Đẳng Thức Và Bất đẳng Thức Trong Lớp Hàm Hyperbolic - Tài Liệu Text

Có thể bạn quan tâm

Tải bản đầy đủ (.pdf) (70 trang)

Trang chủ

Luận Văn - Báo Cáo

Thạc sĩ - Cao học

Đẳng thức và bất đẳng thức trong lớp hàm hyperbolic

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (340.83 KB, 70 trang )

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊNTRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌCTRƯƠNG ĐỨC THỊNHĐẲNG THỨC VÀ BẤT ĐẲNG THỨC TRONGLỚP HÀM HYPERBOLICLUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌCTHÁI NGUYÊN - NĂM 2015ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊNTRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌCTRƯƠNG ĐỨC THỊNHĐẲNG THỨC VÀ BẤT ĐẲNG THỨC TRONGLỚP HÀM HYPERBOLICLUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌCChuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp.Mã số: 60 46 01 13Người hướng dẫn khoa họcGS. TSKH. NGUYỄN VĂN MẬUTHÁI NGUYÊN - NĂM 2015Mục lụcMở đầu11 Một số kiến thức chuẩn bị1.1 Các định nghĩa và tính chất của hàm hyperbolic cơ bản . . .1.1.1 Hàm sin hyperbolic . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.1.2 Hàm cosin hyperbolic . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.1.3 Hàm tang hyperbolic . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.1.4 Hàm cotang hyperbolic . . . . . . . . . . . . . . . . .1.1.5 Một vài ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.2 Một vài hằng đẳng thức cơ bản giữa các lớp hàm hyperbolic .1.2.1 Các hằng đẳng thức cơ bản giữa các lớp hàm hyperbolic1.2.2 Các ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.3 Một số dạng đẳng thức giữa các lớp hàm hyperbolic . . . . .1.3.1 Công thức cộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.3.2 Công thức nhân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.3.3 Công thức biến đổi tích thành tổng . . . . . . . . . .1.3.4 Công thức biến đổi tổng thành tích . . . . . . . . . .1.3.5 Các ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .333344566799101011112 Một số bài toán áp dụng liên quan tới lớp hàm hyperbolic 142.1 Một số lớp phương trình, bất phương trình . . . . . . . . . . 142.1.1 Các phương trình cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . 142.1.2 Ứng dụng trong giải phương trình đại số . . . . . . . . 172.2 Một số bất đẳng thức liên quan lớp hàm hyperbolic . . . . . . 282.2.1 Các bất đẳng thức hai biến . . . . . . . . . . . . . . . 282.2.2 Các bất đẳng thức ba biến . . . . . . . . . . . . . . . 322.2.3 Bất đẳng thức trong tam giác với lớp hàm hyperbolic . 