Cực Trị (không điều Kiện) Của Hàm 2 Biến | Maths 4 Physics & More...
Có thể bạn quan tâm
Ở bài này ta chỉ xét cực trị của hàm hai biến z = f(x,y).
Cho hàm f(x,y) xác định trong miền D và điểm
1. Định nghĩa:
Ta nói là điểm cực tiểu (hoặc cực đại), nếu tồn tại _lân cận của sao cho:
( )
Nếu hàm số f đạt cực đại hay cực tiểu (địa phương) tại thì ta nói hàm f đạt cực trị (địa phương) tại
Nhận xét:
– Hàm số đạt cực tiểu (cực đại) tại nếu:
– Nếu thay đổi dấu khi thay đổi thì hàm số không đạt cực trị tại
Ví dụ: Bạn hãy xét xem hàm số có đạt cực trị tại M(0;0) hay không?
Xét là 1 điểm trong lân cận của M(0;0). Ta có:
Với
Với
Vậy thay đổi dấu nên hàm f không đạt cực trị tại M0.
2. Quy tắc tìm cực trị không điều kiện:
2.1 Định lý (Điều kiện cần)
Nếu hàm đạt cực trị (địa phương) tại và nếu f có các đạo hàm riêng tại thì:
Chứng minh:
Giả sử hàm f đạt cực đại tại (trường hợp hàm f đạt cực tiểu tại M0 hoàn toàn tương tự ).
Khi đó, xét hàm ta có: , với x trong 1 khoảng nào đó chứa x0.
Do đó, hàm g(x) đạt cực đại tại x0. Hay:
Mặt khác: . Vậy:
Tương tự, nếu xét hàm ta sẽ có:
Điểm mà tại đó , được gọi là điểm dừng.
2.2 Định lý (Điều kiện đủ)
Giả sử hàm số có các đạo hàm riêng đến cấp 2 liên tục trong lân cận của điểm dừng
Đặt:
Khi đó:
a. Nếu và (hay C > 0) thì f đạt cực tiểu tại M0.
b. Nếu và (hay C < 0) thì f đạt cực đại tại M0.
c. Nếu thì f không đạt cực trị tại M0.
d. Nếu ta chưa kết luận và cần phải xét cụ thể bằng cách dựa vào định nghĩa.
Ta công nhận không chứng minh định lý này. Việc chứng minh định lý này, dựa vào việc khai triển Taylor – Maclaurin cho hàm số 2 biến. Khi đó, ta sẽ xét dấu cho vi phân cấp 2 trong khai triển Taylor. Các bạn có thể xem chi tiết chứng minh và công thức Taylor trong giáo trình Toán học Cao cấp (Tập 3) của tác giả Nguyễn Đình Trí. Tuy nhiên, để xem chứng minh 1 cách dễ hiểu nhất, bạn có thể xem trong cuốn Giải tích toán học của tác giả Pixcunop (tập 2).
Ví dụ 1: Tìm cực trị của hàm số:
Ví dụ 2: Tìm cực trị của hàm số:
Đánh giá:
Chia sẻ:
- In
Thảo luận
58 bình luận về “Cực trị (không điều kiện) của hàm 2 biến”
Bình luận về bài viết này Hủy trả lời
Từ khóa » Cực Trị Của Hàm 2 Biến Bài Tập
-
Tìm Cực Trị Hàm 2 Biến - Theza2
-
Giải Tích 2 - Chương 1 - Cực Trị Hàm 2 Biến - YouTube
-
Tài Liệu Cực Trị Hàm Nhiều Biến - 123doc
-
Cuc Tri Ham Nhieu Bien - 1 3. CỰC TRỊ CỦA HÀM HAI ... - StuDocu
-
[PDF] BÀI 5 CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN - Topica
-
Bài 2: Hàm Nhiều Biến - Cực Trị Hàm Nhiều Biến
-
Cực Trị (không điều Kiện) Của Hàm 2 Biến | Toán Cho Vật Lý
-
Một Số Ứng Dụng Của Cực Trị HÀm Hai Biến Số VÀo Trong Các Bài ...
-
Giải Tích 2 - Cực Trị Hàm Nhiều Biến - Cực Trị Tự Do - Ôn Thi Sinh Viên
-
[PDF] Bài Giảng 1: Hàm Số Nhiều Biến Số
-
[PDF] Bài Giảng Toán Cao Cấp PGS.TS Lê An
-
Cách Tìm Cực Trị Hàm 2 Biến
-
[PDF] HÀM NHIỀU BIẾN - Nguyenvantien0405
-
[PDF] HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP HỌC PHẦN GIẢI TÍCH 2
thầy ơi cho em hỏi khi đenta > 0 , A > 0 thì hàm số đạt CT tại M(xo,yo) còn khi A = 0 thì sao ạ
ThíchĐã thích bởi 1 người
Posted by minh trân | 21/11/2016, 15:08 Reply to this commentKhi A = 0 thì đenta sẽ luôn dương nên TH này không có cực trị.
ThíchThích
Posted by Anh Tuấn | 07/06/2017, 23:48 Reply to this commentThầy ơi cho em hỏi bài này với ạ. Tìm cực trị của hàm hai biến f(x,y)=sin(x) + cos(y)
ThíchThích
Posted by Thùy Dương | 17/05/2015, 21:37 Reply to this commentTa có: (df/dx) = cos(x) ; (df/dy) = -sin(y) – (df/dx) = 0 <=> cos(x) = 0 => x = pi/2 – (df/dx) = 0 <=> sin(y) = 0 => y= 0 Vậy hàm có 1 điểm dừng M(pi/2,0) Đặt A= f”xx= -sin(x) ; B=f”xy= 0 ; C= f”yy= cos(y) => delta= sin(x)cos(y) =1 >0 nên hàm không có cực trị.
ThíchThích
Posted by Anh Tuấn | 08/06/2017, 00:03 Reply to this comment