Danh Sách Tích Phân Với Hàm Lượng Giác – Wikipedia Tiếng Việt

Bước tới nội dung

Nội dung

chuyển sang thanh bên ẩn

• Đầu
• 1 Tích phân chỉ chứa hàm sin
• 2 Tích phân chỉ chứa hàm cos
• 3 Tích phân chỉ chứa hàm tan
• 4 Tích phân chỉ chứa hàm secant
• 5 Tích phân chỉ chứa hàm cosecant
• 6 Tích phân chỉ chứa hàm cotang
• 7 Tích phân chứa hàm sin và cos
• 8 Tích phân chứa hàm sin và tang
• 9 Tích phân chứa hàm cos và tang
• 10 Tích phân chứa hàm sin và cotang
• 11 Tích phân chứa hàm cos và cotang
• 12 Tích phân chứa hàm secant và tang
• 13 Tích phân chứa hàm cosecant và cotang
• 14 Tích phân trên một phần tư đường tròn
• 15 Tích phân với giới hạn đối xứng
• 16 Tích phân trên toàn bộ đường tròn
• 17 Tham khảo

• Bài viết
• Thảo luận

Tiếng Việt

• Đọc
• Sửa đổi
• Sửa mã nguồn
• Xem lịch sử

Công cụ Công cụ chuyển sang thanh bên ẩn Tác vụ

• Đọc
• Sửa đổi
• Sửa mã nguồn
• Xem lịch sử

Chung

• Các liên kết đến đây
• Thay đổi liên quan
• Trang đặc biệt
• Liên kết thường trực
• Thông tin trang
• Trích dẫn trang này
• Lấy URL ngắn gọn
• Tải mã QR

In và xuất

• Tạo một quyển sách
• Tải dưới dạng PDF
• Bản để in ra

Tại dự án khác

• Khoản mục Wikidata

Giao diện chuyển sang thanh bên ẩn Bách khoa toàn thư mở Wikipedia

Lượng giác
Khái quát Lịch sử Ứng dụng Hàm Hàm ngược
Tham khảo
Đẳng thức Giá trị đặc biệt Bảng Đường tròn đơn vị
Định lý
Sin Cos Tang Cotang Pythagoras
Vi tích phân
Phép thế lượng giác Tích phân Hàm nghịch đảo Đạo hàm
x t s

Đây là danh sách tích phân (nguyên hàm) của các hàm lượng giác. Đối với tích phân của chứa hàm lượng giác và hàm mũ, xem Danh sách tích phân với hàm mũ. Đối với danh sách đầy đủ các tích phân, xem Danh sách tích phân. Đối với danh sách các tích phân đặc biệt của các hàm lượng giác, xem Tích phân lượng giác.

Nhìn chung, với cos ⁡ ( x ) {\displaystyle \cos(x)} là đạo hàm của hàm số sin ⁡ ( x ) {\displaystyle \sin(x)} , ta có

∫ a cos ⁡ n x d x = a n sin ⁡ n x + C {\displaystyle \int a\cos nx\,dx={\frac {a}{n}}\sin nx+C}

Trong mọi công thức dưới đây, a là một hằng số khác không và C ký hiệu cho hằng số tích phân.