3513 Phương trình hàm trong lớp hàm lượng giác hyperbolic3.1 Đặc trưng hàm của các hàm hyperbolic . . . . . . . . . .3.2 Phương trình d’Alembert trong lớp hàm số liên tục . . . .3.3 Phương trình hàm sinh bởi hàm sin hyperbolic . . . . . .3.4 Phương trình hàm sinh bởi hàm tang hyperbolic . . . . .........4343435061Kết luận65Tài liệu tham khảo662Mở đầuHàm lượng giác hyperbolic là chuyên đề quan trọng của giải tích, đặc biệtlà chương trình chuyên toán bậc THPT. Các đề thi học sinh giỏi cấp Quốcgia, thi Olympic khu vực, Olympic Quốc tế thường xuất hiện bài toán sửdụng các tính chất của hàm lượng giác hyperbolic, đó là những bài toán khóvà mới mẻ đối với học sinh THPT. Những cuốn sách tham khảo dành chohọc sinh về lĩnh vực này là không nhiều. Đặc biệt trong các tài liệu sáchgiáo khoa dành cho học sinh THPT thì hàm lượng giác hyperbolic chưa đượctrình bày một cách hệ thống và đầy đủ.Xuất phát từ thực tế đó, mục tiêu chính của luận văn là cung cấp thêmcho các em học sinh, đặc biệt là các em học sinh khá, giỏi, có năng khiếu vàyêu thích môn toán một tài liệu tham khảo, ngoài những kiến thức lý thuyếtcơ bản luận văn còn có thêm một hệ thống các bài tập về hàm lượng giáchyperbolic, các công thức biến đổi lượng giác hyperbolic và lời giải cho tườngminh. Ngoài ra, đây cũng là những kết quả mà bản thân tác giả sẽ tiếp tụcnghiên cứu và hoàn thiện trong quá trình giảng dạy toán tiếp theo ở trườngphổ thông.Ngoài phần Mở đầu, Kết luận và tài liệu tham khảo, luận văn gồm bachương.Chương 1. Một số kiến thức chuẩn bị.Trong chương này luận văn trình bày một số kiến thức liên quan đếnhàm lượng giác hyperbolic, các hằng đẳng thức cơ bản giữa các lớp hàmhyperbolic.Chương 2. Một số bài toán áp dụng liên quan tới lớp hàm hyperbolic.Trong chương này luận văn trình bày một số lớp phương trình, bất phươngtrình và các bất đẳng thức liên quan.Chương 3. Phương trình hàm trong lớp hàm lượng giác hyperbolic.Trong chương này luận văn trình bày về phương trình hàm sinh bởi các1hàm lượng giác hyperbolic và một số bài toán áp dụng tương ứng.Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của Nhà giáonhân dân, GS.TSKH Nguyễn Văn Mậu. Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơnchân thành và sâu sắc tới GS - Người thầy tận tâm trong công việc và đãtruyền thụ nhiều kiến thức quý báu cũng như kinh nghiệm nghiên cứu khoahọc cho tác giả trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu đề tài.Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến Ban Giám hiệu,Phòng đào tạo sau đại học, khoa Toán - Tin của trường Đại học Khoa học- Đại học Thái Nguyên, cùng các thầy cô giáo đã tham giảng dạy và hướngdẫn khoa học cho lớp Cao học toán K7Q.Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu và tập thể giáo viên trườngTHPT Trần Nhân Tông đã tạo điều kiện cho tác giả có cơ hội học tập vànghiên cứu.Tác giả.TRƯƠNG ĐỨC THỊNH2Chương 1Một số kiến thức chuẩn bị1.11.1.1Các định nghĩa và tính chất của hàm hyperboliccơ bảnHàm sin hyperbolicĐịnh nghĩa 1.1. Hàm sin hyperbolic là hàm số cho bởi công thứcex − e−xsinh x =.2Tính chất 1.1.a. Hàm sin hyperbolic là hàm số lẻ, có tập xác định R và sinh x ≥ 