Dạng Bài Toán Quỹ Tích Có Sử Dụng Véctơ | CMaths

Có thể bạn quan tâm

1/ Kiến thức bổ sung

Cho hệ $n$ điểm $\displaystyle {{A}_{1}},{{A}_{2}},...,{{A}_{n}}$ và bộ $n$ số $\displaystyle {{\alpha }_{1}},{{\alpha }_{2}},...,{{\alpha }_{n}}$ sao cho $\displaystyle {{\alpha }_{1}}+{{\alpha }_{2}}+...+{{\alpha }_{n}}\ne 0$ . Khi đó xác định duy nhất điểm $I$ thoả mãn $\displaystyle {{\alpha }_{1}}\overrightarrow{I{{A}_{1}}}+{{\alpha }_{2}}\overrightarrow{I{{A}_{2}}}+...+{{\alpha }_{n}}\overrightarrow{I{{A}_{n}}}=0$ (1).
Điểm $I$ như vậy gọi là tâm tỉ cự của hệ điểm $\displaystyle {{A}_{1}},{{A}_{2}},...,{{A}_{n}}$ theo bộ số $\displaystyle {{\alpha }_{1}},{{\alpha }_{2}},...,{{\alpha }_{n}}.$ Khi đó với mọi điểm $M$ bất kỳ ta có: $\displaystyle {{\alpha }_{1}}\overrightarrow{M{{A}_{1}}}+{{\alpha }_{2}}\overrightarrow{M{{A}_{2}}}+...+{{\alpha }_{n}}\overrightarrow{M{{A}_{n}}}\,=\left( {{\alpha }_{1}}+{{\alpha }_{2}}+...+{{\alpha }_{n}} \right)\overrightarrow{MI}$ .

Chú ý:

Nếu $\displaystyle {{\alpha }_{1}}+{{\alpha }_{2}}+...+{{\alpha }_{n}}=0$ thì ta chứng minh được: $\displaystyle \overrightarrow{u}={{\alpha }_{1}}\overrightarrow{M{{A}_{1}}}+{{\alpha }_{2}}\overrightarrow{M{{A}_{2}}}+...+{{\alpha }_{n}}\overrightarrow{M{{A}_{n}}}$ là một véctơ không đổi.
Các trường hợp đơn giản chỉ cần dùng quy tắc trung điểm, trọng tâm là có thể xác định được ngay tâm tỉ cự mà không cần nói đến khái niệm này.

2/ Vài dạng toán quỹ tích thường gặp

Dạng 1: Quỹ tích của điểm thoả mãn một đẳng thức véctơ hoặc độ dài véctơ

Ta biến đổi đẳng thức đã cho về một trong các bài toán quỹ tích cơ bản sau:

$\displaystyle \overrightarrow{AM}=k\overrightarrow{a},\ k\ne 0$ , $A$ cố định, $\displaystyle \overrightarrow{a}$ không đổi: Quỹ tích điểm $M$ là đường thẳng qua $A$ cùng phương $\displaystyle \overrightarrow{a}$ .
$\displaystyle \left| \overrightarrow{MA} \right|=\left| \overrightarrow{MB} \right|$ với $A, B$ cố định: Quỹ tích điểm $M$ là đường trung trực của $AB$ .
$\displaystyle \left| \overrightarrow{MA} \right|=\left| \overrightarrow{a} \right|$ với $A$ cố định, $\displaystyle \overrightarrow{a}$ không đổi: Quỹ tích điểm $M$ là đường tròn tâm $A$ , bán kính $\displaystyle R=\left| \overrightarrow{a} \right|$ .

Ví dụ 1. Cho tam giác $ABC$ . Tìm quỹ tích điểm $M$ trong mỗi trường hợp sau:

$\displaystyle \overrightarrow{MA}+k\overrightarrow{MB}=k\overrightarrow{MC}\,\,\,(k\in \mathbb{R})$ .
$\displaystyle \overrightarrow{v}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MC}\,$ cùng phương với véc tơ $\displaystyle \overrightarrow{BC}$ .

