Dạng 4: Xác định Ly độ Của Vật Sau Thời Gian ∆t

Dạng bài toán Xác đinh ly độ của vật sau thời gian ∆t là dạng toán mà các đề thi thường hay hỏi. Chúng ta không chỉ học trong bài Dao động điều hòa mà các chương sau chúng ta vẫn sẽ gặp lại dạng toán này.

Một vật DĐĐH với phương trình: \(x = A.cos(\omega t + \varphi )\). Tại thời điểm t1 vật có li độ x1, sau đó ∆t ⇒ vật có x2? Tại \(t_1 \Rightarrow x_1 = A.cos(\omega t_1 + \varphi )\) Tại \(t_2 = t_1 + \Delta t \Rightarrow x_2 = A.cos(\omega t_2 + \varphi )\) \(\Rightarrow x_2 = A.cos [\omega (t_1 + \Delta t) + \varphi ]\) \(x_2 = A.cos (\omega t_1 + \varphi + \omega .\Delta t)\) \(x_2 = A.[cos (\omega t_1 + \varphi)cos (\omega .\Delta t) - sin (\omega t_1 + \varphi) sin (\omega .\Delta t)]\) \(\Rightarrow x_2 = x_1 cos(\omega .\Delta t)\pm A\sqrt{1 - cos^2(\omega t_1 + \varphi )}.sin(\omega.\Delta t)\) \(\Rightarrow x_2 = x_1 cos(\omega .\Delta t)\pm A\sqrt{1-\left ( \frac{x_1}{A} \right )^2}sin(\omega . \Delta t)\) Vậy \(\Rightarrow x_2 = x_1 cos(\omega .\Delta t)\pm A\sqrt{A^2 - x_{1}^{2}}.sin(\omega . \Delta t)\) Lấy dấu: (+) nếu v1 > 0 (-) nếu v1 < 0

* Các trường hợp đặc biệt \(1/\left\{\begin{matrix} \Delta t = K.T\\ K\in Z \ \ \ \ \end{matrix}\right. \Rightarrow x_2 = x_1\) \(2/\left\{\begin{matrix} \Delta t = \left ( K + \frac{1}{2} \right )T = \left ( 2K + 1 \right ) \frac{T}{2}\\ K \in Z \hspace{4,2cm} \end{matrix}\right. \Rightarrow x_2 = -x_1\) \(3/\left\{\begin{matrix} \Delta t = \left ( K + \frac{1}{2} \right ) \frac{T}{2} = \left ( 2K + 1 \right ) \frac{T}{4}\\ K \in Z \hspace{4,2cm} \end{matrix}\right.\) \(\omega .\Delta t = \frac{2 \pi}{T}(2K + 1)\frac{T}{4} = (2K + 1)\frac{\pi}{2}\) \(\Rightarrow x_2 = \pm \sqrt{A^2 - x_{1}^{2}} \Rightarrow x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = A^2\)

VD1: Một vật dao động với phương trình:\(x = 7.cos4\pi t\)(cm). a. Tại thời điểm t1 vật có x1 = 3 cm và đang ra xa VTCB. a1.Tìm x2 sau đó 2s? a2. Tìm x2 trước đó 3,25s? a3. Tìm x2 sau đó 5,3s? b. Tại thời điểm t1 vật có x1 = 2 cm. Tìm x2 sau đó s? Giải: a. \(\left\{\begin{matrix} x_1 = 2\ cm\\ v_1 > 0 \ \ \ \ \end{matrix}\right.\) a1. \(T = \frac{2\pi}{\omega }= \frac{1}{2}s \Rightarrow \frac{\Delta t}{T} = \frac{2}{\frac{1}{2}} = 4 \Rightarrow x_2 = x_1 = 3\ cm\) a2. \(\frac{\Delta t}{T} = \frac{3,25}{\frac{1}{2}} = 6,5 \Rightarrow x_2 = -x_1 = -3\ cm\) a3. \(x_2 = 3.cos(4 \pi.5,3) + \sqrt{7^2 - 3^2}.sin(4 \pi .5,3) = \ ?\) b. \(\frac{\Delta t}{T}=\frac{\frac{33}{8}}{\frac{1}{2}} = \frac{33}{4} \Rightarrow x_{2}^{2} + x_{1}^{2} = A^2 \Rightarrow x_2 = \pm \sqrt{7^2 - 2^2}\Rightarrow x_2 = \pm 3\sqrt{5}(cm)\)

VD2: Một vật dao động điều hòa với biên độ A, tần số góc \(\omega\). Tại thời điểm t vật cách vị trí gốc tọa độ 5 cm, sau đó \(2015.\frac{T}{4}\) vật có tốc độ 50 cm/s. Tìm tần số của vật? Giải: \(t_1.|x_1| = 5\ cm\) \(\left\{\begin{matrix} t_2 = t_1 + \Delta t \Rightarrow |v_2| = 50\ cm/s\\ \Delta t = 2015.\frac{T}{4} \hspace{3,1cm} \end{matrix}\right. \Rightarrow f = \ ?\) \(\Delta t = 2015.\frac{T}{4} \Rightarrow x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = A^2 \ \ \ (1)\) Ta có: \(A^2 = x_{2}^{2} + \frac{v_{2}^{2}}{\omega ^2} \ \ \ (2)\) Từ (1) \(\Rightarrow x_{2}^{2} = A^2 - x_{1}^{2}\) thay vào (2) \(\\ \Rightarrow A^2 = A^2 - x_{1}^{2} + \frac{v_{2}^{2}}{\omega ^2}\\ \Rightarrow |x_1| = \bigg |\frac{v_2}{\omega } \bigg | \\ \Rightarrow \omega = \bigg |\frac{v_2}{x_1} \bigg | = 10 \frac{rad}{s}\\ \Rightarrow f = \frac{a}{2 \pi} = \frac{5}{\pi}(Hz)\)