Cực Trị (không điều Kiện) Của Hàm 2 Biến | Maths 4 Physics & More...

Có thể bạn quan tâm

Ở bài này ta chỉ xét cực trị của hàm hai biến z = f(x,y).

Cho hàm f(x,y) xác định trong miền D và điểm $M_0(x_0;y_0) \in D$

1. Định nghĩa:

Ta nói $M_0(x_0;y_0)$ là điểm cực tiểu (hoặc cực đại), nếu tồn tại $\varepsilon$ _lân cận của $M_o , B(M_0;\varepsilon)$ sao cho:

$f(x_0,y_0) \le f(x,y) , \forall (x,y) \in B(M_0;\varepsilon) , (x,y) \ne (x_0;y_0)$

( $f(x_0,y_0) \ge f(x,y) , \forall (x,y) \in B(M_0;\varepsilon) , (x,y) \ne (x_0;y_0)$ )

Nếu hàm số f đạt cực đại hay cực tiểu (địa phương) tại $\mathop M_0$ thì ta nói hàm f đạt cực trị (địa phương) tại $\mathop M_0$

Nhận xét:

– Hàm số $\mathop z = f(x;y)$ đạt cực tiểu (cực đại) tại $\mathop M_0(x_0;y_0)$ nếu: ${\Delta}f(x_0;y_0) = f(x_0+{\Delta}x;y_0+{\Delta}y) - f(x_0;y_0) \ge 0 (\le 0), \forall {\Delta}x , {\Delta}y$

– Nếu $\mathop {\Delta}f(x_0;y_0)$ thay đổi dấu khi ${\Delta}x , {\Delta}y$ thay đổi thì hàm số không đạt cực trị tại $M_0$

Ví dụ: Bạn hãy xét xem hàm số $z = x^3 + y^3$ có đạt cực trị tại M(0;0) hay không?

Xét $\mathop N(0+{\Delta}x;0+{\Delta}y)$ là 1 điểm trong lân cận của M(0;0). Ta có:

${\Delta}f(0;0) = f({\Delta}x;{\Delta}y) - f(0;0) = ({\Delta}x)^3 +({\Delta}y)^3$

Với ${\Delta}x > 0 , {\Delta}y > 0 : {\Delta}f(0;0) > 0$

Với ${\Delta}x < 0 , {\Delta}y < 0 : {\Delta}f(0;0) < 0$

Vậy ${\Delta}f(0;0)$ thay đổi dấu nên hàm f không đạt cực trị tại M0.

2. Quy tắc tìm cực trị không điều kiện:

2.1 Định lý (Điều kiện cần)

Nếu hàm $\mathop f(x,y)$ đạt cực trị (địa phương) tại $M_0(x_0; y_0) \in D$ và nếu f có các đạo hàm riêng tại $M_0(x_0; y_0)$ thì:

${ \dfrac{{\partial}f}{{\partial}x}}(x_0;y_0) = { \dfrac{{\partial}f}{{\partial}x}}(x_0;y_0) = 0$

Chứng minh:

Giả sử hàm f đạt cực đại tại $M_0(x_0;y_0)$ (trường hợp hàm f đạt cực tiểu tại M0 hoàn toàn tương tự ).

Khi đó, xét hàm $g(x) =f(x,y_0)$ ta có: $g(x) = f(x;y_0) \le g(x_0) = f(x_0;y_0)$ , với x trong 1 khoảng nào đó chứa x0.

Do đó, hàm g(x) đạt cực đại tại x0. Hay: $g'(x_0) = 0$

Mặt khác: $g'(x_0) = { \dfrac{{\partial}f}{{\partial}x}}(x_0;y_0)$ . Vậy: ${ \dfrac{{\partial}f}{{\partial}x}}(x_0;y_0) = 0$

Tương tự, nếu xét hàm $h(y) = f(x_0;y)$ ta sẽ có: ${ \dfrac{{\partial}f}{{\partial}y}}(x_0;y_0) = 0$

Điểm $\mathop (x_0;y_o)$ mà tại đó ${ \dfrac{{\partial}f}{{\partial}x}}(x_0;y_0) = { \dfrac{{\partial}f}{{\partial}y}}(x_0;y_0) = 0$ , được gọi là điểm dừng.