Tích phân chỉ chứa hàm sin

[sửa | sửa mã nguồn] ∫ sin ⁡ a x d x = − 1 a cos ⁡ a x + C {\displaystyle \int \sin ax\,dx=-{\frac {1}{a}}\cos ax+C} ∫ sin 2 ⁡ a x d x = x 2 − 1 4 a sin ⁡ 2 a x + C = x 2 − 1 2 a sin ⁡ a x cos ⁡ a x + C {\displaystyle \int \sin ^{2}{ax}\,dx={\frac {x}{2}}-{\frac {1}{4a}}\sin 2ax+C={\frac {x}{2}}-{\frac {1}{2a}}\sin ax\cos ax+C} ∫ sin 3 ⁡ a x d x = cos ⁡ 3 a x 12 a − 3 cos ⁡ a x 4 a + C {\displaystyle \int \sin ^{3}{ax}\,dx={\frac {\cos 3ax}{12a}}-{\frac {3\cos ax}{4a}}+C} ∫ x sin 2 ⁡ a x d x = x 2 4 − x 4 a sin ⁡ 2 a x − 1 8 a 2 cos ⁡ 2 a x + C {\displaystyle \int x\sin ^{2}{ax}\,dx={\frac {x^{2}}{4}}-{\frac {x}{4a}}\sin 2ax-{\frac {1}{8a^{2}}}\cos 2ax+C} ∫ x 2 sin 2 ⁡ a x d x = x 3 6 − ( x 2 4 a − 1 8 a 3 ) sin ⁡ 2 a x − x 4 a 2 cos ⁡ 2 a x + C {\displaystyle \int x^{2}\sin ^{2}{ax}\,dx={\frac {x^{3}}{6}}-\left({\frac {x^{2}}{4a}}-{\frac {1}{8a^{3}}}\right)\sin 2ax-{\frac {x}{4a^{2}}}\cos 2ax+C} ∫ x sin ⁡ a x d x = sin ⁡ a x a 2 − x cos ⁡ a x a + C {\displaystyle \int x\sin ax\,dx={\frac {\sin ax}{a^{2}}}-{\frac {x\cos ax}{a}}+C} ∫ ( sin ⁡ b 1 x ) ( sin ⁡ b 2 x ) d x = sin ⁡ ( ( b 2 − b 1 ) x ) 2 ( b 2 − b 1 ) − sin ⁡ ( ( b 1 + b 2 ) x ) 2 ( b 1 + b 2 ) + C ( | b 1 | ≠ | b 2 | ) {\displaystyle \int (\sin b_{1}x)(\sin b_{2}x)\,dx={\frac {\sin((b_{2}-b_{1})x)}{2(b_{2}-b_{1})}}-{\frac {\sin((b_{1}+b_{2})x)}{2(b_{1}+b_{2})}}+C\qquad {\mbox{(}}|b_{1}|\neq |b_{2}|{\mbox{)}}} ∫ sin n ⁡ a x d x = − sin n − 1 ⁡ a x cos ⁡ a x n a + n − 1 n ∫ sin n − 2 ⁡ a x d x ( n > 0 ) {\displaystyle \int \sin ^{n}{ax}\,dx=-{\frac {\sin ^{n-1}ax\cos ax}{na}}+{\frac {n-1}{n}}\int \sin ^{n-2}ax\,dx\qquad {\mbox{(}}n>0{\mbox{)}}} ∫ d x sin ⁡ a x = − 1 a ln ⁡ | csc ⁡ a x + cot ⁡ a x | + C {\displaystyle \int {\frac {dx}{\sin ax}}=-{\frac {1}{a}}\ln {\left|\csc {ax}+\cot {ax}\right|}+C} ∫ d x sin n ⁡ a x = cos ⁡ a x a ( 1 − n ) sin n − 1 ⁡ a x + n − 2 n − 1 ∫ d x sin n − 2 ⁡ a x ( n > 1 ) {\displaystyle \int {\frac {dx}{\sin ^{n}ax}}={\frac {\cos ax}{a(1-n)\sin ^{n-1}ax}}+{\frac {n-2}{n-1}}\int {\frac {dx}{\sin ^{n-2}ax}}\qquad {\mbox{(}}n>1{\mbox{)}}} ∫ x n sin ⁡ a x d x = − x n a cos ⁡ a x + n a ∫ x n − 1 cos ⁡ a x d x = ∑ k = 0 2 k ≤ n ( − 1 ) k + 1 x n − 2 k a 1 + 2 k n ! ( n − 2 k ) ! cos ⁡ a x + ∑ k = 0 2 k + 1 ≤ n ( − 1 ) k x n − 1 − 2 k a 2 + 2 k n ! ( n − 2 k − 1 ) ! sin ⁡ a x = − ∑ k = 0 n x n − k a 1 + k n ! ( n − k ) ! cos ⁡ ( a x + k π 2 ) ( n > 0 ) {\displaystyle {\begin{aligned}\int x^{n}\sin ax\,dx&=-{\frac {x^{n}}{a}}\cos ax+{\frac {n}{a}}\int x^{n-1}\cos ax\,dx\\&=\sum _{k=0}^{2k\leq n}(-1)^{k+1}{\frac {x^{n-2k}}{a^{1+2k}}}{\frac {n!}{(n-2k)!}}\cos ax+\sum _{k=0}^{2k+1\leq n}(-1)^{k}{\frac {x^{n-1-2k}}{a^{2+2k}}}{\frac {n!}{(n-2k-1)!}}\sin ax\\&=-\sum _{k=0}^{n}{\frac {x^{n-k}}{a^{1+k}}}{\frac {n!}{(n-k)!}}\cos \left(ax+k{\frac {\pi }{2}}\right)\qquad {\mbox{(}}n>0{\mbox{)}}\end{aligned}}} ∫ sin ⁡ a x x d x = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n ( a x ) 2 n + 1 ( 2 n + 1 ) ⋅ ( 2 n + 1 ) ! + C {\displaystyle \int {\frac {\sin ax}{x}}\,dx=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {(ax)^{2n+1}}{(2n+1)\cdot (2n+1)!}}+C} ∫ sin ⁡ a x x n d x = − sin ⁡ a x ( n − 1 ) x n − 1 + a n − 1 ∫ cos ⁡ a x x n − 1 d x {\displaystyle \int {\frac {\sin ax}{x^{n}}}\,dx=-{\frac {\sin ax}{(n-1)x^{n-1}}}+{\frac {a}{n-1}}\int {\frac {\cos ax}{x^{n-1}}}\,dx} ∫ d x 1 ± sin ⁡ a x = 1 a tan ⁡ ( a x 2 ∓ π 4 ) + C {\displaystyle \int {\frac {dx}{1\pm \sin ax}}={\frac {1}{a}}\tan \left({\frac {ax}{2}}\mp {\frac {\pi }{4}}\right)+C} ∫ x d x 1 + sin ⁡ a x = x a tan ⁡ ( a x 2 − π 4 ) + 2 a 2 ln ⁡ | cos ⁡ ( a x 2 − π 4 ) | + C {\displaystyle \int {\frac {x\,dx}{1+\sin ax}}={\frac {x}{a}}\tan \left({\frac {ax}{2}}-{\frac {\pi }{4}}\right)+{\frac {2}{a^{2}}}\ln \left|\cos \left({\frac {ax}{2}}-{\frac {\pi }{4}}\right)\right|+C} ∫ x d x 1 − sin ⁡ a x = x a cot ⁡ ( π 4 − a x 2 ) + 2 a 2 ln ⁡ | sin ⁡ ( π 4 − a x 2 ) | + C {\displaystyle \int {\frac {x\,dx}{1-\sin ax}}={\frac {x}{a}}\cot \left({\frac {\pi }{4}}-{\frac {ax}{2}}\right)+{\frac {2}{a^{2}}}\ln \left|\sin \left({\frac {\pi }{4}}-{\frac {ax}{2}}\right)\right|+C} ∫ sin ⁡ a x d x 1 ± sin ⁡ a x = ± x + 1 a tan ⁡ ( π 4 ∓ a x 2 ) + C {\displaystyle \int {\frac {\sin ax\,dx}{1\pm \sin ax}}=\pm x+{\frac {1}{a}}\tan \left({\frac {\pi }{4}}\mp {\frac {ax}{2}}\right)+C}

