Cực Trị Hàm Số

CỰC TRỊ HÀM SỐ

A.Lý thuyết

1. Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) xác định  trên tập D và ${{x}_{0}}\in D$

- Nếu tồn tại một khoảng (a;b) chứa điểm x0 sao cho $(a;b)\subset D$ và f(x) < f(x0) với mọi $x\in (a;b)/\text{ }\!\!\{\!\!\text{ }{{x}_{0}}\text{ }\!\!\}\!\!\text{ }$ thì ta nói hàm số f(x) đạt cực đại tại x0 và f(x0) được gọi là giá trị cực đại của hàm số.

- Nếu tồn tại một khoảng (a;b) chứa điểm x0 sao cho $(a;b)\subset D$ và f(x) > f(x0) với mọi $x\in (a;b)/\text{ }\!\!\{\!\!\text{ }{{x}_{0}}\text{ }\!\!\}\!\!\text{ }$ thì ta nói hàm số f(x) đạt cực tiểu tại x0 và f(x0) được gọi là giá trị cực tiểu của hàm số.

2. Điều kiện cần để có cực trị

Giả sử hàm số f đạt cực trị tại điểm x0. Khi đó, nếu f có đạo hàm tại x0 thì f’(x0) = 0

3. Điều kiện đủ để hàm số có cực trị

Giả sử hàm số y=f(x) liên tục trên K

- Nếu f’(x) đổi dấu từ dương sang âm khi đi qua x0 thì x0 là một điểm cực đại của hàm số f(x).

- Nếu f’(x) đổi dấu từ âm sang dương khi đi qua x0 thì x0 là một điểm cực tiểu của hàm số f(x).

4. Quy tắc tìm cực trị của hàm số

* Quy tắc 1:

Bước 1: TÌm tập xác định của hàm số.

Bước 2: Tính f’(x). Tìm các điểm tại đó f’(x) = 0 hoặc f’(x) không xác định.

Bước 3: Lập bảng biến thiên.

Bước 4: Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị.

*Quy tắc 2:

Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số

Bước 2: Tính f’(x). Giải phương trình f’(x) và kí hiệu xi­ là các nghiệm của nó.

Bước 3: Tính f’’(x) và f’’(xi).

Bước 4: Dựa vào dấu của f’’(xi) suy ra tính chất cực trị của điểm xi.

5. Kỹ năng giải nhanh các bài toán cực trị hàm bậc ba $y=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d(a\ne 0)$

Ta có $y'=3a{{x}^{2}}+2bx+c$

-Đồ thị hàm số của hai điểm cực trị khi y’=0 có hai nghiệm phân biệt

$\leftrightarrow {{b}^{2}}-3ac>0$ . Khi đó đường thẳng qua hai điểm cực trị đó là:

$y=(\frac{2c}{3}-\frac{2{{b}^{2}}}{9a})x+d-\frac{bc}{9a}$

-CASIO tìm ra đường thẳng qua hai điểm cực trị:

\[a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d-(3a{{x}^{2}}+2bx+c)(\frac{x}{3}+\frac{b}{9a})\] cho x=i $\to Ai+B\to y=Ax+B$

Hoặc sử dụng công thức $y-\frac{y'.y''}{18a}$

-Khoảng cách giữa hai điểm cực trị hàm bậc 3 là:

$AB=\sqrt{\frac{4e+16{{e}^{3}}}{a}}$ với $e=\frac{{{b}^{2}}-3ac}{9a}$

6. Kỹ năng giải nhanh các bài toán cực trị hàm trùng phương

Cho hàm số: $y=a{{x}^{4}}+b{{x}^{2}}+c(a\ne 0)$ có đồ thị là (C)

(C) có ba điểm cực trị khi y’=0 có 3 nghiệm phân biệt khi a,b trái dấu

Giả sử A(0;c) là điểm cực trị thuộc trục tung

Khi đó $AB=AC=\sqrt{\frac{{{b}^{4}}}{16{{a}^{2}}}-\frac{b}{2a}},BC=2\sqrt{-\frac{b}{2a}}$

*Các kết quả cần nắm

+ ∆ABC vuông cân $\Leftrightarrow \frac{{{b}^{3}}}{8a}+1=0$

+ ∆ABC đều $\Leftrightarrow \frac{{{b}^{3}}}{8a}+3=0$

+ $\angle BAC=\alpha $ , ta có 

+ ${{S}_{\vartriangle ABC}}=\frac{{{b}^{2}}}{4\left| a \right|}\sqrt{-\frac{b}{2a}}$

+ Bán kính đường tròn ngoại tiếp ∆ABC  là $R=\frac{{{b}^{3}}-8a}{8\left| a \right|b}$

+ Bán kính đường tròn nội tiếp ∆ABC là $r=\frac{{{b}^{2}}}{4\left| a \right|+\sqrt{16{{a}^{2}}-2a{{b}^{3}}}}$

+ Phương trình đường tròn ngoại tiếp ∆ABC  là: ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}-\left( \frac{2}{b}-\frac{\vartriangle }{4a}+c \right)y+c\left( \frac{2}{b}-\frac{\vartriangle }{4a} \right)=0$