2.2 Định lý (Điều kiện đủ)

Giả sử hàm số $\mathop z = f(x;y)$ có các đạo hàm riêng đến cấp 2 liên tục trong lân cận của điểm dừng $\mathop M_0(x_0;y_0)$

Đặt: $A = { \dfrac{{\partial}^2f}{{\partial}x^2}}(x_0;y_0) ; B = { \dfrac{{\partial}^2f}{{\partial}x{\partial}y}}(x_0;y_0) ; C = { \dfrac{{\partial}^2f}{{\partial}y^2}}(x_0;y_0)$

Khi đó:

a. Nếu $B^2 - AC < 0$ và $A > 0$ (hay C > 0) thì f đạt cực tiểu tại M0.

b. Nếu $B^2 - AC < 0$ và $A < 0$ (hay C < 0) thì f đạt cực đại tại M0.

c. Nếu $B^2 - AC > 0$ thì f không đạt cực trị tại M0.

d. Nếu $B^2 - AC = 0$ ta chưa kết luận và cần phải xét cụ thể bằng cách dựa vào định nghĩa.

Ta công nhận không chứng minh định lý này. Việc chứng minh định lý này, dựa vào việc khai triển Taylor – Maclaurin cho hàm số 2 biến. Khi đó, ta sẽ xét dấu cho vi phân cấp 2 trong khai triển Taylor. Các bạn có thể xem chi tiết chứng minh và công thức Taylor trong giáo trình Toán học Cao cấp (Tập 3) của tác giả Nguyễn Đình Trí. Tuy nhiên, để xem chứng minh 1 cách dễ hiểu nhất, bạn có thể xem trong cuốn Giải tích toán học của tác giả Pixcunop (tập 2).

Ví dụ 1: Tìm cực trị của hàm số: $z = x^3 + y^3 - 3xy$

Ví dụ 2: Tìm cực trị của hàm số: $z = x^4 + y^4 - x^2 - 2xy - y^2$

Đánh giá:

Chia sẻ:

In
PDF
Email
Facebook

Thích Đang tải...

Thảo luận

58 bình luận về “Cực trị (không điều kiện) của hàm 2 biến”

thay oi, thay giup em bai tap: tim cuc tri cua ham so: Z= X^3 =3Xy^2 -15X – 12Y. va Z= X^4+ Y^4 – 2X^2 + 4XY -2Y^2 +1 cam on thay.

ThíchThích
Posted by sweet_love_1890nd | 12/01/2010, 20:47 Reply to this comment
minh dang hoc bang 2 lop ke toan, bo lau qua ko con nho gi, hom nay co bai nay ai tot bung giai ho minh cam on nhieu nha. 1/ Tim cuc tri ham 2 bien sau a/f(x,y)=x2 – 2x – y2 + 8y – 2 b/f(x,y)=-x2 + 2y2 + 6xy – 4x – 10y c/f(x,y)=(x+y-94)(4x+3y) – 6xy

ThíchThích
Posted by Nguyen Duy Tan | 28/10/2009, 23:07 Reply to this comment
- Mấy bài này là những bài cơ bản mà em, em chỉ cần đọc nội dung bài giảng và các ví dụ minh họa là có thể giải được.
  
  ThíchThích
  Posted by 2Bo02B | 31/10/2009, 23:12 Reply to this comment
thưa thầy, thầy cho em hỏi khi D(M)=0 thì mình sẽ giải bằng định nghĩa như thế nào ạh, thầy có thể lấy một bài minh hoạ được không ạh, em cảm ơn thầy!!!

ThíchThích
Posted by nhungbean | 13/10/2009, 15:29 Reply to this comment
- Em xem tại đây nhé: https://thunhan.wordpress.com/cung-trao-doi/trao-doi-ve-giai-tich/thao-luan-giai-tich-trng-2/comment-page-4/#comment-3953
  
  ThíchThích
  Posted by 2Bo02B | 14/10/2009, 20:44 Reply to this comment
Thầy ơi, cho e hỏi chút nhé. Nếu tính cực trị của hàm ko có điều kiện ấy, khi ta tính $B^2 - AC = 0$ , ta có thể áp dụng định nghĩa và cho số gia delta X bằng số gia Delta Y, và Delta X bằng trừ Delta Y được không ạ?

ThíchThích
Posted by duccuongxc01 | 29/09/2009, 17:13 Reply to this comment
- Tất nhiên, trong trường hợp này phải dùng tới định nghĩa hoặc các công cụ khác. Còn dùng định nghĩa thì phải chứng minh là nó đúng với mọi giá trị của $\Delta X, \Delta Y$ . Như vậy, em có thể cho các trường hợp đặc biệt của $\Delta X, \Delta Y$ để khẳng định $\Delta z$ thay đổi dấu và từ đó kết luận hàm không đạt cực trị.
  