Tích phân chỉ chứa hàm cos

[sửa | sửa mã nguồn] ∫ cos ⁡ a x d x = 1 a sin ⁡ a x + C {\displaystyle \int \cos ax\,dx={\frac {1}{a}}\sin ax+C} ∫ cos 2 ⁡ a x d x = x 2 + 1 4 a sin ⁡ 2 a x + C = x 2 + 1 2 a sin ⁡ a x cos ⁡ a x + C {\displaystyle \int \cos ^{2}{ax}\,dx={\frac {x}{2}}+{\frac {1}{4a}}\sin 2ax+C={\frac {x}{2}}+{\frac {1}{2a}}\sin ax\cos ax+C} ∫ cos n ⁡ a x d x = cos n − 1 ⁡ a x sin ⁡ a x n a + n − 1 n ∫ cos n − 2 ⁡ a x d x ( n > 0 ) {\displaystyle \int \cos ^{n}ax\,dx={\frac {\cos ^{n-1}ax\sin ax}{na}}+{\frac {n-1}{n}}\int \cos ^{n-2}ax\,dx\qquad {\mbox{(}}n>0{\mbox{)}}} ∫ x cos ⁡ a x d x = cos ⁡ a x a 2 + x sin ⁡ a x a + C {\displaystyle \int x\cos ax\,dx={\frac {\cos ax}{a^{2}}}+{\frac {x\sin ax}{a}}+C} ∫ x 2 cos 2 ⁡ a x d x = x 3 6 + ( x 2 4 a − 1 8 a 3 ) sin ⁡ 2 a x + x 4 a 2 cos ⁡ 2 a x + C {\displaystyle \int x^{2}\cos ^{2}{ax}\,dx={\frac {x^{3}}{6}}+\left({\frac {x^{2}}{4a}}-{\frac {1}{8a^{3}}}\right)\sin 2ax+{\frac {x}{4a^{2}}}\cos 2ax+C} ∫ x n cos ⁡ a x d x = x n sin ⁡ a x a − n a ∫ x n − 1 sin ⁡ a x d x = ∑ k = 0 2 k + 1 ≤ n ( − 1 ) k x n − 2 k − 1 a 2 + 2 k n ! ( n − 2 k − 1 ) ! cos ⁡ a x + ∑ k = 0 2 k ≤ n ( − 1 ) k x n − 2 k a 1 + 2 k n ! ( n − 2 k ) ! sin ⁡ a x = ∑ k = 0 n ( − 1 ) ⌊ k / 2 ⌋ x n − k a 1 + k n ! ( n − k ) ! cos ⁡ ( a x − ( − 1 ) k + 1 2 π 2 ) = ∑ k = 0 n x n − k a 1 + k n ! ( n − k ) ! sin ⁡ ( a x + k π 2 ) ( n > 0 ) {\displaystyle {\begin{aligned}\int x^{n}\cos ax\,dx&={\frac {x^{n}\sin ax}{a}}-{\frac {n}{a}}\int x^{n-1}\sin ax\,dx\\&=\sum _{k=0}^{2k+1\leq n}(-1)^{k}{\frac {x^{n-2k-1}}{a^{2+2k}}}{\frac {n!}{(n-2k-1)!}}\cos ax+\sum _{k=0}^{2k\leq n}(-1)^{k}{\frac {x^{n-2k}}{a^{1+2k}}}{\frac {n!}{(n-2k)!}}\sin ax\\&=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{\lfloor k/2\rfloor }{\frac {x^{n-k}}{a^{1+k}}}{\frac {n!}{(n-k)!}}\cos \left(ax-{\frac {(-1)^{k}+1}{2}}{\frac {\pi }{2}}\right)\\&=\sum _{k=0}^{n}{\frac {x^{n-k}}{a^{1+k}}}{\frac {n!}{(n-k)!}}\sin \left(ax+k{\frac {\pi }{2}}\right)\qquad {\mbox{(}}n>0{\mbox{)}}\end{aligned}}} ∫ cos ⁡ a x x d x = ln ⁡ | a x | + ∑ k = 1 ∞ ( − 1 ) k ( a x ) 2 k 2 k ⋅ ( 2 k ) ! + C {\displaystyle \int {\frac {\cos ax}{x}}\,dx=\ln |ax|+\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {(ax)^{2k}}{2k\cdot (2k)!}}+C} ∫ cos ⁡ a x x n d x = − cos ⁡ a x ( n − 1 ) x n − 1 − a n − 1 ∫ sin ⁡ a x x n − 1 d x ( n ≠ 1 ) {\displaystyle \int {\frac {\cos ax}{x^{n}}}\,dx=-{\frac {\cos ax}{(n-1)x^{n-1}}}-{\frac {a}{n-1}}\int {\frac {\sin ax}{x^{n-1}}}\,dx\qquad {\mbox{(}}n\neq 1{\mbox{)}}} ∫ d x cos ⁡ a x = 1 a ln ⁡ | tan ⁡ ( a x 2 + π 4 ) | + C {\displaystyle \int {\frac {dx}{\cos ax}}={\frac {1}{a}}\ln \left|\tan \left({\frac {ax}{2}}+{\frac {\pi }{4}}\right)\right|+C} ∫ d x cos n ⁡ a x = sin ⁡ a x a ( n − 1 ) cos n − 1 ⁡ a x + n − 2 n − 1 ∫ d x cos n − 2 ⁡ a x ( n > 1 ) {\displaystyle \int {\frac {dx}{\cos ^{n}ax}}={\frac {\sin ax}{a(n-1)\cos ^{n-1}ax}}+{\frac {n-2}{n-1}}\int {\frac {dx}{\cos ^{n-2}ax}}\qquad {\mbox{(}}n>1{\mbox{)}}} ∫ d x 1 + cos ⁡ a x = 1 a tan ⁡ a x 2 + C {\displaystyle \int {\frac {dx}{1+\cos ax}}={\frac {1}{a}}\tan {\frac {ax}{2}}+C} ∫ d x 1 − cos ⁡ a x = − 1 a cot ⁡ a x 2 + C {\displaystyle \int {\frac {dx}{1-\cos ax}}=-{\frac {1}{a}}\cot {\frac {ax}{2}}+C} ∫ x d x 1 + cos ⁡ a x = x a tan ⁡ a x 2 + 2 a 2 ln ⁡ | cos ⁡ a x 2 | + C {\displaystyle \int {\frac {x\,dx}{1+\cos ax}}={\frac {x}{a}}\tan {\frac {ax}{2}}+{\frac {2}{a^{2}}}\ln \left|\cos {\frac {ax}{2}}\right|+C} ∫ x d x 1 − cos ⁡ a x = − x a cot ⁡ a x 2 + 2 a 2 ln ⁡ | sin ⁡ a x 2 | + C {\displaystyle \int {\frac {x\,dx}{1-\cos ax}}=-{\frac {x}{a}}\cot {\frac {ax}{2}}+{\frac {2}{a^{2}}}\ln \left|\sin {\frac {ax}{2}}\right|+C} ∫ cos ⁡ a x d x 1 + cos ⁡ a x = x − 1 a tan ⁡ a x 2 + C {\displaystyle \int {\frac {\cos ax\,dx}{1+\cos ax}}=x-{\frac {1}{a}}\tan {\frac {ax}{2}}+C} ∫ cos ⁡ a x d x 1 − cos ⁡ a x = − x − 1 a cot ⁡ a x 2 + C {\displaystyle \int {\frac {\cos ax\,dx}{1-\cos ax}}=-x-{\frac {1}{a}}\cot {\frac {ax}{2}}+C} ∫ ( cos ⁡ a 1 x ) ( cos ⁡ a 2 x ) d x = sin ⁡ ( ( a 2 − a 1 ) x ) 2 ( a 2 − a 1 ) + sin ⁡ ( ( a 2 + a 1 ) x ) 2 ( a 2 + a 1 ) + C ( | a 1 | ≠ | a 2 | ) {\displaystyle \int (\cos a_{1}x)(\cos a_{2}x)\,dx={\frac {\sin((a_{2}-a_{1})x)}{2(a_{2}-a_{1})}}+{\frac {\sin((a_{2}+a_{1})x)}{2(a_{2}+a_{1})}}+C\qquad {\mbox{(}}|a_{1}|\neq |a_{2}|{\mbox{)}}}