Giải

a) Ta có: $\displaystyle \overrightarrow{MA}+k\overrightarrow{MB}=k\overrightarrow{MC}\,\,\Leftrightarrow \overrightarrow{MA}=k(\overrightarrow{MC}-\overrightarrow{MB})\Leftrightarrow \overrightarrow{MA}=k\overrightarrow{BC}$ hay $\displaystyle \overrightarrow{MA}$ cùng phương với $\displaystyle \overrightarrow{BC}$ . Vậy quỹ tích điểm $M$ là đường thẳng đi qua $A$ và song song với cạnh $BC$ của tam giác $ABC$ .

b) Gọi $I$ là điểm thoả mãn hệ thức $\displaystyle \overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}+2\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0}$ (Điểm $I$ như thế là tồn tại và duy nhất, dùng quy tắc trung điểm để chị ra $I$ là trung điểm của $CJ$ , với $J$ là trung điểm $AB$ ). Thì ta có:

$\displaystyle \overrightarrow{v}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MC}\,=\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB}+2\overrightarrow{MI}+2\overrightarrow{IC}=4\overrightarrow{MI}$ .

(cũng có thể tính $\displaystyle \overrightarrow{v}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MC}\,=2\overrightarrow{MJ}+2\overrightarrow{MC}=4\overrightarrow{MI}$ ).

Do đó $\displaystyle \overrightarrow{v}$ cùng phương với $\displaystyle \overrightarrow{BC}\Leftrightarrow \overrightarrow{MI}$ cùng phương với véc tơ $\displaystyle \overrightarrow{BC}$ hay $M$ thuộc đường thẳng đi qua $I$ và song song với $BC$ .

Ví dụ 2. Cho tam giác $ABC$ . Tìm quỹ tích điểm $M$ trong các trường hợp sau:

$\displaystyle \,\left| \overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC} \right|=\left| \overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC} \right|$ .
$\displaystyle \,\left| 2\overrightarrow{MA}+3\overrightarrow{MB} \right|=\left| 3\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MC} \right|$ .
$\displaystyle \,\left| 4\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC} \right|=\left| 2\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC} \right|$ .

Giải

a) Gọi $I$ là trung điểm $BC$ ta có: $\displaystyle \left| \overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC} \right|=\left| \overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC} \right|$ $\displaystyle \Leftrightarrow \left| 2\overrightarrow{MI} \right|=\left| \overrightarrow{CB} \right|\Leftrightarrow MI=\frac{BC}{2}$ .

Vậy tập hợp điểm $M$ là đường tròn tâm $I$ , bán kính $R=\frac{BC}{2}$ .

b) Gọi $K$ là điểm thoả mãn: $\displaystyle 2\overrightarrow{KA}+3\overrightarrow{KB}=\overrightarrow{0}$ , $L$ là điểm thoả mãn: $\displaystyle 3\overrightarrow{LB}+2\overrightarrow{LC}=\overrightarrow{0}$ .

Ta có: $\displaystyle \,\left| 2\overrightarrow{MA}+3\overrightarrow{MB} \right|=\left| 3\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MC} \right|$ $\displaystyle \Leftrightarrow \left| 5\overrightarrow{MK} \right|=\left| 5\overrightarrow{ML} \right|\Leftrightarrow MK=ML$ .

Vậy tập hợp điểm $M$ là đường trung trực của đoạn thẳng $KL$ .

c) Với $I$ là trung điểm của $BC$ . Gọi $J$ là điểm thoả mãn: $\displaystyle 4\overrightarrow{JA}+\overrightarrow{JB}+\overrightarrow{JC}=\overrightarrow{0}$ . Ta có:

$\displaystyle \left| 4\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC} \right|=\left| 2\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC} \right|$ $\displaystyle \Leftrightarrow \left| 6\overrightarrow{MJ} \right|=\left| 2\overrightarrow{MA}-2\overrightarrow{MI} \right|$ $\displaystyle \Leftrightarrow \left| 6\overrightarrow{MJ} \right|=\left| 2\overrightarrow{IA} \right|\Leftrightarrow MJ=\frac{1}{3}IA=const$ .