0, ∀x ≥ 0và sinh x < 0, ∀x < 0.b. Đạo hàm của hàm sin hyperbolic(sinh x) = cosh x; (sinh u) = u cosh u.c. Sự biến thiênDo (sinh x) = cosh x ≥ 1, ∀x ∈ R nên hàm số sinh x đồng biến trên R.Do (sinh x) = sinh x nên hàm số sinh x lồi trên (0; +∞) và lõm trên(−∞; 0).1.1.2Hàm cosin hyperbolicĐịnh nghĩa 1.2. Hàm cosin hyperbolic là hàm số cho bởi công thứcex + e−xcosh x =.2Tính chất 1.2.a. Hàm cosin hyperbolic là hàm số chẵn, có tập xác định R.3b. Đạo hàm của hàm consin hyperbolic.(cosh x) = sinh x; (cosh u) = u sinh u.c. Sự biến thiênDo (cosh x) = sinh x nên hàm số cosh x đồng biến trên (0; +∞) và nghịchbiến trên (−∞; 0).Do (cosh x) = cosh x ≥ 1, ∀x ∈ R cosh x lồi trên R.1.1.3Hàm tang hyperbolicĐịnh nghĩa 1.3. Hàm tang hyperbolic là hàm số cho bởi công thứcsinh xex − e−xtanh x == x.cosh x e + e−xTính chất 1.3.a. Hàm tang hyperbolic là hàm số lẻ, có tập xác định R.b. Đạo hàm của hàm tang hyperbolicu1(tanh x) =.2 ; (tanh u) =cosh xcosh2 uc. Sự biến thiên1Do (tanh x) => 0, ∀x ∈ R nên hàm số tanh x đồng biến trên R.cosh2 x1.1.4Hàm cotang hyperbolicĐịnh nghĩa 1.4. Hàm cotang hyperbolic là hàm số cho bởi công thứccosh x ex + e−xcoth x == x.sinh xe − e−xTính chất 1.4.a. Hàm cotang hyperbolic là hàm số lẻ, có tập xác định R\ {0}.b. Đạo hàm của hàm cotang hyperbolic−1−u;(cothu)=(coth x) =sinh2 xsinh2 uc. Sự biến thiên−1Do (coth x) =< 0, ∀x ∈ R\ {0} nên hàm số coth x nghịch biếnsinh2 xtrên trên mỗi khoảng (−∞; −1) ; (1; +∞) .41.1.5Một vài ví dụVí dụ 1.1. Tính giá trị các hàm hyperbolic tại ln 2, ln 3.Lời giải.+ Tính giá trị các hàm hyperbolic tại ln 2eln 2 − e− ln 23sinh(ln 2) == ;24535eln 2 + e− ln 2= ; tanh(ln 2) = ; coth(ln 2) = .cosh(ln 2) =2453+Tính giá trị các hàm hyperbolic tại ln 3eln 3 − e− ln 34sinh (ln 3) == ,23ln 3− ln 3e +e545cosh (ln 3) == ; tanh (ln 3) = ; coth(ln 3) = .2354Ví dụ 1.2. Giải các phương trình bất phương trình sau5a. e2x + e−2x = .283x−3xb. e − e≥ .33c. ax − a−x < , 0 < a = 1.2Lời giải.5e2x + e−2x52x−2xa. e + e= ⇔=224⇔ cosh 2x = cosh(ln 2) ⇔ 2x = ± ln 2 do hàm cosh x đồng biến trên(0; +∞) và nghịch biến trên (−∞; 0).√Vậy phương trình có hai nghiệm x = ± ln 2.e3x − e−3x483x−3xb. e −e≥ ⇔≥ ⇔ sinh 3x ≥ sinh(ln 3) ⇔ 3x ≥ ln 3323do hàm sinh x đồng biến trên R.√Vậy bất phương trình có nghiệm x ≥ ln 3 3.33ex ln a − e−x ln a3c. ax − a−x < ⇔ ex ln a − e−x ln a < ⇔ 1 bất phương trình có nghiệm x loga 2.ln aVí dụ 1.3. Chứng minh bất đẳng thứca. cosh x ≥ 1, ∀x ∈ R.5b. −1 < tanh x < 1, ∀x ∈ R.c. coth x > 1, ∀x > 0 & coth x < −1. ∀x < 0.d. sinh3 x + cosh3 x ≥ 1, ∀x ∈ R.Lời giải.a. cosh x ≥ 1, ∀x ∈ R.Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta được√ex + e−xcosh x =≥ ex .e−x = 1. Dấu bằng xảy ra ⇔ x = 0. Từ đó ta2có điều cần chứng minh.b. −1 < tanh x < 1, ∀x ∈ R.Ta cóex − e−xe2x − 12tanh x = x= 2x= 1 − 2x.