Đạo Hàm Cấp Cao Và Các Công Thức đạo Hàm Thường Gặp

Định nghĩa đạo hàm cấp cao

Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm f'(x)

Đạo hàm của hàm số f'(x), nếu có, được gọi là đạo hàm cấp hai của hàm số f(x), kí hiệu là y'' hay f''(x).

Đạo hàm của hàm số f''(x), nếu có, được gọi là đạo hàm cấp ba của hàm số f(x), kí hiệu là y''' hay f'''(x).

Tương tự, đạo hàm của đạo hàm cấp (n-1) được gọi là đạo hàm cấp n của hàm số y = f(x), kí hiệu là y(n) hay f(n)(x).

\(f^{(n)} (x) = [f^{(n-1)} (x)]'\) , với n thuộc Z và n >= 2

Các công thức đạo hàm thường gặp

Đạo hàm của hàm số số không đổi (hằng số) bằng 0. Ví dụ: 5' = 0, 49' = 0.

Với c là hằng số, n là số tự nhiên. Các quy tắc tính đạo hàm như sau:

\(c' = 0\).

\((x^n)' = n.x^{n-1}\).

\((u_1 \pm u_2 \pm ... \pm u_n)' = u_1' \pm u_2' \pm ... \pm u_n'\).

\((uv)' = u'v + uv'\).

\((cu)' = cu'\).

\((uvw)' = u'vw + uv'w + uvw'\).

\((\frac{u}{v})' = \frac{u'v-uv'}{v^2}\).

Đạo hàm của hàm số hợp: Cho y = f(u), u = g(x) thì y = f(g(x)) gọi là hàm số hợp.

\(y_x' = y_u'.u_x'\).

Công thức đạo hàm cấp cao

\((x^m)^{(n)} = m(m-1)...(m-n+1).x^{m-n}\).

\((lnx)^{(n)} = \frac{(-1)^{n-1}(n-1)!}{x^n}\).

\((a^x)^{(n)} = a^x.ln^na\), với a > 0.

\((sinx)^{(n)} = sin(x + n\frac{\pi}{2})\).

\((cosx)^{(n)} = cos(x + n\frac{\pi}{2})\).

\((e^x)^{(n)} = e^x\).

\((\frac{1}{x})^{(n)} = (-1)^n.n!.x^{-n-1}\).

Công thức Lepnit

Nếu u và v là các hàm khả vi n lần thì: \((uv)^{(n)} = \sum_{k=0}^{n} {C_n^k} u^{(k)}.v^{(n-k)}\).

với \({C_n^k}\) kí hiệu tổ hợp chập k của n phần tử:

\({C_n^k} = \frac{n(n-1)...(n-k+1)}{k!}\).

Bài tập đạo hàm: Tổng hợp các dạng bài tập đạo hàm (2018)

Các bài viết tham khảo thêm về Toán học:

• Đạo hàm là gì? Ý nghĩa của đạo hàm
• Vi phân là gì? Ứng dụng vi phân vào phép tính gần đúng
• Giới hạn của hàm số - lim
• Đạo hàm cấp cao và các công thức đạo hàm thường gặp
• Ý nghĩa của Tích Vô Hướng
• Trị riêng và vector riêng của ma trận
• Số phức là gì? Giải thích dễ hiểu về số phức
• Tổng hợp các dạng bài tập đạo hàm (2018)
• Đo góc của hai vector. Ứng dụng: Đo độ tương tự của 2 vector - cosine similarity
• Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp
• Cách tính và ý nghĩa ma trận hiệp phương sai (covariance matrix)
• Tổng hợp các bài post toán học