Vậy tập hợp điểm $M$ là đường tròn tâm $J$ bán kính $R=\frac{1}{3}IA$ .

Từ lời giải các bài toán trên ta có thể mô tả được quy trình giải loại toán này như sau:

Bước 1: Biến đổi các đẳng thức cho trước về một trong các dạng quỹ tích cơ bản theo 2 hướng: Chứng minh biểu thức véctơ bằng một véctơ không đổi hoặc dùng tâm tỉ cự.

Bước 2: Sử dụng các quỹ tích cơ bản để xác định quỹ tích của điểm theo yêu cầu bài toán.

Dạng 2: Quỹ tích của điểm thoả mãn đẳng thức về tích vô hướng hoặc tích độ dài

Ta biến đổi đẳng thức đã cho về một trong các dạng quỹ tích cơ bản sau:

$\displaystyle \overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}=k$ , trong đó A, B cố định, k không đổi: Quỹ tích điểm M là đường tròn tâm I (I là trung điểm của AB), bán kính $\displaystyle R=\sqrt{\frac{A{{B}^{2}}}{4}+k}$ , nếu $\displaystyle \frac{A{{B}^{2}}}{4}+k\ge 0$ (gợi ý, chèn điểm I vào các đẳng thức).
$\displaystyle \overrightarrow{AM}.\overrightarrow{AB}=k$ với A, B là các điểm cố định, k không đổi: Quỹ tích điểm M là đường thẳng vuông góc với AB tại điểm H trên đường thẳng AB thoả mãn: $\displaystyle \overline{AH}=\frac{k}{\overline{AB}}$ (gợi ý, dùng công thức hình chiếu và đưa về độ dài đại số).
$\displaystyle A{{M}^{2}}=k$ , với A cố định, $k>0$ không đổi: Quỹ tích điểm M là đường tròn tâm A, bán kính $\displaystyle R=\sqrt{k}$ .

Ví dụ 3. Cho đoạn thẳng AB. Tìm quỹ tích điểm M trong mỗi trường hợp sau:

$\displaystyle \overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}=M{{A}^{2}}$ .
$\displaystyle 2M{{A}^{2}}=\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}$ .
$\displaystyle M{{A}^{2}}+2M{{B}^{2}}=k$ với k > 0 cho trước.

Giải

a) Có $\displaystyle \overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}=M{{A}^{2}}$ $\displaystyle \Leftrightarrow \overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}-{{\overrightarrow{MA}}^{2}}=0\Leftrightarrow \overrightarrow{MA}.\left( \overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB} \right)=0$ $\displaystyle \Leftrightarrow \overrightarrow{MA}.\overrightarrow{BA}=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\overrightarrow{MA}=\overrightarrow{0}\\MA\bot AB\end{array} \right.$ .

Vậy quỹ tích điểm M là đường thẳng vuông góc với đường thẳng AB tại A.

b) $\displaystyle 2M{{A}^{2}}=\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}$ $\displaystyle \Leftrightarrow \overrightarrow{MA}\left( 2\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB} \right)=0\,\,\,\,(*)$

Gọi I là điểm thoả mãn: $\displaystyle 2\overrightarrow{IA}-\overrightarrow{IB}=\overrightarrow{0}$ thì $\displaystyle 2\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{MI}$ .

Do đó: $\displaystyle (*)\Leftrightarrow \overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MI}=0\Leftrightarrow MA\bot MI$ .