−xe +ee +1e +1Do e2x > 0 ⇒ −1 < tanh x < 1. ∀x ∈ R.c. coth x > 1, ∀x > 0 & coth x < −1. ∀x < 01Ta có coth x =, ∀x = 0 và −1 < tanh x < 1, ∀x ∈ R từ đó ta cótanh xđiều cần chứng minh.d. Biến đổi theo định nghĩa và áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta được33sinh x + cosh x =ex − e−x23+ex + e−x23=e3x + 3e−x4e3x + e−x + e−x + e−x √4≥ e3x .e−x .e−x .e−x = 1.=4Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x = 0. Từ đó ta có điều cần chứng minh.1.2Một vài hằng đẳng thức cơ bản giữa các lớp hàmhyperbolic1.2.1Các hằng đẳng thức cơ bản giữa các lớp hàm hyperbolica. cosh2 x − sinh2 x = 1.b. tanh x coth x = 1.1.c. 1 − tanh2 x =cosh2 x1d. coth2 x − 1 =, ∀x = 0.sinh2 xChứng minh.6a. cosh2 x − sinh2 x = 1.22Ta có cosh x − sinh x =b. tanh x coth x = 1.Ta cótanh x cosh x =c. 1 − tanh2 x =ex + e−x22ex + e−xex − e−x−ex − e−x2ex − e−x. xe + e−x2= 1.= 1.1.cosh2 xsinh2 x1Do cosh x − sinh x = 1 nên 1 −=haycosh2 x cosh2 x1.1 − tanh2 x =cosh2 x122d. coth2 x − 1 =2 , ∀x = 0. Do x = 0 nên cosh x − sinh x = 1 vàsinh xcosh2 x112−1=haycothx−1=, ∀x = 0.sinh2 xsinh2 xsinh2 x21.2.22Các ví dụVí dụ 1.4. Cho cosh x = 2. Tính các giá trị sinh x, tanh x, coth x, biết rằngx < 0.Lời giải.√Ta có cosh2 x−sinh2 x = 1 nên sinh2 x = cosh2 x−1 = 3 và sinhx=±3.√√− 3Do x < 0 nên sinh x < 0. Vậy sinh x = − 3; tanh x =; coth x =2−2√ .3Ví dụ 1.5. Cho tanh x = 3. Tính giá trị các biểu thức sau3 sinh x + cosh x.cosh x + 2 sinh xB = sinh2 x + 3 sinh x cosh x − 6 cosh2 x.A=Lời giải. Ta cósinh x+13 tanh +110coshxA=== .sinh x1 + 2 tanh x71+2cosh x37Tương tự, ta cóB22 = tanh x + 3 tanh x − 6.cosh xSuy raB 1 − tanh2 x = tanh2 x + 3 tanh x − 6.3Thay tanh x = 3 ta được B.(−8) = 12 hay B = − .2Ví dụ 1.6. Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào xsinh4 x + 2cosh2 x − 1 − cos4 x − 2sinh2 x − 1.sinh4 x + cosh4 x − 1, ∀x = 0.B=sinh6 x − cosh6 x + 1A=C=1 − tanh2 xtanh x2− 1 + tanh2 x1 + coth2 x .Lời giải. Ta cóA==sinh4 x + 2(1 + sinh2 x) − 1 −2(sinh2 x + 1) −cos4 x − 2(cosh2 x − 1) − 12(cosh2 x − 1) = sinh2 x + 1 − cosh2 x + 1 = 1.sinh4 x + cosh4 x − 1B=sinh6 x − cosh6 x + 12=sinh4 x + cosh4 x − (cosh2 x − sinh2 x)3sinh6 x − cosh6 x + (cosh2 x − sinh2 x)−22sinh2 xcosh2 x==.3−3sinh2 xcosh2 x21 − tanh2 xC=− 1 + tanh2 x 1 + coth2 xtanh x1222=2 − 2 + tanh x − 1 − tanh x − 1 − coth x = −4.tanh x8Ví dụ 1.7. Chứng minh bất đẳng thứcln (cosh(2x + 3)) ≤ cosh(2x + 3) − 1.Lời giải. Xét hàm số y = ln (cosh(2x + 3)) − cosh(2x + 3), ∀x ∈ R. Ta cósinh(2x + 3)− 2 sinh(2x + 3)cosh(2x + 3)4cosh2 (2x + 3) − 4sinh2 (2x + 3)y =− 4 cosh(2x + 3)cosh2 (2x + 3)4=− 4 cosh(2x + 3) ≤ 0, ∀x ∈ Rcosh2 (2x + 3)y =2Do đó y ≤ y−32+y3−3. x+22⇔ y ≤ −1 nênln (cosh(2x + 3)) ≤ cosh(2x + 3) − 1.1.31.3.1Một số dạng đẳng thức giữa các lớp hàm hyperbolicCông thức cộngcosh (x + y) = cosh x cosh y + sinh x sinh ycosh (x − y) = cosh x cosh y − sinh x sinh ysinh (x + y) = sinh x cosh y + cosh x sinh ysinh (x − y) = sinh x cosh y − cosh x sinh ytanh x + tanh ytanh (x + y) =1 + tanh x tanh ytanh x − tanh ytanh (x − y) =.1 − tanh x tanh y(1)(1 )(2)(2 )(3)(3 )Chứng minh. Ta cóex + e−x ey + e−y ex − e−x ey − e−ycosh x. cosh y + sinh x. sinh y =+2222ex+y + e−x−y== cosh(x + y) ⇒ (1). Trong công thức (1) thay y bằng2−y , ta đượccosh (x − y) = cosh x cosh(−y)+sinh x sinh(−y) = cosh x cosh y−sinh x sinh y.9Đây chính là (1 ).Các công thức còn lại được chứng minh tương tự. Từ công thức cộng tacũng dễ dàng chứng minh được các công thức sau đây1.3.2Công thức nhânsinh 2x = 2 sinh x cosh xcosh 2x = cosh2 x + sinh2 x= 2cosh2 x − 1= 1 + 2sinh2 x2 tanh xtanh 2x =1 + tanh2 xsinh 3x = 4sinh3 x + 3 sinh xcosh 3x = 4cosh3 x − 3 cosh x.1.3.3Công thức biến đổi tích thành tổng1[cosh(x + y) + cosh(x − y)]21sinh x sinh y = [cosh(x + y) − cosh(x − y)]21sinh x cosh y = [sinh(x + y) + sinh(x − y)] .2cosh x cosh y =101.3.4Công thức biến đổi tổng thành tíchx+yx−ycosh22x+yx−ycosh x − cosh y = 2 sinhsinh22x+yx−ysinh x + sinh y = 2 sinhcosh22x+yx−ysinh x − sinh y = 2 coshsinh22sinh(x + y)tanh x + tanh y =cosh x cosh ysinh(x − y)tanh x − tanh y =.cosh x cosh ycosh x+ cosh y = 2 cosh1.3.5Các ví dụVí dụ 1.8. Chứng minh rằngsinh x + sinh 3x + sinh 5x= tanh 3x.a.cosh x+ cosh 3x + cosh 5xb. tanh x+ tanh 2x − tanh 3x = tanh x tanh 2xtanh 3x.Lời giải.sinh x + sinh 3x + sinh 5xa.cosh x+ cosh 3x + cosh 5x2 sinh 3x cosh 2x + sinh 3x== tanh 3x.2 cosh 3x cosh 2x + cosh 3xb. tanh x+ tanh 2x − tanh 3x = tanh x+ tanh 2x − tanh(x + 2x)tanh x+ tanh 2x= tanh x + tanh 2x −.1 + tanh x tanh 2x11 + tanh x tanh 2xtanh x tanh 2x= (tanh x+ tanh 2x)1 + tanh x tanh 2xtanh x+ tanh 2x=tanh x tanh 2x = tanh xtanh 2x tanh 3x.1 + tanh x tanh 2x= (tanh x+ tanh 2x) 1 −11Ví dụ 1.9. Tính các tổng sau:Sn = sinh x + sinh 2x + sinh 3x + · · · + sinh nx.Tn = cosh x + 2 cosh 2x + 3 cosh 3x + · · · + n cosh nx.Lời giải. Nếu x = 0 thì Sn = 0xxXét x = 0. Nhân cả hai vế Sn với 2 sinh , ta được 2 sinh Sn =22xxxxsinh x + 2 sinh sinh 2x + 2 sinh sinh 3x + · · · + 2 sinh sinh nx22223xx5x3x= cosh− cosh+ cosh− cosh22225x2n + 12n − 17x− cosh+ · · · + coshx − coshx+ cosh22222 sinh= coshx2n + 1x − cosh .22Suy ra2n + 1xx − cosh22.Sn =x2 sinh2n(n + 1)Nếu x = 0 thì Tn = 1 + 2 + 3 + · · · + n =.2Xét x = 0, thìcoshSn = cosh x + 2 cosh 2x + 3 cosh 3x + · · · + n cosh nx.Suy ra2n + 1xcoshx − cosh22Tn = Sn =  =x2 sinh22n + 12n + 11xxx2n + 1xsinhx − sinh2 sinh − coshcoshx − cosh22222222x4 sinh222n + 1xx2n + 1xx(2n + 1) sinhx. sinh − sinh2 − coshx cosh + cosh22222222x4sinh2121+=2n + 11(cosh(n + 1)x − cosh nx) − (cosh(n + 1)x + cosh nx)22x4sinh221 + n cosh(n + 1)x − (n + 1) cosh nxx4sinh22n (cosh(n + 1)x − cosh nx) + 1 − cosh nx=x4sinh222n + 1xnx2n sinhx sinh − 2 sinh2222=2x4sinh2nx2n + 1xn sinhx sinh − sin h2222 .