Tích phân chỉ chứa hàm tan

[sửa | sửa mã nguồn] ∫ tan ⁡ a x d x = − 1 a ln ⁡ | cos ⁡ a x | + C = 1 a ln ⁡ | sec ⁡ a x | + C {\displaystyle \int \tan ax\,dx=-{\frac {1}{a}}\ln |\cos ax|+C={\frac {1}{a}}\ln |\sec ax|+C\,\!} ∫ tan 2 ⁡ x d x = tan ⁡ x − x + C {\displaystyle \int \tan ^{2}{x}\,dx=\tan {x}-x+C} ∫ tan n ⁡ a x d x = 1 a ( n − 1 ) tan n − 1 ⁡ a x − ∫ tan n − 2 ⁡ a x d x ( n ≠ 1 ) {\displaystyle \int \tan ^{n}ax\,dx={\frac {1}{a(n-1)}}\tan ^{n-1}ax-\int \tan ^{n-2}ax\,dx\qquad (n\neq 1)\,\!} ∫ d x q tan ⁡ a x + p = 1 p 2 + q 2 ( p x + q a ln ⁡ | q sin ⁡ a x + p cos ⁡ a x | ) + C ( p 2 + q 2 ≠ 0 ) {\displaystyle \int {\frac {dx}{q\tan ax+p}}={\frac {1}{p^{2}+q^{2}}}(px+{\frac {q}{a}}\ln |q\sin ax+p\cos ax|)+C\qquad (p^{2}+q^{2}\neq 0)\,\!} ∫ d x tan ⁡ a x + 1 = x 2 + 1 2 a ln ⁡ | sin ⁡ a x + cos ⁡ a x | + C {\displaystyle \int {\frac {dx}{\tan ax+1}}={\frac {x}{2}}+{\frac {1}{2a}}\ln |\sin ax+\cos ax|+C\,\!} ∫ d x tan ⁡ a x − 1 = − x 2 + 1 2 a ln ⁡ | sin ⁡ a x − cos ⁡ a x | + C {\displaystyle \int {\frac {dx}{\tan ax-1}}=-{\frac {x}{2}}+{\frac {1}{2a}}\ln |\sin ax-\cos ax|+C\,\!} ∫ tan ⁡ a x d x tan ⁡ a x + 1 = x 2 − 1 2 a ln ⁡ | sin ⁡ a x + cos ⁡ a x | + C {\displaystyle \int {\frac {\tan ax\,dx}{\tan ax+1}}={\frac {x}{2}}-{\frac {1}{2a}}\ln |\sin ax+\cos ax|+C\,\!} ∫ tan ⁡ a x d x tan ⁡ a x − 1 = x 2 + 1 2 a ln ⁡ | sin ⁡ a x − cos ⁡ a x | + C {\displaystyle \int {\frac {\tan ax\,dx}{\tan ax-1}}={\frac {x}{2}}+{\frac {1}{2a}}\ln |\sin ax-\cos ax|+C\,\!}

Tích phân chỉ chứa hàm secant

[sửa | sửa mã nguồn] Xem thêm thông tin: Tích phân của hàm secant ∫ sec ⁡ a x d x = 1 a ln ⁡ | sec ⁡ a x + tan ⁡ a x | + C {\displaystyle \int \sec {ax}\,dx={\frac {1}{a}}\ln {\left|\sec {ax}+\tan {ax}\right|}+C} ∫ sec 2 ⁡ x d x = tan ⁡ x + C {\displaystyle \int \sec ^{2}{x}\,dx=\tan {x}+C} ∫ sec n ⁡ a x d x = sec n − 2 ⁡ a x tan ⁡ a x a ( n − 1 ) + n − 2 n − 1 ∫ sec n − 2 ⁡ a x d x ( n ≠ 1 ) {\displaystyle \int \sec ^{n}{ax}\,dx={\frac {\sec ^{n-2}{ax}\tan {ax}}{a(n-1)}}\,+\,{\frac {n-2}{n-1}}\int \sec ^{n-2}{ax}\,dx\qquad {\mbox{(}}n\neq 1{\mbox{)}}\,\!} ∫ sec n ⁡ x d x = sec n − 2 ⁡ x tan ⁡ x n − 1 + n − 2 n − 1 ∫ sec n − 2 ⁡ x d x {\displaystyle \int \sec ^{n}{x}\,dx={\frac {\sec ^{n-2}{x}\tan {x}}{n-1}}\,+\,{\frac {n-2}{n-1}}\int \sec ^{n-2}{x}\,dx} [1] ∫ d x sec ⁡ x + 1 = x − tan ⁡ x 2 + C {\displaystyle \int {\frac {dx}{\sec {x}+1}}=x-\tan {\frac {x}{2}}+C} ∫ d x sec ⁡ x − 1 = − x − cot ⁡ x 2 + C {\displaystyle \int {\frac {dx}{\sec {x}-1}}=-x-\cot {\frac {x}{2}}+C}

Tích phân chỉ chứa hàm cosecant

[sửa | sửa mã nguồn] ∫ csc ⁡ a x d x = − 1 a ln ⁡ | csc ⁡ a x + cot ⁡ a x | + C = 1 a ln ⁡ | csc ⁡ a x − cot ⁡ a x | + C = 1 a ln ⁡ | tan ⁡ ( a x 2 ) | + C {\displaystyle {\begin{aligned}\int \csc {ax}\,dx&=-{\frac {1}{a}}\ln {\left|\csc {ax}+\cot {ax}\right|}+C\\&={\frac {1}{a}}\ln {\left|\csc {ax}-\cot {ax}\right|}+C\\&={\frac {1}{a}}\ln {\left|\tan {\left({\frac {ax}{2}}\right)}\right|}+C\end{aligned}}} ∫ csc 2 ⁡ x d x = − cot ⁡ x + C {\displaystyle \int \csc ^{2}{x}\,dx=-\cot {x}+C} ∫ csc 3 ⁡ x d x = − 1 2 csc ⁡ x cot ⁡ x − 1 2 ln ⁡ | csc ⁡ x + cot ⁡ x | + C = − 1 2 csc ⁡ x cot ⁡ x + 1 2 ln ⁡ | csc ⁡ x − cot ⁡ x | + C {\displaystyle {\begin{aligned}\int \csc ^{3}{x}\,dx&=-{\frac {1}{2}}\csc x\cot x-{\frac {1}{2}}\ln |\csc x+\cot x|+C\\&=-{\frac {1}{2}}\csc x\cot x+{\frac {1}{2}}\ln |\csc x-\cot x|+C\end{aligned}}} ∫ csc n ⁡ a x d x = − csc n − 2 ⁡ a x cot ⁡ a x a ( n − 1 ) + n − 2 n − 1 ∫ csc n − 2 ⁡ a x d x  ( n ≠ 1 ) {\displaystyle \int \csc ^{n}{ax}\,dx=-{\frac {\csc ^{n-2}{ax}\cot {ax}}{a(n-1)}}\,+\,{\frac {n-2}{n-1}}\int \csc ^{n-2}{ax}\,dx\qquad {\mbox{ (}}n\neq 1{\mbox{)}}} ∫ d x csc ⁡ x + 1 = x − 2 cot ⁡ x 2 + 1 + C {\displaystyle \int {\frac {dx}{\csc {x}+1}}=x-{\frac {2}{\cot {\frac {x}{2}}+1}}+C} ∫ d x csc ⁡ x − 1 = − x + 2 cot ⁡ x 2 − 1 + C {\displaystyle \int {\frac {dx}{\csc {x}-1}}=-x+{\frac {2}{\cot {\frac {x}{2}}-1}}+C}

