Dẫn Nhiệt Qua Vách Trụ

Xét một ống trụ gồm hai mặt trụ đồng tâm nhau, có chiều dài lớn vô cùng. Nhiệt độ của mặt trong và mặt ngoài ống lần lượt là `T_1` và `T_2` (giả sử `T_1 > T_2`), bán kính vách trong và vách ngoài lần lượt là `r_1` và `r_2`. Vậy có sự dẫn nhiệt xẩy ra từ vách trong ra vách ngoài ống (Hình 4).

r1r2 T1T2qL drr

Hình 4 Dẫn nhiệt qua vách ống trụ một lớp

Khi ấy, nhiệt độ của một điểm trong ống chỉ phụ thuộc khoảng cách từ điểm ấy đến trục của ống, ta có trường nhiệt độ một chiều. Giả sử thêm rằng nhiệt độ không thay đổi theo thời gian, ta có trường nhiệt độ một chiều ổn định.

`T=f(r)`(21)

Trong trường hợp này, các bề mặt đẳng nhiệt là những mặt trụ đồng trục với ống, pháp tuyến là đường thẳng đi qua tâm và vuông góc với trục ống, `del T//del n` trở thành `dT//dr`. Công thức Fourier viết cho một đơn vị chiều dài ống là:

`q_L=-k(dT)/(dr) 2pi r`

(1)

Với `q_L` là lượng nhiệt truyền qua mỗi đơn vị chiều dài ống trong một đơn vị thời gian, có đơn vị là W/m.

Vậy :

`q_L (dr)/r = -2pik dT`

(23)

Để xác định `q_L`, Ta lấy tích phân này từ `r_1` đến `r_2`.

`int_(r_1)^(r_2) q_L (dr)/r = int_(T_1)^(T_2) -2pi k dT`

(24)

Xem `q_L` và `k` như các hằng số, ta có :

`q_L ln\ r_2/r_1 = 2pi k(T_1-T_2)`

Vậy :

`q_L=(2pi k)/(ln\ r_2/r_1) (T_1-T_2)`(25)

Sự phân bố nhiệt độ trong vách được xác định bằng cách lấy tích phân phương trình (23) từ `r_1` đến `r`:

`q_L ln\ r/r_1 = 2pi k(T_1-T)`

Vì thế :

`T=T_1-q_L/(2pi k) ln\ r/r_1`

(26)

Thí dụ

Một nồi hơi gia nhiệt cho nước bằng các ống hình trụ có đường kính trong và ngoài lần lượt là 40 và 50 mm. Ống bằng thép có hệ số dẫn nhiệt là 55 W•m-1•độ-1. Nhiệt độ mặt ngoài và mặt trong lần lượt là 850ºC và 650ºC. Chiều dài tổng cộng các ống là 125 m. Tính lượng nhiệt truyền qua vách ống mỗi giờ (đơn vị là MJ).

Kết quả Thử lại

Lời giải

Trước hết, ta đi tính mật độ dòng nhiệt bằng cách dùng công thức (25):

    `q_L=(2pi k)/(ln\ r_2/r_1) (T_1-T_2)`

    `q_L=(2xx3,1416xx55)/(ln\ 25/20) (850-650)`

    `q_L=304.724\ "W/m"=309,7\ "kW/m"`

Cần nhắc lại rằng `q_L` là lượng nhiệt truyền qua một đơn vị chiều dài trong một đơn vị thời gian. Vậy lượng nhiệt truyền qua bộ gia nhiệt này trong một giờ là:

    `Q = q_L Lt = 309,7 xx 125 xx 3600 = 139.365.000\ "kJ" = 139.365\ "MJ"`

Ghi chú :

• Từ công thức (25), ta có nhiệt trở trong trường hợp này là:

  `R_L=(T_1-T_2)/q_L=1/(2pi k) ln\ r_2/r_1 `

  (27)

• Trong trường hợp ống có chiều dày nhỏ so với đường kính, ta có thể tính tương tự như vách phẳng, sai số không đáng kể.