Đạo Hàm Cấp Cao - Phương Pháp Giải Các Dạng Toán (Đại Số Và Giải ...

Trang chủ » Ct đạo Hàm Cấp Cao » Đạo Hàm Cấp Cao - Phương Pháp Giải Các Dạng Toán (Đại Số Và Giải ...

Có thể bạn quan tâm

§5. ĐẠO HÀM CẤP CAO

Đạo hàm cấp n của hàm số y = f(x) là đạo hàm của đạo hàm cấp n - 1 của nó :

• Để tính đạo hàm cấp n của một hàm số ta thường thực hiện theo các bước sau:

Tính đạo hàm cấp 1, cấp 2...

Dự đoán công thức đạo hàm cấp k.

Chứng minh công thức đạo hàm cấp k + 1 theo quy nạp.

• Ý nghĩa cơ học của đạo hàm cấp hai: Đạo hàm cấp hai của hàm số biểu thị chuyển động là gia tốc tức thời của chuyển động.

Ví dụ 18.

Cho hàm số y = xsinx. Chứng minh rằng ta có:

xy” – 2(y' - sinx) + xy = 0.

Giải.

Ta có : y' = sinx + xcosx và y” = 2cosx - xsinx. Suy ra

xy” – 2(y'- sin x) + xy =

= 2xcosx - $x^{2}$sinx - 2(xcosx) + $x^{2}$sin x = 0.

Ví dụ 19. (Trích đề thi vào ĐHXD Hà Nội, 2002)

Cho hàm số f(x) xác định bởi

Chứng minh rằng đạo hàm cấp n của f(x) bằng

Giải.

Công thức đạo hàm của f(x) ở đề bài đúng khi n = 1.

Thật vậy, với n = 1 ta có:

Giả sử công thức đúng với n, tức là

Lúc đó, lấy đạo hàm của ta được:

Vậy công thức đúng với n + 1, ta có điều phải chứng minh.

Ví dụ 20.

a) Tính đạo hàm cấp n của hàm số

b) Tính đạo hàm cấp n của hàm số

Giải.

BÀI TẬP

5.13. Cho f(x) = $(x+10)^{6}$. Tính f”(2).

b) Cho f(x) = $cos^{2}$x. Tính $f^{(4)}$ (x).

c) Cho tính đạo hàm cấp hai.

d) Tính đạo hàm cấp 100 của f(x) = sinx

5.14. Tính đạo hàm cấp n (n $\in$ N) của mỗi hàm số sau:

HƯỚNG DẪN GIẢI

5.13. a) 622080 ;

b) 8cos2x;

d) cosx.

5.14.

Áp dụng phương pháp quy nạp, ta chứng minh được rằng:

Từ khóa » Ct đạo Hàm Cấp Cao