B. Ví dụ minh họa

Câu 1: Cho hàm số $y=\frac{{{x}^{2}}-4x+1}{x+1}.$ Hàm số có 2 điểm cực trị ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ .Tích ${{x}_{1}}{{x}_{2}}$ bằng

A.1

B.-5

C.-1

D.-4

HD: Ta có $y'=\frac{(2x-4)(x+1)-{{x}^{2}}+4x-1}{{{(x+1)}^{2}}}=\frac{{{x}^{2}}-2x-5}{{{(x+1)}^{2}}}$

Khi đó ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ là nghiệm của phương trình ${{x}^{2}}-2x-5=0$ khi đó theo Vi-ét ${{x}_{1}}.{{x}_{2}}=-5\to B$

Câu 2: Số điểm cực trị của hàm số $y={{x}^{4}}-2{{x}^{2}}-3$  là

A.1

B.2

C.3

D.4

HD: Hàm bậc 4 trùng phương $y=a{{x}^{4}}+b{{x}^{2}}+c$ có 3 cực trị khi a,b trái dấu

Ta thấy 1.(-2) C

Câu 3: Hàm số có $y'={{(x+2)}^{2}}{{(x-3)}^{3}}$ có mấy điểm cực trị

A.1

B.2

C.3

D.0

HD: Ta thấy  nhưng y’ chỉ đổi dấu khi đi qua điểm x=3 => Hàm số đã cho có 1 điểm cực trị

ðĐáp án A

Câu 4: Cho hàm số $y=\frac{{{x}^{2}}+2x+1}{x-3}$ . Hàm số có hai điểm cực trị ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ .Tổng ${{x}_{1}}+{{x}_{2}}$ bằng:

A.-6

B.3

C.6

D.7

HD: Ta có $y'=\frac{(2x+2)(x-3)-{{x}^{2}}-2x-1}{{{(x-3)}^{2}}}=\frac{{{x}^{2}}-6x-7}{{{(x-3)}^{2}}}$

Khi đó ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ là nghiệm của phương trình ${{x}^{2}}-6x-7=0$ . Theo Vi-ét ${{x}_{1}}+{{x}_{2}}=6$

=>C

Câu 5: Với giá trị nào của tham số m, hàm số $y={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+mx-1$ có hai điểm cực trị ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ sao cho $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=3$

A.$m=\frac{3}{2}$

B.$m=-\frac{3}{2}$

C.m=3

B.m=-3

HD: Ta có $y'=3{{x}^{2}}-6x+m$ . Khi đó ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ là nghiệm của phương trình

$3{{x}^{2}}-6x+m=0$ . Theo Vi-ét, ta có: 

Ta có: $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=3\Leftrightarrow {{({{x}_{1}}+{{x}_{2}})}^{2}}-2{{x}_{1}}{{x}_{2}}=3\Leftrightarrow 4-\frac{2m}{3}=2\Leftrightarrow m=3$

=>C

C. Bài tập tự luyện

Câu 1: Cho hàm số $y=f(x)$ có đồ thị như hình vẽ

Đồ thị trên có mấy điểm cực trị?

A.2

B.1

C.0

D.3

Câu 2: Cho hàm số $y=f(x)$ có bảng biến thiên: 

Khẳng định nào sau đây đúng ?

A.Hàm số đạt cực đại tại x=2

B.Hàm số đạt cực đại tại x=3

C.Hàm số đạt cực đại tại x=4

D.Hàm số đạt cực đại tại x=-2

Câu 3: Biết đồ thị hàm số $y={{x}^{3}}-3x+1$ có hai điểm cực trị A, B. Khi đó phương trình đường thẳng AB là:

A.y = x - 2

B.y = 2x – 1

C.y = -2x + 1

D.y = -x + 2

Câu 4: Gọi M, n lần lượt là giá trị cực đại, cực tiểu của hàm số $y=\frac{{{x}^{2}}+3x+3}{x+2}$ . Khi đó giá trị của biểu thức ${{M}^{2}}-2n$ bằng:

A.8

B.7

C.9

D.6

Câu 5: Cho hàm số $y=f(x)=\left| {{x}^{2}}-2x-4 \right|$ có đồ thị như hình vẽ

Hàm số $y=f(x)$ có mấy cực trị?

A.4

B.1

C.3

D.2

Đáp án

1	2	3	4	5
A	A	C	B	C

Bài viết gợi ý:

1. chương 2: Hàm số mũ - loga ( lý thuyết)

2. Bài Tập Nâng Cao Rèn Luyện Kỹ Năng Oxyz

3. Tóm Tắt Phương Pháp Giải Hình Học Tọa Độ Không Gian

4. Giải chi tiết các câu hay và khó đề chính thức môn Toán THPT QG 2018

5. Đáp án và đề thi chính thức của bộ năm 2018 môn Toán (đầy đủ 24 mã đề)

6. Kinh nghiệm đi thi THPTQG

7. Casio tích phân a,b,c ; tích phân có điều kiện cho trước