Vậy quỹ tích điểm M là đường tròn đường kính AI (cách khác, cũng có thể chèn điểm J là trung điểm của AI thì không cần qua vuông góc).

c) Gọi E là điểm thoả mãn: $\displaystyle \overrightarrow{EA}+2\overrightarrow{EB}=\overrightarrow{0}$ ta có:

$\displaystyle M{{A}^{2}}+2M{{B}^{2}}=k\Leftrightarrow {{\left( \overrightarrow{ME}+\overrightarrow{EA} \right)}^{2}}+2{{\left( \overrightarrow{ME}+\overrightarrow{EB} \right)}^{2}}=k\Leftrightarrow 3M{{E}^{2}}=k-E{{A}^{2}}-2E{{B}^{2}}\,\,\,\,(*)$

Mặt khác từ $\displaystyle \overrightarrow{EA}+2\overrightarrow{EB}=\overrightarrow{0}$ $\displaystyle \Rightarrow EA=\frac{2}{3}AB;\,\,\,EB=\frac{1}{3}AB$ nên $\displaystyle (*)\Leftrightarrow 3M{{E}^{2}}=k-\frac{2}{3}A{{B}^{2}}$

$\displaystyle \Leftrightarrow M{{E}^{2}}=\frac{1}{3}\left( k-\frac{2}{3}A{{B}^{2}} \right)$ .

Nếu $\displaystyle k<\frac{2}{3}A{{B}^{2}}$ : Quỹ tích điểm M là rỗng.

Nếu $\displaystyle k=\frac{2}{3}A{{B}^{2}}$ : Quỹ tích điểm M là một điểm E.

Nếu $\displaystyle k>\frac{2}{3}A{{B}^{2}}$ : Quỹ tích điểm M là đường tròn tâm E, bán kính $\displaystyle R=\sqrt{\frac{1}{3}\left( k-\frac{2}{3}A{{B}^{2}} \right)}$ .

Ví dụ 4. Cho tam giác ABC. Tìm quỹ tích điểm M trong các trường hợp sau:

$\displaystyle \left( \overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB} \right)\left( 2\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC} \right)=0$ .
$\displaystyle \left( \overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB} \right)\left( \overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MC} \right)=0$ .
$\displaystyle 2M{{A}^{2}}+\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MC}$ .

Hướng dẫn giải

a) Gọi I là điểm thoả mãn $\displaystyle 2\overrightarrow{IB}-\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0}$ ta có:

$\displaystyle \left( \overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB} \right)\left( 2\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC} \right)=0\Leftrightarrow \overrightarrow{BA}.\overrightarrow{MI}=0\Leftrightarrow BA\bot MI$

Vậy quỹ tích điểm M là đường thẳng đi qua I và vuông góc với AB.

b) Gọi D và E là các điểm thoả mãn: $\displaystyle \overrightarrow{DA}+2\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{0}\text{, }\overrightarrow{EB}+2\overrightarrow{EC}=\overrightarrow{0}$ ta có:

$\displaystyle \left( \overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB} \right)\left( \overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MC} \right)=0\Leftrightarrow 3\overrightarrow{MD}.3\overrightarrow{ME}=0\Leftrightarrow MD\bot ME$ .

Vậy quỹ tích điểm M là đường tròn đường kính DE.

c) Ta có: $\displaystyle 2M{{A}^{2}}+\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MC}$ $\displaystyle \Leftrightarrow \overrightarrow{MA}\left( 2\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC} \right)=0\,\,\,\,\,(*)$

Gọi J là điểm xác định bởi $\displaystyle 2\overrightarrow{JA}+\overrightarrow{JB}-\overrightarrow{JC}=\overrightarrow{0}$ ta có: $\displaystyle (*)\Leftrightarrow 2\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MJ}=0\Leftrightarrow MA\bot MJ$ .

Vậy quỹ tích điểm M là đường tròn đường kính AJ.

Một cách tổng quát ta có quy trình giải các bài toán dạng này như sau:

Bước 1: Biến đổi đẳng thức đã cho về dạng $\displaystyle \overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=k$ , bằng phép phân tích thành nhân tử, đặt nhân tử chung,… trong đó các véc tơ $\displaystyle \overrightarrow{u},\overrightarrow{v}$ có thể là tổng hoặc hiệu các véctơ nào đó.