  ThíchThích
  Posted by 2Bo02B | 30/09/2009, 07:29 Reply to this comment
thầy có thể dạy em phần tích phần đường loai 1 được ko ạ em ko thấy có phần tích phần đương loại 1 trong phần dạy của thầy ạ

ThíchThích
Posted by -T_L- | 22/06/2009, 17:50 Reply to this comment
thầy ơi e giải được rùi. e cảm ơn!!!

ThíchThích
Posted by VuBinh | 16/06/2009, 23:08 Reply to this comment
Help me!!! Tìm cực trị của hàm số z =sinx +cosy +cos( x-y ) voi 0 ≤x,y ≤Π/2

ThíchThích
Posted by VuBinh | 16/06/2009, 16:10 Reply to this comment
- Bài này làm bình thường, khi tìm điểm dừng chỉ lấy những giá trị x,y nằm trong đoạn [0; pi/2] Giải ra ta tìm được tọa độ điểm dừng là $\left( \dfrac{\pi}{3} ; \dfrac{\pi}{6} \right)$
  
  ThíchThích
  Posted by 2Bo02B | 16/06/2009, 20:00 Reply to this comment
Bài này em làm mãi ko ra mong thầy cứu em ạ! Tìm cực trị: z = x^3y^2(6-x-y) x,y>=0

ThíchThích
Posted by Thanh Xuân | 15/06/2009, 19:44 Reply to this comment
- Mặc dù bài này có điều kiện x, y >= 0, nhưng đây không phải là mô hình bài toán cực trị có điều kiện. Vì mô hình bài toán cực trị điều kiện là tìm cực trị hàm z = f(x,y) với (x,y) thỏa mãn phương trình: g(x,y) = 0. Như vậy, bài này em áp dụng phương ph1ap tìm cực trị bình thường, nhưng khi xét điểm dừng, em chỉ xét những điểm thỏa: x, y >=0 thôi. Những điểm còn lại ta không cần quan tâm.
  
  ThíchThích
  Posted by 2Bo02B | 15/06/2009, 20:48 Reply to this comment
Tính cực trị: z = x^3+3xy^2-15x-12y Mong thầy giúp em ạ!

ThíchThích
Posted by Thanh Xuân | 15/06/2009, 19:34 Reply to this comment
- Bài này em cứ mạnh dạn làm theo đúng các bước ở phương pháp trên đi. Rồi còn vướng chỗ nào thì Thầy sẽ hướng dẫn.
  
  ThíchThích
  Posted by 2Bo02B | 15/06/2009, 20:42 Reply to this comment
bài này cần dựa vào định nghĩa phải ko a.nhưng em ko hiểu cách giải bài này .thầy hướng dẫn cho em .thanks ” khảo sát cực trị của hàm f(x,y)=x^4 + y^4 -x^2-2xy-y^2 “

ThíchThích
Posted by hmt | 15/06/2009, 16:07 Reply to this comment
- àh quên bài này có 3 điểm dừng (0,0),(-1,-1);(1,1) tại điểm (1,1)và (-1,-1) hàm đạt cực tiểu theo nghĩ hẹp. thầy hướng dẫn cho em tai điểm (0,0) là được rồi ạ. cám ơn thầy.
  
  ThíchThích
  Posted by hmt | 15/06/2009, 16:17 Reply to this comment
- Em xem tại đây nhé: https://thunhan.wordpress.com/cung-trao-doi/trao-doi-ve-giai-tich/thao-luan-giai-tich-trng-2/#comment-3958
  
  ThíchThích
  Posted by 2Bo02B | 15/06/2009, 18:43 Reply to this comment
cho em hỏi làm bài này như thế nào: tìm cực trị của ham sau z = 5xy + 10/x +20/y em làm z’(x) = 5y -10/x^2 = 0 z’(y) = 5x -20/y^2 = 0 => x=1 y=2 => điểm dừng là M(1,2) A= z”xx(1,2)=20 , B=z”xy(1,2)=5 ,C= Z”yy(1,2)=5 B^2- AC = 25-100 = -75 và A=5 >0 => M(1,2) là cực tiểu

thầy cho em biết là em sai ở bước nào.em cám ơn thầy

ThíchThích
Posted by Quang | 13/06/2009, 09:27 Reply to this comment
- Kết quả của em nhìn chung là chính xác rồi, chỉ có A = 20 (chứ ko phải A = 5) và $z_{x}^{'}$ không nên ghi là $z'(x)$ .. Ngoài ra, em nên tính cụ thể $z_{xx}^{''} , z_{xy}^{''} ; z_{yy}^{''}$ và tính cụ thể giá trị cực tiểu mà hàm số đạt được là bao nhiêu.
  