Tích phân chỉ chứa hàm cotang

[sửa | sửa mã nguồn] ∫ cot ⁡ a x d x = 1 a ln ⁡ | sin ⁡ a x | + C {\displaystyle \int \cot ax\,dx={\frac {1}{a}}\ln |\sin ax|+C} ∫ cot 2 ⁡ x d x = − cot ⁡ x − x + C {\displaystyle \int \cot ^{2}{x}\,dx=-\cot {x}-x+C} ∫ cot n ⁡ a x d x = − 1 a ( n − 1 ) cot n − 1 ⁡ a x − ∫ cot n − 2 ⁡ a x d x ( n ≠ 1 ) {\displaystyle \int \cot ^{n}ax\,dx=-{\frac {1}{a(n-1)}}\cot ^{n-1}ax-\int \cot ^{n-2}ax\,dx\qquad {\mbox{(}}n\neq 1{\mbox{)}}} ∫ d x 1 + cot ⁡ a x = ∫ tan ⁡ a x d x tan ⁡ a x + 1 = x 2 − 1 2 a ln ⁡ | sin ⁡ a x + cos ⁡ a x | + C {\displaystyle \int {\frac {dx}{1+\cot ax}}=\int {\frac {\tan ax\,dx}{\tan ax+1}}={\frac {x}{2}}-{\frac {1}{2a}}\ln |\sin ax+\cos ax|+C} ∫ d x 1 − cot ⁡ a x = ∫ tan ⁡ a x d x tan ⁡ a x − 1 = x 2 + 1 2 a ln ⁡ | sin ⁡ a x − cos ⁡ a x | + C {\displaystyle \int {\frac {dx}{1-\cot ax}}=\int {\frac {\tan ax\,dx}{\tan ax-1}}={\frac {x}{2}}+{\frac {1}{2a}}\ln |\sin ax-\cos ax|+C}

Tích phân chứa hàm sin và cos

[sửa | sửa mã nguồn]

Tích phân một hàm hữu tỉ (phân thức) của sin và cos có thể được tính bằng quy tắc Bioche.

