Đạo Hàm Cấp Hai Cực Chi Tiết, Dễ Hiểu

Trong bài viết này, HocThatGioi sẽ mang đến cho các bạn định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm cấp hai cũng như một số bài tập vận dụng để các bạn hiểu rõ hơn về đạo hàm cấp hai. Cùng học với HocThatGioi nhé!

1. Định nghĩa đạo hàm cấp hai

Giả sử hàm số y=f(x) có đạo hàm tại mỗi điểm x\in \left ( a\ ;\ b \right ). Khi đó, hệ thức y'=f'(x) xác định một hàm số mới trên khoảng \left ( a\ ;\ b \right ).

Nếu hàm số y'=f'(x) lại có đạo hàm tại x thì ta gọi đạo hàm của y' là đạo hàm cấp hai của hàm số y=f(x) tại x và ký hiệu là y" hoặc f"(x).

Lưu ý: Đạo hàm cấp 3 của hàm số y=f(x) được định nghĩa tương tự và ký hiệu là y"’ hoặc f"'(x) hoặc f^{(3)}(x). Tương tự ta có đạo hàm cấp n của f(x) là f^{(n)}(x)=\left ( f^{(n-1)}(x) \right )’.

Cùng tìm hiểu một vài ví dụ để hiểu rõ hơn nhé!

Ví dụ 1: Tìm đạo hàm cấp hai của hàm số y=x^3 Giải: Ta có: y’=3x^{2}\Rightarrow y”=(y’)’=(3x^{2})’=6x. Vậy đạo hàm cấp hai của hàm số y=x^3 là 6x. Ví dụ 2: Tìm đạo hàm cấp 3 của hàm số f(x)=5x+2. Giải: Ta có: f'(x)=(5x+2)’=5\Rightarrow f”(x)=(f'(x))’=(5)’=0\Rightarrow f^{(3)}(x)=0. Vậy đạo hàm cấp 3 của hàm số f(x)=5x+2 là 0.

2. Ý nghĩa cơ học của đạo hàm cấp hai

Các bạn có biết đạo hàm cấp hai có ý nghĩa gì không? Chúng ta cùng tìm hiểu ngay bây giờ nhé!

Ý nghĩa cơ học của đạo hàm cấp hai Đạo hàm cấp hai f”(t) là gia tốc tức thời của chuyển động s=f(t) tại thời điểm t.

Để khẳng định cho ý nghĩa trên, các bạn hãy cùng HocThatGioi tìm hiểu bài toán chuyển động dưới đây nha.

Xét chuyển động xác định bởi phương trình s=f(t), trong đó s=f(t) là một hàm số có đạo hàm đến cấp hai. Vận tốc tức thời tại t của chuyển động là v(t)=f'(t).

Lấy số gia \Delta t tại t thì v(t) có số gia tương ứng là \Delta v.

Tỷ số \frac{\Delta v}{\Delta t} được gọi là gia tốc trung bình của chuyển động trong khoảng thời gian \Delta t.

Nếu tồn tại v'(t)=\displaystyle \lim_{\Delta t \to 0}\frac{\Delta v}{\Delta t}=\gamma (t), ta gọi v'(t)= \gamma (t) là gia tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t.

Vì v(t)=f'(t) nên \gamma (t)=f''(t).

Ví dụ: Cho chuyển động thẳng xác định bởi phương trình S=2t^3-t^2+5t, trong đó t được tính bằng giây và S được tính bằng mét. Giải: Gia tốc của chuyển động là: a=S”=(2t^3-t^2+5t)”=(6t^2-2t+5)’=12t-2\ (m/s^2)

3. Bài tập vận dụng

Cùng HocThatGioi hoàn thành các bài tập dưới đây để nắm vững kiến thức đạo hàm cấp hai nha.

Câu 1: Cho f(x)=(x+5)^3. Tính f”(1).

• a. 36
• b. 6
• c. 15
• d. 30

Xem bài giải Giải: Ta có: f”(x)=((x+5)^3)”=6x+30 \Rightarrow f”(1)=6.1+30=36 Câu 2: Cho f(x)=x^5+6x-33. Tính f^{(4)}(-1).

• a. -60
• b. 120
• c. 60
• d. -120

Xem bài giải Giải: Ta có: f^{(4)}(x)=120x \Rightarrow f^{(4)}(-1)=120.(-1)=-120 Câu 3: Tìm đạo hàm cấp hai của hàm số y=sinx.

• a. cosx
• b. -sinx
• c. -cosx
• d. sinx

Xem bài giải Giải: Ta có: y”=(sinx)”=(cosx)’=-sinx Câu 4: Tìm đạo hàm cấp hai của hàm số y=tanx.

• a. \frac{2sinx.cosx}{cos^{4}x}
• b. \frac{-2sinx.cosx}{cos^{4}x}
• c. \frac{2sinx.cosx}{cos^{2}x}
• d. cotx

Xem bài giải Giải: Ta có: y”=(tanx)”=\left ( \frac{1}{cos^2 x} \right ) ‘=\frac{2sinx.cosx}{cos^{4}x} Câu 5: Tìm gia tốc tức thời của chuyển động có phương trình S(t)=7t^5-3t+2.

• a. -140t^3
• b. 140t
• c. 140t^2
• d. 140t^3

Xem bài giải Giải: Gia tốc tức thời của chuyển động là: a=S”(t)=(7t^5-3t+2)”=(35t^4-3)’=140t^3 Câu 6: Cho chuyển động có phương trình S(t)=2t^3-3t. Tính gia tốc tức thời tại thời điểm t=2 của chuyển động.

• a. 6
• b. 2
• c. 24
• d. 12

Xem bài giải Giải: Ta có: a=S”(t)=(2t^3-3t)”=(6t^2-3)’=12t Tại t=2 thì a=12.2=24

Trên đây HocThatGioi đã phân tích chi tiết về đạo hàm cấp hai của hàm số, hi vọng bài viết này sẽ giúp ích cho việc học tập của các bạn.Hãy đón xem các bài viết tiếp theo của HocThatGioi nhé, chúc các bạn mạnh khỏe và học tập tốt!

Bài viết khác liên quan đến Lớp 11 – Toán – Đạo hàm

• Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm cực chi tiết
• 15 bài tập vận dụng Định nghĩa và Ý nghĩa của Đạo hàm (có đáp án chi tiết)
• 30 bài tập trắc nghiệm vận dụng các quy tắc tính đạo hàm (có đáp án)
• Đạo hàm của hàm số lượng giác chi tiết, dễ hiểu
• Tổng hợp các công thức tính đạo hàm đầy đủ nhất
• Quy tắc tính đạo hàm cực chi tiết, dễ hiểu
• Đạo hàm của hàm số hợp chi tiết dễ hiểu nhất