=2x2sinh2=Ví dụ 1.10. Chứng minh bất đẳng thức25x2 − 70x + 50.cosh(5x − 7) ≥Lời giải. Xét hàm số y = cosh2 (5x − 7) − (5x − 7)2 + 5x − 1, ∀x ∈ R.Ta cóy = 5 sinh (2(5x − 7))−10(5x−7)+5; y = 50 cosh (2(5x − 7))−50 ≥ 0, ∀x ∈ R.Do đóy≥yTa có y75= 7; y7575+y75x−7.5= 5 nên cosh2 (5x − 7) − (5x − 7)2 + 5x − 1 ≥75Suy ra cosh2 (5x − 7) ≥ 25x2 − 70x + 50.√Từ đó ta có điều cần chứng minh cosh(5x − 7) ≥ 25x2 − 70x + 50.7+5 x−13Chương 2Một số bài toán áp dụng liên quantới lớp hàm hyperbolic2.12.1.1Một số lớp phương trình, bất phương trìnhCác phương trình cơ bảnSử dụng định nghĩa và tính chất của các hàm lượng giác hyperbolic taxây dựng công thức nghiệm của các phương trình cơ bản sau√sinh x = a ⇔ x = ln(a + a2 + 1), a ∈ R.√cosh x = a ⇔ x = ln(a ± a2 − 1), a ∈ [1; +∞)1 1+atanh x = a ⇔ x = ln, a ∈ (−1; 1) .2 1−a1 a+1, a ∈ (−∞; −1) ∪ (1; +∞) .coth x = a ⇔ x = ln2 a−1Tiếp theo ta xét một vài bài toán giải phương trình trên tập số thực như sauBài toán 2.1. Giải phương trìnhcosh 4x = cosh2 x.Lời giải. Áp dụng công thức nhân đôi ta có phương trình tương đương1 + cosh 2x⇔ 4cosh2 2x − cosh 2x − 3 = 02cosh 2x = 13⇔ x = 0.cosh 2x = − (loại)42cosh2 2x − 1 =⇔Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 0 .14Bài toán 2.2. Giải phương trìnhcosh 4x = cosh2 3x + 2sinh2 x.Lời giải. Áp dụng công thức góc nhân đôi ta có phương trình tương đươngcosh 2x − 11 + cosh 6x+22223⇔ 4cosh 2x − 2 = 4cosh 2x − cosh 2x − 12cosh2 2x − 1 =⇔ 4cosh3 2x − 4cosh2 2x − cosh 2x + 1 = 0⇔ (cosh 2x − 1) 4cosh2 2x − 1 = 0cosh 2x = 11⇔ x = 0.⇔cosh2 2x = (loại)4Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 0 .Bài toán 2.3. Giải phương trìnhsinh 3x = cosh 2x + 4.Lời giải. Áp dụng công thức nhân ba ta có phương trình tương đươngsinh 3x = cosh 2x + 4 ⇔ 4sinh3 x + 3 sinh x = 2sinh2 x + 5⇔ 4sinh3 x − 2sinh2 x + 3 sinh x − 5 = 0⇔ (sinh x − 1) 4sinh2 x + 2 sinh x + 5 = 0√⇔ sinh x = 1 ⇔ x = ln 1 + 2 .Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = ln 1 +√2 .Bài toán 2.4. Giải phương trình3sinh3 x − 3sinh2 x cosh x + 3 sinh xcosh2 x − cosh3 x = 0.Lời giải. Chia cả 2 vế cho cosh3 x ta đượcsinh3 xsinh2 xsinh x3−1=0−3+3cosh xcosh3 xcosh2 x⇔ 3tanh3 x − 3tanh2 x + 3 tanh x − 1 = 015⇔ 2tanh3 x = (1 − tanh x)3 ⇔ tanh x = √312+11√3112+22+1⇔ x = ln⇔ x = ln √.312221− √32+1√32+21Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = ln √.3221+ √3Bài toán 2.5. Giải phương trìnhsinh xcosh2 x − sinh 2x − sinh2 x + sinh x + 2 cosh x = 2.Lời giải.Phương trình biến đổi thànhsinh xcosh2 x − 2 sinh x cosh x + 1 − cosh2 x + sinh x + 2 cosh x = 2⇔ cosh2 x (sinh x − 1) − 2 cosh x (sinh x − 1) + sinh x − 1 = 0sinh x = 1(sinh x − 1) cosh2 x − 2 cosh x + 1 = 0 ⇔ cosh x = 1√x=ln1+2⇔x = 0.Vậy phương trình có hai nghiệm x = 0 và x = ln 1 +√2 .Bài toán 2.6. Giải phương trìnhsinh 2x + cosh 2x − 2 sinh x − 5 cosh x + 4 = 0.Lời giải. Phương trình biến đổi thành2 sinh x cosh x + 2cosh2 x − 1 − 2 sinh x − 5 cosh x + 4 = 0⇔ 