  ThíchThích
  Posted by 2Bo02B | 13/06/2009, 13:11 Reply to this comment
thưa thầy cho em hỏi bài nì: tìm cực trị của: $z = \sqrt{1- x^2- y^2}$ Tọa độ điểm dừng là nghiệm hệ: $\left\{\begin{array}{l} z_x^{'}= { \dfrac{- x}{\sqrt{1- x^2-y^2}}} = 0 \\ z_y^{'} = { \dfrac{- y}{\sqrt{1 - x^2- y^2}}}= 0 \\ \end{array} \right.$ ta tìm được các điểm dừng để đạo hàm riêng kxđ và = 0 là: (0,0) (1,0) (-1,0) (0,1) (0,-1) Xét dz cho từng trường hợp thì ta có dc là: (0,0) là cực đại, còn lại là cực tiểu Mặt khác dễ thấy rằng: $x^2 + y^2 + z^2 = 1, z \ge 0$ là đồ thị là bán cầu tâm O bán kính r =1, nằm phía trên mp xOy có điểm cực đại (0,0) là hoàn toàn chính xác, nhưng các ngoài các điểm (1,0) (-1,0) (0,1) (0,-1) thì tất cả những điểm trên mp xOy đều là cực tiểu hết . Như vậy, thì đồ thị này có qũy tích điểm cực tiểu là đường tròn tâm O bk r =1 nằm trên xOy. Em thấy hai cách giải trên nó mâu thuẫn với nhau về điểm cực tiểu, em không biết cách nào đúng, thầy giúp em với

ThíchThích
Posted by moneynghia | 29/03/2009, 21:59 Reply to this comment
- Dựa vào kết quả hình học thì chắc chắn đúng rồi, nhưng ở đây 2 đạo hàm riêng còn không xác định với $x^2 + y^2 = 1$ nữa mà. Bài này để đỡ rắc rối ta thấy $z = \sqrt{1-x^2-y^2}$ đạt cực trị khi $1 - x^2 - y^2$ đạt cực trị. Như vậy, hoàn toàn có kết quả như hình học thôi.
  
  ThíchThích
  Posted by 2Bo02B | 29/03/2009, 22:37 Reply to this comment
- theo em hiểu bài này như vầy: theo đề ta có txđ x^2+y^2<=1 lấy đạo hàm như bạn : x= { 0,1,-1} y={0,1,-1} vậy tất cả các điểm là (0,0) (0,1) (0,-1) (1,0) (-1,0) (1,1) (1,-1) (-1,-1) (-1,1) theo txđ bỏ đi 4 điểm(1,1) (-1,-1) (-1,1) (1,-1) (4 điểm ở cuối) vậy giải sẽ dc kết quả giống bạn.còn phần hình học là sai rồi.vì ở đây chỉ xét trong mặt phẳng Oxy nên chỉ có 4 điểm cực tiểu thui. (em lười viết công thức lém xin lỗi ạ oaoaoa..)
  
  ThíchThích
  Posted by hmt | 15/06/2009, 17:16 Reply to this comment
  - Hàm số có thể đạt cực trị tại những điểm đạo hàm riêng cấp 1 triệt tiêu hoặc không tồn tại. Như vậy bài này, đạo hàm không tồn tại tại những điểm thuộc đường tròn tâm O, bán kính R = 1. Xét lại hàm số thì rõ ràng $z \ge 0 , \forall (x;y): x^2 + y^2 \le 1$ và $z = 0$ khi $x^2 + y^2 = 1$ Vậy những điểm nằm trên đường tròn (O;1) đều là những điểm cực tiểu.
    
    ThíchThích
    Posted by 2Bo02B | 15/06/2009, 18:45 Reply to this comment
    - thanks thầy nhiều. em biết thiếu nghiệm ở đâu rồi (thi tới nơi mà còn lơ tơ mơ we’ huhu…)
      
      ThíchThích
      Posted by hmt | 15/06/2009, 19:37