∫ d x cos ⁡ a x ± sin ⁡ a x = 1 a 2 ln ⁡ | tan ⁡ ( a x 2 ± π 8 ) | + C {\displaystyle \int {\frac {dx}{\cos ax\pm \sin ax}}={\frac {1}{a{\sqrt {2}}}}\ln \left|\tan \left({\frac {ax}{2}}\pm {\frac {\pi }{8}}\right)\right|+C} ∫ d x ( cos ⁡ a x ± sin ⁡ a x ) 2 = 1 2 a tan ⁡ ( a x ∓ π 4 ) + C {\displaystyle \int {\frac {dx}{(\cos ax\pm \sin ax)^{2}}}={\frac {1}{2a}}\tan \left(ax\mp {\frac {\pi }{4}}\right)+C} ∫ d x ( cos ⁡ x + sin ⁡ x ) n = 1 n − 1 ( sin ⁡ x − cos ⁡ x ( cos ⁡ x + sin ⁡ x ) n − 1 − 2 ( n − 2 ) ∫ d x ( cos ⁡ x + sin ⁡ x ) n − 2 ) {\displaystyle \int {\frac {dx}{(\cos x+\sin x)^{n}}}={\frac {1}{n-1}}\left({\frac {\sin x-\cos x}{(\cos x+\sin x)^{n-1}}}-2(n-2)\int {\frac {dx}{(\cos x+\sin x)^{n-2}}}\right)} ∫ cos ⁡ a x d x cos ⁡ a x ± sin ⁡ a x = x 2 ± 1 2 a ln ⁡ | sin ⁡ a x ± cos ⁡ a x | + C {\displaystyle \int {\frac {\cos ax\,dx}{\cos ax\pm \sin ax}}={\frac {x}{2}}\pm {\frac {1}{2a}}\ln \left|\sin ax\pm \cos ax\right|+C} ∫ sin ⁡ a x d x cos ⁡ a x ± sin ⁡ a x = ± x 2 − 1 2 a ln ⁡ | sin ⁡ a x ± cos ⁡ a x | + C {\displaystyle \int {\frac {\sin ax\,dx}{\cos ax\pm \sin ax}}=\pm {\frac {x}{2}}-{\frac {1}{2a}}\ln \left|\sin ax\pm \cos ax\right|+C} ∫ cos ⁡ a x d x ( sin ⁡ a x ) ( 1 + cos ⁡ a x ) = − 1 4 a tan 2 ⁡ a x 2 + 1 2 a ln ⁡ | tan ⁡ a x 2 | + C {\displaystyle \int {\frac {\cos ax\,dx}{(\sin ax)(1+\cos ax)}}=-{\frac {1}{4a}}\tan ^{2}{\frac {ax}{2}}+{\frac {1}{2a}}\ln \left|\tan {\frac {ax}{2}}\right|+C} ∫ cos ⁡ a x d x ( sin ⁡ a x ) ( 1 − cos ⁡ a x ) = − 1 4 a cot 2 ⁡ a x 2 − 1 2 a ln ⁡ | tan ⁡ a x 2 | + C {\displaystyle \int {\frac {\cos ax\,dx}{(\sin ax)(1-\cos ax)}}=-{\frac {1}{4a}}\cot ^{2}{\frac {ax}{2}}-{\frac {1}{2a}}\ln \left|\tan {\frac {ax}{2}}\right|+C} ∫ sin ⁡ a x d x ( cos ⁡ a x ) ( 1 + sin ⁡ a x ) = 1 4 a cot 2 ⁡ ( a x 2 + π 4 ) + 1 2 a ln ⁡ | tan ⁡ ( a x 2 + π 4 ) | + C {\displaystyle \int {\frac {\sin ax\,dx}{(\cos ax)(1+\sin ax)}}={\frac {1}{4a}}\cot ^{2}\left({\frac {ax}{2}}+{\frac {\pi }{4}}\right)+{\frac {1}{2a}}\ln \left|\tan \left({\frac {ax}{2}}+{\frac {\pi }{4}}\right)\right|+C} ∫ sin ⁡ a x d x ( cos ⁡ a x ) ( 1 − sin ⁡ a x ) = 1 4 a tan 2 ⁡ ( a x 2 + π 4 ) − 1 2 a ln ⁡ | tan ⁡ ( a x 2 + π 4 ) | + C {\displaystyle \int {\frac {\sin ax\,dx}{(\cos ax)(1-\sin ax)}}={\frac {1}{4a}}\tan ^{2}\left({\frac {ax}{2}}+{\frac {\pi }{4}}\right)-{\frac {1}{2a}}\ln \left|\tan \left({\frac {ax}{2}}+{\frac {\pi }{4}}\right)\right|+C} ∫ ( sin ⁡ a x ) ( cos ⁡ a x ) d x = 1 2 a sin 2 ⁡ a x + C {\displaystyle \int (\sin ax)(\cos ax)\,dx={\frac {1}{2a}}\sin ^{2}ax+C} ∫ ( sin ⁡ a 1 x ) ( cos ⁡ a 2 x ) d x = − cos ⁡ ( ( a 1 − a 2 ) x ) 2 ( a 1 − a 2 ) − cos ⁡ ( ( a 1 + a 2 ) x ) 2 ( a 1 + a 2 ) + C ( | a 1 | ≠ | a 2 | ) {\displaystyle \int (\sin a_{1}x)(\cos a_{2}x)\,dx=-{\frac {\cos((a_{1}-a_{2})x)}{2(a_{1}-a_{2})}}-{\frac {\cos((a_{1}+a_{2})x)}{2(a_{1}+a_{2})}}+C\qquad {\mbox{(}}|a_{1}|\neq |a_{2}|{\mbox{)}}} ∫ ( sin n ⁡ a x ) ( cos ⁡ a x ) d x = 1 a ( n + 1 ) sin n + 1 ⁡ a x + C ( n ≠ − 1 ) {\displaystyle \int (\sin ^{n}ax)(\cos ax)\,dx={\frac {1}{a(n+1)}}\sin ^{n+1}ax+C\qquad {\mbox{(}}n\neq -1{\mbox{)}}} ∫ ( sin ⁡ a x ) ( cos n ⁡ a x ) d x = − 1 a ( n + 1 ) cos n + 1 ⁡ a x + C ( n ≠ − 1 ) {\displaystyle \int (\sin ax)(\cos ^{n}ax)\,dx=-{\frac {1}{a(n+1)}}\cos ^{n+1}ax+C\qquad {\mbox{(}}n\neq -1{\mbox{)}}} ∫ ( sin n ⁡ a x ) ( cos m ⁡ a x ) d x = − ( sin n − 1 ⁡ a x ) ( cos m + 1 ⁡ a x ) a ( n + m ) + n − 1 n + m ∫ ( sin n − 2 ⁡ a x ) ( cos m ⁡ a x ) d x ( m , n > 0 ) = ( sin n + 1 ⁡ a x ) ( cos m − 1 ⁡ a x ) a ( n + m ) + m − 1 n + m ∫ ( sin n ⁡ a x ) ( cos m − 2 ⁡ a x ) d x ( m , n > 0 ) {\displaystyle {\begin{aligned}\int (\sin ^{n}ax)(\cos ^{m}ax)\,dx&=-{\frac {(\sin ^{n-1}ax)(\cos ^{m+1}ax)}{a(n+m)}}+{\frac {n-1}{n+m}}\int (\sin ^{n-2}ax)(\cos ^{m}ax)\,dx\qquad {\mbox{(}}m,n>0{\mbox{)}}\\&={\frac {(\sin ^{n+1}ax)(\cos ^{m-1}ax)}{a(n+m)}}+{\frac {m-1}{n+m}}\int (\sin ^{n}ax)(\cos ^{m-2}ax)\,dx\qquad {\mbox{(}}m,n>0{\mbox{)}}\end{aligned}}} ∫ d x ( sin ⁡ a x ) ( cos ⁡ a x ) = 1 a ln ⁡ | tan ⁡ a x | + C {\displaystyle \int {\frac {dx}{(\sin ax)(\cos ax)}}={\frac {1}{a}}\ln \left|\tan ax\right|+C} ∫ d x ( sin ⁡ a x ) ( cos n ⁡ a x ) = 1 a ( n − 1 ) cos n − 1 ⁡ a x + ∫ d x ( sin ⁡ a x ) ( cos n − 2 ⁡ a x ) ( n ≠ 1 ) {\displaystyle \int {\frac {dx}{(\sin ax)(\cos ^{n}ax)}}={\frac {1}{a(n-1)\cos ^{n-1}ax}}+\int {\frac {dx}{(\sin ax)(\cos ^{n-2}ax)}}\qquad {\mbox{(}}n\neq 1{\mbox{)}}} ∫ d x ( sin n ⁡ a x ) ( cos ⁡ a x ) = − 1 a ( n − 1 ) sin n − 1 ⁡ a x + ∫ d x ( sin n − 2 ⁡ a x ) ( cos ⁡ a x ) ( n ≠ 1 ) {\displaystyle \int {\frac {dx}{(\sin ^{n}ax)(\cos ax)}}=-{\frac {1}{a(n-1)\sin ^{n-1}ax}}+\int {\frac {dx}{(\sin ^{n-2}ax)(\cos ax)}}\qquad {\mbox{(}}n\neq 1{\mbox{)}}} ∫ sin ⁡ a x d x cos n ⁡ a x = 1 a ( n − 1 ) cos n − 1 ⁡ a x + C ( n ≠ 1 ) {\displaystyle \int {\frac {\sin ax\,dx}{\cos ^{n}ax}}={\frac {1}{a(n-1)\cos ^{n-1}ax}}+C\qquad {\mbox{(}}n\neq 1{\mbox{)}}} ∫ sin 2 ⁡ a x d x cos ⁡ a x = − 1 a sin ⁡ a x + 1 a ln ⁡ | tan ⁡ ( π 4 + a x 2 ) | + C {\displaystyle \int {\frac {\sin ^{2}ax\,dx}{\cos ax}}=-{\frac {1}{a}}\sin ax+{\frac {1}{a}}\ln \left|\tan \left({\frac {\pi }{4}}+{\frac {ax}{2}}\right)\right|+C} ∫ sin 2 ⁡ a x d x cos n ⁡ a x = sin ⁡ a x a ( n − 1 ) cos n − 1 ⁡ a x − 1 n − 1 ∫ d x cos n − 2 ⁡ a x ( n ≠ 1 ) {\displaystyle \int {\frac {\sin ^{2}ax\,dx}{\cos ^{n}ax}}={\frac {\sin ax}{a(n-1)\cos ^{n-1}ax}}-{\frac {1}{n-1}}\int {\frac {dx}{\cos ^{n-2}ax}}\qquad {\mbox{(}}n\neq 1{\mbox{)}}} ∫ sin n ⁡ a x d x cos ⁡ a x = − sin n − 1 ⁡ a x a ( n − 1 ) + ∫ sin n − 2 ⁡ a x d x cos ⁡ a x ( n ≠ 1 ) {\displaystyle \int {\frac {\sin ^{n}ax\,dx}{\cos ax}}=-{\frac {\sin ^{n-1}ax}{a(n-1)}}+\int {\frac {\sin ^{n-2}ax\,dx}{\cos ax}}\qquad {\mbox{(}}n\neq 1{\mbox{)}}} ∫ sin n ⁡ a x d x cos m ⁡ a x = { sin n + 1 ⁡ a x a ( m − 1 ) cos m − 1 ⁡ a x − n − m + 2 m − 1 ∫ sin n ⁡ a x d x cos m − 2 ⁡ a x ( m ≠ 1 ) sin n − 1 ⁡ a x a ( m − 1 ) cos m − 1 ⁡ a x − n − 1 m − 1 ∫ sin n − 2 ⁡ a x d x cos m − 2 ⁡ a x ( m ≠ 1 ) − sin n − 1 ⁡ a x a ( n − m ) cos m − 1 ⁡ a x + n − 1 n − m ∫ sin n − 2 ⁡ a x d x cos m ⁡ a x ( m ≠ n ) {\displaystyle \int {\frac {\sin ^{n}ax\,dx}{\cos ^{m}ax}}={\begin{cases}{\dfrac {\sin ^{n+1}ax}{a(m-1)\cos ^{m-1}ax}}-{\dfrac {n-m+2}{m-1}}\displaystyle \int {\dfrac {\sin ^{n}ax\,dx}{\cos ^{m-2}ax}}&{\mbox{(}}m\neq 1{\mbox{)}}\\{\dfrac {\sin ^{n-1}ax}{a(m-1)\cos ^{m-1}ax}}-{\dfrac {n-1}{m-1}}\displaystyle \int {\dfrac {\sin ^{n-2}ax\,dx}{\cos ^{m-2}ax}}&{\mbox{(}}m\neq 1{\mbox{)}}\\-{\dfrac {\sin ^{n-1}ax}{a(n-m)\cos ^{m-1}ax}}+{\dfrac {n-1}{n-m}}\displaystyle \int {\dfrac {\sin ^{n-2}ax\,dx}{\cos ^{m}ax}}&{\mbox{(}}m\neq n{\mbox{)}}\end{cases}}} ∫ cos ⁡ a x d x sin n ⁡ a x = − 1 a ( n − 1 ) sin n − 1 ⁡ a x + C ( n ≠ 1 ) {\displaystyle \int {\frac {\cos ax\,dx}{\sin ^{n}ax}}=-{\frac {1}{a(n-1)\sin ^{n-1}ax}}+C\qquad {\mbox{(}}n\neq 1{\mbox{)}}} ∫ cos 2 ⁡ a x d x sin ⁡ a x = 1 a ( cos ⁡ a x + ln ⁡ | tan ⁡ a x 2 | ) + C {\displaystyle \int {\frac {\cos ^{2}ax\,dx}{\sin ax}}={\frac {1}{a}}\left(\cos ax+\ln \left|\tan {\frac {ax}{2}}\right|\right)+C} ∫ cos 2 ⁡ a x d x sin n ⁡ a x = − 1 n − 1 ( cos ⁡ a x a sin n − 1 ⁡ a x + ∫ d x sin n − 2 ⁡ a x ) ( n ≠ 1 ) {\displaystyle \int {\frac {\cos ^{2}ax\,dx}{\sin ^{n}ax}}=-{\frac {1}{n-1}}\left({\frac {\cos ax}{a\sin ^{n-1}ax}}+\int {\frac {dx}{\sin ^{n-2}ax}}\right)\qquad {\mbox{(}}n\neq 1{\mbox{)}}} ∫ cos n ⁡ a x d x sin m ⁡ a x = { − cos n + 1 ⁡ a x a ( m − 1 ) sin m − 1 ⁡ a x − n − m + 2 m − 1 ∫ cos n ⁡ a x d x sin m − 2 ⁡ a x ( m ≠ 1 ) − cos n − 1 ⁡ a x a ( m − 1 ) sin m − 1 ⁡ a x − n − 1 m − 1 ∫ cos n − 2 ⁡ a x d x sin m − 2 ⁡ a x ( m ≠ 1 ) cos n − 1 ⁡ a x a ( n − m ) sin m − 1 ⁡ a x + n − 1 n − m ∫ cos n − 2 ⁡ a x d x sin m ⁡ a x ( m ≠ n ) {\displaystyle \int {\frac {\cos ^{n}ax\,dx}{\sin ^{m}ax}}={\begin{cases}-{\dfrac {\cos ^{n+1}ax}{a(m-1)\sin ^{m-1}ax}}-{\dfrac {n-m+2}{m-1}}\displaystyle \int {\dfrac {\cos ^{n}ax\,dx}{\sin ^{m-2}ax}}&{\mbox{(}}m\neq 1{\mbox{)}}\\-{\dfrac {\cos ^{n-1}ax}{a(m-1)\sin ^{m-1}ax}}-{\dfrac {n-1}{m-1}}\displaystyle \int {\dfrac {\cos ^{n-2}ax\,dx}{\sin ^{m-2}ax}}&{\mbox{(}}m\neq 1{\mbox{)}}\\{\dfrac {\cos ^{n-1}ax}{a(n-m)\sin ^{m-1}ax}}+{\dfrac {n-1}{n-m}}\displaystyle \int {\dfrac {\cos ^{n-2}ax\,dx}{\sin ^{m}ax}}&{\mbox{(}}m\neq n{\mbox{)}}\end{cases}}}

