Đại Số Tuyến Tính – Phần 4: Trị Riêng, Vector Riêng - Mai Trời Sáng !

Trang chủ » Cách Tính Vectơ Riêng » Đại Số Tuyến Tính – Phần 4: Trị Riêng, Vector Riêng - Mai Trời Sáng !

Có thể bạn quan tâm

Vector riêng (eigenvector) là vector x khác 0 thoả mãn A x=\lambda x, trong đó \lambda là vô hướng, được gọi là trị riêng (eigenvalue), tương ứng với vector riêng đó.

Ý nghĩa về mặt hình học của trị riêng, vector riêng: ma trận A là một không gian, và phép nhân ma trận là phép biến đổi không gian. Khi nhân ma trận A với một vector x nào đó, một vector mới được tạo ra. Nếu vector mới vẫn cùng hướng với vector x thì x là vector riêng, và hệ số tỉ lệ là trị riêng. Ý nghĩa trong vật lý: đại lượng vật lý ko chỉ là những con số, mà thực chất chúng là không gian. Không gian biến đổi vector này thành vector khác. Nhưng trong vật lý, chúng ta quan tâm nhiều đến những quy luật, đến những giá trị đặc trưng cho tính quy luật đó.

Biết vector riêng, tìm trị riêng: đơn giản là thực hiện phép nhân ma trận thôi. A= \begin{bmatrix} 1&6\\5&2 \end{bmatrix} , x= \begin{bmatrix} 6\\-5 \end{bmatrix} Ax= \begin{bmatrix} 1&6\\5&2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 6\\-5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -24\\20 \end{bmatrix} = -4 \begin{bmatrix} 6\\-5 \end{bmatrix} \Rightarrow \lambda=-4

Biết trị riêng, tìm vector riêng: vector x thoả mãn phương trình (A-\lambda I)x=0. A= \begin{bmatrix} -4&2\\3&1 \end{bmatrix} , \lambda=-5 A-\lambda I= \begin{bmatrix} -4&2\\3&1 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} -5&0\\0&-5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1&2\\3&6 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1&2\\0&0 \end{bmatrix} \Rightarrow 1x_1+2x_2=0. Có vô vàn bộ x1, x2 thoả mãn pt như vậy, ta chọn x= \begin{bmatrix}2\\-1\end{bmatrix} làm vector cơ sở (basis).

Tìm tất cả các trị riêng: giải phương trình \det(A-\lambda I)=0. A= \begin{bmatrix} 2&3\\3&-6 \end{bmatrix} A-\lambda I= \begin{bmatrix} 2-\lambda&3\\3&-6-\lambda \end{bmatrix} \det(A-\lambda I)=0 \iff (2-\lambda)(-6-\lambda)-9=0 \iff \lambda^2+4\lambda-21=0 \iff \left[ \begin{array}{l} \lambda=3 \\ \lambda=-7 \end{array}\right.

Số vector riêng độc lập với nhau và số trị riêng, tối đa bằng số chiều của ma trận đó. Không nhất thiết số trị riêng bằng số vector riêng độc lập, vì có thể nhiều vector riêng cùng chung trị riêng. Theo định nghĩa, vector riêng phải là vector khác 0, nhưng trị riêng thì có thể bằng 0, khi đó ma trận A là bất khả nghịch.

Trị riêng phức, vector riêng phức: khi bạn giải pt \det(A-\lambda I)=0, ở bên trên chúng ta mới chỉ quan tâm nghiệm thực, thực tế pt vẫn có thể có nghiệm phức, do đó ma trận vẫn có trị riêng phức, vector riêng phức nếu bạn quan tâm đến không gian phức.

Chéo hoá ma trận (diagonalization matrix):

Nếu ma trận A có dạng A= P D P^{-1} , trong đó ma trận D là ma trận đường chéo, P là ma trận khả nghịch, thì ta tính được A^k= P D^k P^{-1}.

Các bước xác định P và D: Bước 1: tìm trị riêng của ma trận A. Bước 2: tìm tất cả n vector riêng độc lập của ma trận A. \{v_1, v_2, \ldots, v_n\} Bước 3: ma trận P được ghép bởi các vector riêng. P= \begin{bmatrix}v_1&v_2&\ldots&v_n\end{bmatrix} Còn ma trận D được tạo bởi các trị riêng ở đường chéo.

Sau đây là ví dụ: A= \begin{bmatrix}1&3&3\\-3&-5&-3\\3&3&1\end{bmatrix} . Giải tìm trị riêng: (1-\lambda)[(-5-\lambda)(1-\lambda)+9]-3[-3+9]+3[-9+15] = (1-\lambda)(\lambda+2)^2 = 0 \iff \left[\begin{array}{l}\lambda=1\\\lambda=-2\end{array}\right. Với \lambda=1 , v_1= \begin{bmatrix}1\\-1\\1\end{bmatrix} . Với \lambda=-2 , v_2= \begin{bmatrix}-1\\1\\0\end{bmatrix} và v_3= \begin{bmatrix}-1\\0\\1\end{bmatrix} . Suy ra P= \begin{bmatrix}v_1&v_2&v_3\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1&-1&-1\\-1&1&0\\1&0&1\end{bmatrix} , Và D= \begin{bmatrix}\lambda_1&0&0\\0&\lambda_2&0\\0&0&\lambda_3\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1&0&0\\0&-2&0\\0&0&-2\end{bmatrix} .

Không phải ma trận nào cũng chéo hoá được. Ở bước 2 trên, nếu bạn ko xác định đủ được n vector riêng độc lập thì nghĩa là ma trận đó ko thể chéo hoá. Nếu một ma trận có tới n trị riêng khác nhau thì chắc chắn ma trận đó chéo hoá được (nhưng điều ngược lại chưa chắc đúng).

Chia sẻ:

  • X
  • Facebook
Thích Đang tải...

Có liên quan

Từ khóa » Cách Tính Vectơ Riêng