Bước 2: Dựa vào bài toán chứng minh biểu thức véctơ không đổi hoặc tâm tỉ cự để biến đổi đẳng thức $\displaystyle \overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=k$ về một trong các dạng quỹ tích cơ bản và kết luận về quỹ tích cần xác định.

3/ Các bài toán luyện tập

Bài 1. Cho hình bình hành ABCD. M và N là 2 điểm thay đổi xác định bởi hệ thức: $\displaystyle \overrightarrow{MN}=3\overrightarrow{MA}-2\overrightarrow{MB}-2\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}$ . Chứng minh rằng $\displaystyle \overrightarrow{MN}$ là véc tơ không đổi. Tìm tập hợp các điểm M biết $\displaystyle \overrightarrow{MN}$ nằm trên đường thẳng đi qua tâm O của hình bình hành ABCD.

Bài 2. Cho tam giác ABC.

Chứng minh rằng $\displaystyle \overrightarrow{u}=3\overrightarrow{MA}-5\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MC}$ không phụ thuộc vị trí điểm M.
Tìm quỹ tích các điểm M xác định bởi hệ thức: $\displaystyle \left| 3\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}-2\overrightarrow{MC} \right|=\left| \overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC} \right|$ .

Bài 3. Cho tam giác đều ABC cạnh a. Tìm quỹ tích điểm M trong các trường hợp sau:

$\displaystyle 3M{{A}^{2}}=2M{{B}^{2}}+M{{C}^{2}}$ .
$\displaystyle M{{A}^{2}}-M{{B}^{2}}+2M{{C}^{2}}={{a}^{2}}$ .
$\displaystyle \overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MB}.\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MC}.\overrightarrow{MA}=\frac{5{{a}^{2}}}{2}$ .

Bài 4. Cho tam giác ABC vuông tại A, BC = 6a. Biện luận theo k quỹ tích điểm M thoả mãn: $\displaystyle \left( \overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC} \right)\left( \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC} \right)=k{{a}^{2}}$ . Với giá trị nào của k thì quỹ tích điểm M chứa điểm A?

Chia sẻ:

X
Facebook

Thích Đang tải...

Tagged: lớp 10, luyện tập, vectơ

Từ khóa » Bài Toán Quỹ Tích Lớp 10

Dạng Bài Toán Quỹ Tích Có Sử Dụng Véctơ | CMaths

1/ Kiến thức bổ sung

2/ Vài dạng toán quỹ tích thường gặp

Dạng 1: Quỹ tích của điểm thoả mãn một đẳng thức véctơ hoặc độ dài véctơ

Dạng 2: Quỹ tích của điểm thoả mãn đẳng thức về tích vô hướng hoặc tích độ dài

3/ Các bài toán luyện tập

Chia sẻ:

Ứng Dụng Vectơ Giải Các Bài Toán Quỹ Tích điểm - Abcdonline

Chuyên đề Các Bài Toán Quỹ Tích - Tập Hợp điểm

Chuyên đề Phương Pháp Giải Các Bài Toán Quỹ Tích Có Sử Dụng Véc Tơ

Lý Thuyết: Bài Toán Quỹ Tích

TÌM QUỸ TÍCH ĐIỂM M THỎA MÃN ĐẲNG THỨC MODUN VECTO ...

Quỹ Tích Là Gì Lớp 10 | HoiCay - Top Trend News

Bài Toán Quỹ Tich Véc Tơ - Tài Liệu - 123doc

Quỹ Tích Là Gì? Phương Pháp Giải Bài Toán Tìm Quỹ Tích

Phương Pháp Giải Một Bài Toán Quỹ Tích - Toán Lớp 9

Bài Toán Quỹ Tích Dễ Hay Khó

Chuyên đề Quỹ Tích - Tập Hợp điểm (file Word Và đầy đủ ở Phần Mất ...

Dạng Bài Toán Quỹ Tích Có Sử Dụng Véctơ - Scribd

Chuyên đề Quỹ Tích ôn Thi Vào Lớp 10 - Toán THCS

Bài Toán Về Quỹ Tích - Tập Hợp điểm

Liên Hệ