2 sinh x (cosh x − 1) + 2cosh2 x − 5 cosh x + 3 = 0cosh x = 1(cosh x − 1) (2 sinh x + 2 cosh x − 3) = 0 ⇔ 2 sinh x + 2 cosh x − 3 = 0.16Với cosh x = 1 ta được cosh x = 1 ⇔ x = 0.Với 2 sinh x + 2 cosh x − 3 = 0 ta được2 sinh x + 2 cosh x − 3 = 0 ⇔ 2 1 + sinh2 x = 3 − 2 sinh x3sinh x ≤23 − 2 sinh x ≥ 0⇔2 ⇔24 1 + sinh x = (3 − 2 sinh x) sinh x = 51255 23⇔ x = ln++ 1 ⇔ x = ln.12122Vậy phương trình có 2 nghiệm x = ln32và x = 0.Bài toán 2.7. Giải phương trình√sinh 2x + 2 cosh 2x − 2 3 cosh x + 2 = 0.Lời giải.Phương trình biến đổi thành√2 sinh x cosh x + 2cosh2 x + 2sinh2 x − 2 3 cosh x + 2 = 0√⇔ 4 sinh x cosh x + 4cosh2 x + 4sinh2 x − 4 3 cosh x + 4 = 0√⇔ 4sinh2 x + 4 sinh x cosh x + cosh2 x + 3cosh2 x − 4 3 cosh x + 4 = 0√2⇔ (2 sinh x + cosh x)2 +3 cosh x − 2 = 0111x=lntanh x = −232 ⇔√2 sinh x + cosh x = 0 ⇔⇔223 cosh x − 2 = 0 cosh x = √√x=ln±33Vậy phương trình có nghiệm x =2.1.211ln.23Ứng dụng trong giải phương trình đại sốMột trong những ứng dụng của các hàm lượng giác hyperbolic là giải cácphương trình bậc ba không cần sử dụng số phức.1713.Trước hết, ta xét cách giải các phương trình bậc 3 với hệ số thực.a. Phương trình dạng 4x3 − 3x = q.(1).Trường hợp 1. Nếu |q| ≤ 1 ta đặt x = cos t, t ∈ [0; π] phương trình trở1k2πthành cos 3t = q ⇔ t = ± arccos q +, từ đó ta tìm được 3 nghiệm33t1 , t2 , t3 ∈ [0; π] suy ra phương trình (1) có ba nghiệm cos t1 , cos t2 , cos t3 .Trường hợp 2. Nếu q > 1 ta có thể dung đạo hàm để chứng minh đượcphương trình có nghiệm duy nhất, ta đặt q = cosh 3t phương trình trở thành4x3 − 3x = cosh 3t ⇔ 4x3 − 3x = 4cosh3 t − 3 cosh tSuy ra phương trình có nghiệm x = cosh t. Ta có11cosh 3t = q ⇔ t = ln(q± q 2 − 1). Suy ra x = coshln(q ± q 2 − 1)3312 x = cosh 3 ln(q + q − 1)⇔1ln(q − q 2 − 1)x = cosh3−11 3322q+ q −1+q+ q −1 x=2⇔−11 3322x=q− q −1+q− q −121 3x=q + q2 − 1 + 3 q − q2 − 12⇔1 3x=q − q2 − 1 + 3 q + q2 − 12Vậy phương trình có nghiêm duy nhất1 3q + q 2 − 1 + 3 q − q 2 − 1.x=2Trường hợp 3. Nếu q < −1 viết phương trình(∗)4(−x)3 − 3(−x) = −q.Đặt y = −x ta được phương trình 4y 3 − 3y = −q đây chính là trường hợpđã xét.b. Phương trình dạng 4x3 + 3x = q.(2)Ta có thể chứng minh phương trình (2) có nghiệm duy nhất18Ta đặt q = sinh 3t ta được phương trình4x3 + 3x = sinh 3t ⇔ 4x3 + 3x = 4sinh3 t + 3 sinh tSuy ra phương trình có nghiệm x = sinh t. Ta có11sinh 3t = q ⇔ t = ln(q ± q 2 + 1) ⇔ x = sinhln(q + q 2 + 1) .331 3Từ đó ta được nghiệm x =q + q 2 + 1 + 3 q − q 2 + 1 . (∗∗)23c. Phương trình x + px = q.(3) Ta có thể đưa phương trình (3) về đượcdạng (1) hoặc (2) bằng cách đặt x = my; m2 = ±4p.d. Xét phương trìnhax3 + bx2 + cx + d = 0, a = 0.Ta chia cả hai vế cho a đượccdbx3 + x2 + x + = 0, a = 0.aaaPhương trình trên được quy về dạng (3) bằng phép đặt y = x +b.3aTa xét mội vài bài toán minh họa sauBài toán 2.8. Giải phương trình x3 − 3x = 10.m34Lời giải. Đặt x = my ta được m y − 3my = 10 chọn= hay m = 2.3m 3Thay vào ta được 8y 3 − 6y = 10 ⇔ 4y 3 − 3y = 5.