Đa Tạp Riemann – Wikipedia Tiếng Việt

Đừng nhầm lẫn với mặt Riemann.

Trong hình học vi phân, một đa tạp Riemann hoặc không gian Riemann (M, g) là một đa tạp thực trơn M được trang bị với một tích vô hướng gp xác định dương trên không gian tiếp tuyến TpM tại mỗi điểm p. Theo qui ước, g là một tích vô hướng trơn. Tức là với mọi bản đồ trơn (U, x) trên M, n2 hàm

g ( ∂ ∂ x i , ∂ ∂ x j ) : U → R {\displaystyle g\left({\frac {\partial }{\partial x^{i}}},{\frac {\partial }{\partial x^{j}}}\right):U\to \mathbb {R} }

là các hàm trơn. Tương tự, ta có thể xét các mêtric Riemann Lipschitz hoặc các mêtric Riemann đo được, vân vân.

Họ các tích vô hướng gp nói trên được gọi là mêtríc Riemann (hay tenxơ mêtric Riemann). Những thuật ngữ này được đặt theo tên nhà toán học người Đức Bernhard Riemann. Ngành nghiên cứu về các đa tạp Riemann được gọi là hình học Riemann.

Một một (tenxơ) mêtríc Riemann cho phép định nghĩa một số khái niệm hình học trên các đa tạp Riemann, chẳng hạn như góc tại một giao điểm, chiều dài đường cong, diện tích bề mặt và các đại lương chiều cao tương ứng (thể tích, v.v.), độ cong ngoại biên của các đa tạp con, và độ cong nội tại của chính đa tạp lớn.

Định nghĩa

[sửa | sửa mã nguồn]

Một đa tạp Riemann M {\displaystyle M} là một đa tạp trơn với một 2-ten-xơ g ∈ T ∗ M ⊗ T ∗ M {\displaystyle g\in T^{*}M\otimes T^{*}M} sao cho[1][2]

1. g {\displaystyle g} đối xứng, tức là ∀ X , Y ∈ T p M : g ( p ) ( X , Y ) = g ( p ) ( Y , X ) {\displaystyle \forall X,Y\in T_{p}M:g(p)(X,Y)=g(p)(Y,X)}
2. g {\displaystyle g} xác định dương, tức là ∀ X ∈ T p M − { 0 } : g ( p ) ( X , X ) > 0 {\displaystyle \forall X\in T_{p}M-\{0\}:g(p)(X,X)>0} .

Ví dụ

[sửa | sửa mã nguồn]

• Đường tròn S 1 {\displaystyle \mathbb {S} ^{1}} cùng với ten-xơ d θ ⊗ d θ {\displaystyle d\theta \otimes d\theta } (thường được ký hiệu là d θ 2 {\displaystyle d\theta ^{2}} ) là một đa tạp Riemann. Nó là đường tròn có bán kính bằng 1 {\displaystyle 1} .

Độ dài cung

[sửa | sửa mã nguồn]

Với mọi cung (khả vi) γ : [ a , b ] → M {\displaystyle \gamma :[a,b]\to M} , ta định nghĩa độ dài của cung γ {\displaystyle \gamma } là giá trị L ( γ ) = ∫ a b g ( γ ˙ ( t ) , γ ˙ ( t ) ) d t {\displaystyle L(\gamma )=\int _{a}^{b}g({\dot {\gamma }}(t),{\dot {\gamma }}(t))dt} . Giá trị này độc lập với cách ta tham số hóa γ {\displaystyle \gamma } .[3]

Khoảng cách

[sửa | sửa mã nguồn]

Nếu M {\displaystyle M} là một đa tạp Riemann liên thông (và do đó liên thông cung do M {\displaystyle M} là không gian Euclid địa phương), ta có thể định nghĩa khoảng cách Riemann giữa hai điểm p , q ∈ M {\displaystyle p,q\in M} như là infimum của các độ dài cung nối p {\displaystyle p} và q {\displaystyle q} .[4] Không gian metric cảm sinh có chung tô pô với M {\displaystyle M} .[5]

Liên thông Levi-Civita

[sửa | sửa mã nguồn]

Ứng với mỗi đa tạp Riemann ( M , g ) {\displaystyle (M,g)} , tồn tại một liên thông tuyến tính ∇ g {\displaystyle \nabla _{g}} trên T M {\displaystyle TM} được gọi là liên thông Levi-Civita.[6][7]

Xem thêm

[sửa | sửa mã nguồn]

• HÌnh học Riemann
• Đa tạp Finsler
• Ten-xơ metric

Tham khảo

[sửa | sửa mã nguồn]

1. ^ Lee (1997), tr. 23
2. ^ Đoàn Quỳnh (200), tr. 335
3. ^ Lee (1997), tr. 92, Length of Curves
4. ^ Lee (1997), tr. 94, The Riemannian Distance Function
5. ^ Lee (1997), tr. 94, Lemma 6.2
6. ^ Đoàn Quỳnh (2000), tr. 337
7. ^ Lee (1997), tr. 68, Theorem 5.4

Thư mục

[sửa | sửa mã nguồn]

• Lee, John, 1997, Introduction to Riemannian Manifolds, Springer, ISBN 0-387-98271-X
• Đoàn Quỳnh, 2000, Hình học vi phân, Nhà xuất bản giáo dục
• Khu Quốc Anh và đồng nghiệp (2011), Lí thuyết liên thông và Hình học Riemann, Nhà xuất bản Đai học sư phạm Hà Nội

Liên kết ngoài

[sửa | sửa mã nguồn]

• L.A. Sidorov (2001), “Riemannian metric”, trong Hazewinkel, Michiel (biên tập), Bách khoa toàn thư Toán học, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4

x t s Đa tạp
Khái niệm cơ bản	Đa tạp tôpô Atlas Đa tạp vi phân Cấu trúc vi phân Đa tạp Riemann Độ mịn Pushforward Không gian tiếp tuyến Dạng vi phân Trường vectơ
Phân loại	Phức Finsler Hermite Nhóm Lie Đa tạp với biên Định hướng Pseudo-Riemann Riemann Đa tạp con Riemann con Tổng hợp
Ánh xạ	Độ mịn Cấu trúc mịn Đường cong Diffeomorphism Local Phép dìm Phép ngập Ánh xạ lũy thừa Foliation Đường cong tích phân Đạo hàm Lie
Chung cuộc	Định lý chỉ số Atiyah – Singer De Rham's theorem Định lý Frobenius Định lý Stokes Noether's theorem Sard's theorem Whitney embedding theorem
Tenxơ	Vectơ Distribution Lie bracket Pushforward Tangent space bundle Vector field Vector flow Vô hướng Cotangent space bundle De Rham cohomology Differential form Exterior derivative Pullback Ricci curvature flow Riemann curvature tensor Tensor field Bundles Cotangent bundle Fiber bundle Fibration Cofibration Jet bundle Subbundle Tangent bundle Tensor bundle Vector bundle
Related	Morse theory
Khái quát	Banach manifold Fréchet manifold K-theory Sheaf Secondary calculus over commutative algebras
Hình ảnh * Thể loại

Tiêu đề chuẩn	BNE: XX552043 BNF: cb11959398f (data) GND: 4128295-4 LCCN: sh85114045 NDL: 00569452 NKC: ph257171 SUDOC: 027585662