạo hàm: 3. Cực trị: Xét 4. Kỹ năng tính nhanh cực trị Giả sử f ¢(x) triệt tiêu và đổi dấu tại x = x0, khi đó f (x) đạt cực trị tại x0 với số cực trị là . Trong trường hợp x0 là số vô tỉ thì cực trị f (x0) được tính theo thuật toán: Bước 1: Thực hiện phép chia f (x) cho f ¢(x) ta có: Bước 2: Do f ¢(x0) = 0 nên f (x0) = r(x0) Hệ quả: Các điểm cực trị của hàm bậc 4: y = f (x) nằm trên y = r(x) II. CÁC BÀI TẬP MẪU MINH HỌA Tìm cực trị của hàm số . Giải: Ta có: ; Do phương trình có 1 nghiệm đơn x = 2 và 1 nghiệm kép x = -1 nên hàm số có đúng 1 cực trị tại x = 2. Mặt khác suy ra . Vậy hàm số có cực tiểu và không có cực đại. Cho . Tìm m để ¦(x) chỉ có cực tiểu mà không có cực đại. Giải: ; . Xét các khả năng sau đây: a) Nếu thì Û g(x) ³ 0 . Suy ra f ¢(x) triệt tiêu và đổi dấu tại x = 0 mà f ¢¢(0) = 6(m + 1) > 0 "mÎI Þ , tức là hàm số chỉ có cực tiểu mà không có cực đại. x -¥ 0 3 +¥ f ¢ - 0 - 0 + f +¥ CT +¥ b) Nếu thì Û x = 0 nghiệm kép, x = 3. Nhìn bảng biến thiên suy ra: Hàm số y = f (x) chỉ có cực tiểu mà không có cực đại. x -¥ x1 x2 x3 +¥ f ¢ - 0 + 0 - 0 + f +¥ CT CĐ CT +¥ c) Nếu thì f ¢(x) có 3 nghiệm phân biệt Nhìn bảng biến thiên suy ra: Hàm số y = f (x) có cực đại nên không thoả mãn yêu cầu bài toán. Kết luận: Cho hàm số Chứng minh rằng: "m ¹ -1 hàm số luôn có cực đại đồng thời Ta có: nên g(x) = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x2. x -¥ x1 0 x2 +¥ f ¢ - 0 + 0 - 0 + f +¥ CT CĐ CT +¥ Theo định lý Viet ta có: Þ PT có 3 nghiệm phân biệt 0, x1, x2. Xét 2 khả năng sau: a) Nếu m < -1 thì Þ Þ Bảng biến thiên Nhìn BBT suy ra x -¥ x1 x2 0 +¥ f ¢ - 0 + 0 - 0 + f +¥ CT CĐ CT +¥ b) Nếu m > -1 thì và Þ Þ Bảng biến thiên. Nhìn BBT suy ra Kết luận: Vậy "m ¹ -1 hàm số luôn có Bài 4. (Đề thi TSĐH khối B 2002) Tìm m để hàm số có 3 điểm cực trị Giải. Yêu cầu bài toán có 3 nghiệm phân biệt Bài 5. Tìm m để có CĐ, CT lập thành tam giác đều. Giải. . Ta có: . Để hàm số có CĐ, CT Û có 3 nghiệm phân biệt Û m > 0 Þ 3 nghiệm là: Þ 3 điểm CĐ, CT là: x -¥ x1 0 x3 +¥ f ¢ - 0 + 0 - 0 + f +¥ A CT B CĐ C CT +¥ Þ . Để A, B, C lập thành tam giác đều thì Û Bài 6. Chứng minh rằng: Hàm số không thể đồng thời có CĐ và CT Giải. Xét Û . Xét hàm số có TXĐ: x -¥ x2 +¥ f ¢ - 0 - f +¥ -¥ ; Nghiệm của phương trình cũng là hoành độ giao điểm của đường thẳng y = m với đồ thị y = g(x). Nhìn bảng biến thiên suy ra đường thẳng y = m cắt y = g(x) tại đúng 1 điểm Þ có đúng 1 nghiệm. Vậy hàm số y = f (x) không thể đồng thời có cực đại và cực tiểu. Bài 7. Chứng minh rằng: Û Giải. Ta có: Û và nghiệm kép x = 0 Do f ¢(x) cùng dấu với (4x + 3p) nên lập bảng biến thiên ta có: f (x) ³ 0 "xÎR Û Û Bài 8. (Đề thi dự bị ĐH khối A năm 2004) Tìm m để hàm số có 3 điểm cực trị là 3 đỉnh của một tam giác vuông cân Giải. Hàm số có 3 cực trị có 3 nghiệm phân biệt , khi đó đồ thị có 3 điểm cực trị là . Do là hàm chẵn nên YCBT Bài 9. Chứng minh rằng: luôn có 3 cực trị đồng thời gốc toạ độ O là trọng tâm của tam giác tạo bởi 3 đỉnh là 3 cực trị Bài 10. Chứng minh rằng: Û Bài 11. Cho . Tìm m để ¦(x) chỉ có cực tiểu mà không có cực đại.

File đính kèm:

CỰC TRỊ HÀM ĐA THỨC BẬC 3 VÀ BẬC 4.doc

Giáo án liên quan

Giáo án môn Đại số 11 tiết 6: Phương trình lượng giác cơ bản
2 trang | Lượt xem: 628 | Lượt tải: 0
Giáo án Tự chọn bám sát lớp 11 tiết 1, 2, 3: Phương trình lượng giác
9 trang | Lượt xem: 662 | Lượt tải: 0
Chủ đề: Giới hạn dãy số - Giới hạn hàm số - Hàm số liên tục
9 trang | Lượt xem: 715 | Lượt tải: 0
Giáo án Hình 11 cơ bản tiết 31: Hai đường thẳng vuông góc
2 trang | Lượt xem: 710 | Lượt tải: 0
Giáo án Đại số 11 nâng cao tiết 9: Phương trình lượng giác cơ bản
2 trang | Lượt xem: 641 | Lượt tải: 0
Giáo án Hình 11 nâng cao tiết 32: Vectơ trong không gian và sự đồng phẳng của các vectơ
2 trang | Lượt xem: 909 | Lượt tải: 0
Giáo án Đại số & Giải tích 11 nâng cao tiết 1 đến 29 - Trường THPT B Kim Bảng
58 trang | Lượt xem: 628 | Lượt tải: 0
Giáo án môn Đại số & Giải tích 11 tiết 49: Giới hạn của dãy số
2 trang | Lượt xem: 613 | Lượt tải: 0
Bài kiểm tra viết cuối chương 2 môn: Đại số và giải tích 11
1 trang | Lượt xem: 542 | Lượt tải: 0
Công thức Lượng giác 11
2 trang | Lượt xem: 650 | Lượt tải: 0