Tích phân chứa hàm sin và tang

[sửa | sửa mã nguồn] ∫ sin ⁡ a x tan ⁡ a x d x = 1 a ( ln ⁡ | sec ⁡ a x + tan ⁡ a x | − sin ⁡ a x ) + C {\displaystyle \int \sin ax\tan ax\,dx={\frac {1}{a}}(\ln |\sec ax+\tan ax|-\sin ax)+C\,\!} ∫ tan n ⁡ a x d x sin 2 ⁡ a x = 1 a ( n − 1 ) tan n − 1 ⁡ ( a x ) + C ( n ≠ 1 ) {\displaystyle \int {\frac {\tan ^{n}ax\,dx}{\sin ^{2}ax}}={\frac {1}{a(n-1)}}\tan ^{n-1}(ax)+C\qquad (n\neq 1)\,\!}

Tích phân chứa hàm cos và tang

[sửa | sửa mã nguồn] ∫ tan n ⁡ a x d x cos 2 ⁡ a x = 1 a ( n + 1 ) tan n + 1 ⁡ a x + C ( n ≠ − 1 ) {\displaystyle \int {\frac {\tan ^{n}ax\,dx}{\cos ^{2}ax}}={\frac {1}{a(n+1)}}\tan ^{n+1}ax+C\qquad (n\neq -1)\,\!}

Tích phân chứa hàm sin và cotang

[sửa | sửa mã nguồn] ∫ cot n ⁡ a x d x sin 2 ⁡ a x = − 1 a ( n + 1 ) cot n + 1 ⁡ a x + C ( n ≠ − 1 ) {\displaystyle \int {\frac {\cot ^{n}ax\,dx}{\sin ^{2}ax}}=-{\frac {1}{a(n+1)}}\cot ^{n+1}ax+C\qquad (n\neq -1)\,\!}

Tích phân chứa hàm cos và cotang

[sửa | sửa mã nguồn] ∫ cot n ⁡ a x d x cos 2 ⁡ a x = 1 a ( 1 − n ) tan 1 − n ⁡ a x + C ( n ≠ 1 ) {\displaystyle \int {\frac {\cot ^{n}ax\,dx}{\cos ^{2}ax}}={\frac {1}{a(1-n)}}\tan ^{1-n}ax+C\qquad (n\neq 1)\,\!}

Tích phân chứa hàm secant và tang

[sửa | sửa mã nguồn] ∫ ( sec ⁡ x ) ( tan ⁡ x ) d x = sec ⁡ x + C {\displaystyle \int (\sec x)(\tan x)\,dx=\sec x+C}

Tích phân chứa hàm cosecant và cotang

[sửa | sửa mã nguồn] ∫ ( csc ⁡ x ) ( cot ⁡ x ) d x = − csc ⁡ x + C {\displaystyle \int (\csc x)(\cot x)\,dx=-\csc x+C}

Tích phân trên một phần tư đường tròn

[sửa | sửa mã nguồn] ∫ 0 π 2 sin n ⁡ x d x = ∫ 0 π 2 cos n ⁡ x d x = { n − 1 n ⋅ n − 3 n − 2 ⋯ 3 4 ⋅ 1 2 ⋅ π 2 , n = 2 , 4 , 6 , 8 , … n − 1 n ⋅ n − 3 n − 2 ⋯ 4 5 ⋅ 2 3 , n = 3 , 5 , 7 , 9 , … 1 , n = 1 {\displaystyle \int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\sin ^{n}x\,dx=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\cos ^{n}x\,dx={\begin{cases}{\frac {n-1}{n}}\cdot {\frac {n-3}{n-2}}\cdots {\frac {3}{4}}\cdot {\frac {1}{2}}\cdot {\frac {\pi }{2}},&n=2,4,6,8,\ldots \\{\frac {n-1}{n}}\cdot {\frac {n-3}{n-2}}\cdots {\frac {4}{5}}\cdot {\frac {2}{3}},&n=3,5,7,9,\ldots \\1,&n=1\end{cases}}}

Tích phân với giới hạn đối xứng

[sửa | sửa mã nguồn] ∫ − c c sin ⁡ x d x = 0 {\displaystyle \int _{-c}^{c}\sin {x}\,dx=0} ∫ − c c cos ⁡ x d x = 2 ∫ 0 c cos ⁡ x d x = 2 ∫ − c 0 cos ⁡ x d x = 2 sin ⁡ c {\displaystyle \int _{-c}^{c}\cos {x}\,dx=2\int _{0}^{c}\cos {x}\,dx=2\int _{-c}^{0}\cos {x}\,dx=2\sin {c}} ∫ − c c tan ⁡ x d x = 0 {\displaystyle \int _{-c}^{c}\tan {x}\,dx=0} ∫ − a 2 a 2 x 2 cos 2 ⁡ n π x a d x = a 3 ( n 2 π 2 − 6 ) 24 n 2 π 2 {\displaystyle \int _{-{\frac {a}{2}}}^{\frac {a}{2}}x^{2}\cos ^{2}{\frac {n\pi x}{a}}\,dx={\frac {a^{3}(n^{2}\pi ^{2}-6)}{24n^{2}\pi ^{2}}}\qquad } (n là số nguyên dương lẻ) ∫ − a 2 a 2 x 2 sin 2 ⁡ n π x a d x = a 3 ( n 2 π 2 − 6 ( − 1 ) n ) 24 n 2 π 2 = a 3 24 ( 1 − 6 ( − 1 ) n n 2 π 2 ) {\displaystyle \int _{\frac {-a}{2}}^{\frac {a}{2}}x^{2}\sin ^{2}{\frac {n\pi x}{a}}\,dx={\frac {a^{3}(n^{2}\pi ^{2}-6(-1)^{n})}{24n^{2}\pi ^{2}}}={\frac {a^{3}}{24}}(1-6{\frac {(-1)^{n}}{n^{2}\pi ^{2}}})\qquad } (n là số nguyên dương)

Tích phân trên toàn bộ đường tròn

[sửa | sửa mã nguồn] ∫ 0 2 π sin 2 m + 1 ⁡ x cos 2 n + 1 ⁡ x d x = 0 m , n ∈ Z {\displaystyle \int _{0}^{2\pi }\sin ^{2m+1}{x}\cos ^{2n+1}{x}\,dx=0\qquad m,n\in \mathbb {Z} }

Tham khảo

[sửa | sửa mã nguồn]

1. ^ Stewart, James. Calculus: Early Transcendentals, 6th Edition. Thomson: 2008

• Gradshteĭn, I. S. (2015). Table of Integrals, Series, and Products. Waltham, MA: Academic Press. ISBN 978-0-12-384933-5. OCLC 893676501.

x t s Danh sách tích phân
Hàm sơ cấp Hàm hữu tỉ Hàm vô tỉ Hàm lượng giác Hàm hypebolic Hàm mũ Hàm lôgarít Hàm lượng giác ngược Hàm hypebolic ngược

Lấy từ “https://vi.wikipedia.org/w/index.php?title=Danh_sách_tích_phân_với_hàm_lượng_giác&oldid=65410006” Thể loại:

• Tích phân
• Lượng giác
• Danh sách toán học