Áp dụng công thức nghiệm (*) ta được√√√√1 33335 + 24 + 5 − 24 . Suy ra x =5 + 24 + 5 − 24 .y=23 3Bài toán 2.9. Giải phương trình x3 − 12x = −32.m34Lời giải. Đặt x = my ta được m y − 12my = −32 chọn= hay12m3m = 4.Ta được phương trình 64y 3 − 48y = −32 ⇔ 4y 3 − 3y = −2 ⇔ 4(−y)3 −3(−y) = 2 đặt z = −y,ta được 4z 3 − 3z = 2. Áp dụng công thức nghiệm (*) ta được√√√√1 3333z=2 + 3 + 2 − 3 . Suy ra x = −22+ 3+ 2− 3 .23 319Bài toán 2.10. Giải phương trình x3 + 5x = 1.Lời giải. Đặt x = my ta được m3 y 3 + 5my = 1 chọn4m3=5m 320.3hay m =20 20 320y +5y=1Thay vào ta được33√33 3⇔ 4y 3 + 3y = √ .5 20Áp dụngthức nghiệm (**) ta được  công√√√√1  3 3 3 + 52733−527 √√y=+ 3. Suy ra25 205 20√√√√5  3 3 3 + 5273 3 − 527 √√x=+ 3.35 205 20Bài toán 2.11. Giải phương trìnhx3 − 3x2 + 4x+3 = 0.Lời giải. Ta biến đổi như saux3 −3x2 +4x+3 = 0 ⇔ x3 −3x2 +3x−1+x+4 = 0 ⇔ (x − 1)3 +(x−1) = −5.Đăt y = x − 1 phương trình trở thành y 3 + y = −5.m3423 3Đặt y = mz ta được m z + mz = −5 chọn= hay m = √ .m33Thay vào ta được√8 32−153√ z + √ z = −5 ⇔ 4z 3 + 3z =.23 33Áp dụngnghiệm của phương trình (2),ta được công thức√√√√1  3 −15 3 + 6793 − 679 3 −15+.z=222Suy ra13x=√ 3√√−15 3 + 679+2203√√−15 3 − 679 + 1.2Tiếp theo, ta xây dụng lớp các phương trình tương ứng và các áp dụngliên quan.sinh u = sinh v ⇔ 2 cos h⇔ sinhu−v2u+v2u+v2u−v2=0⇔ u = v.sinh u = − sinh v ⇔ 2 sinh⇔ sinhsinhu+v2cos hu−v2=0⇔ u = −v.u+vu−vsinh22u+vu = −v⇔ sinh⇔u = v.2sinh (u − v)tanh u = tanh v ⇔=0cosh u cosh v⇔ sinh (u − v) ⇔ u = v.sinh (u + v)tanh u = − tanh v ⇔=0cosh u cosh v⇔ sinh (u + v) ⇔ u = −v.cosh u = cosh v ⇔ 2 sinh=0Nhận xét 2.1. Nếu a2 −b2 = 1 thì tồn tại số thực u sao cho |a| = cosh u; b =sinh u. Ta xét một vài bài toán đơn giản như sau.Bài toán 2.12. Giải phương trình√√1 + 1 + x2 = x 1 + 2 1 + x2 .Lời giải. Đặt x = sinh 2t phương trình trở thành1+⇔⇔⇔⇔1 + sinh2 2t = sinh 2t 1 + 2 1 + sinh2 2t1+√√√cosh2 2t = sinh 2t 1 + 2 cosh2 2t1 + cosh 2t = sinh 2t (1 + 2 cosh 2t)2 cosh t = 2 sinh t cosh t 1 + 2(1 + 2sin2 t)2 = 2 sinh t 3 + 4sin2 t11sinh 3t = √ ⇔ t = ln3221√1+ 3√2

Tài liệu liên quan

Phương trình tích phân dạng chập trong lớp hàm {0}
- 22
- 356
- 0
Một số dạng bất đẳng thức trong lớp hàm đơn điệu và áp dụng trong lượng giác
- 61
- 611
- 1
Một số dạng bất đẳng thức trong lớp hàm đơn điệu và áp dụng
- 61
- 637
- 0
Đẳng thức và bất đẳng thức trong lớp hàm hyperbolic
- 70
- 1
- 1
Bất đẳng thức trong lớp hàm siêu việt
- 11
- 509
- 1
Bất đẳng thức trong lớp hàm siêu việt
- 60
- 310
- 0
Phương trình tích phân dạng chập trong lớp hàm {0}
- 22
- 247
- 0
Các phương trình hàm dạng Abel trong lớp hàm liên tục
- 23
- 188
- 0
Các phương trình hàm dạng abel trong lớp hàm liên tục
- 84
- 229
- 0
Bất đẳng thức trong lớp các hàm lượng giác và lượng giác ngược
- 73
- 369
- 0