Đạo Hàm Cấp N - 123doc

cho ta một hàm số mới.. và tiến hành dự đoán đạo hàm cấp n dựa trên logic.. * Bước 2: Chứng minh dự đoán bằng phương pháp quy nạp toán học.

Chủ đề: ĐẠO HÀM CẤP CAO

I- Lí THUYẾT:

/

( )

: ;

Cho hàm số: (1)

Giả sử hàm số có đạo hàm tại mọi Khi đó tương ứng:

y f x





/

/

( )

( ), ( )

( )

cho ta một hàm số mới Vì hàm số này xây dựng từ hàm số hoàn toàn xác định bởi hàm số đó nên được gọi là đạo hàm của hàm số

Tương tự, nếu hàm số: (2

y f x

y f x

y f x









   

)

có đạo hàm tại mọi điểm thì ta lập được đạo hàm của (2) theo cách trên gọi là đạo hàm cấp hai của và kí hiệu là:

x c d a b

* TỔNG QUÁT:

( -1) ( 1) ( )

( )

( ) Nếu hàm số có đạo hàm tại mọi điểm thì tương ứng:

cho ta đạo hàm của

n

n







( -1)n (n 1)( ), gọi là đạo hàm cấp của hàm số ( ) và kí hiệu là:

( )n ( )n ( )

y  f x

Như vậy:

/

y  f  x   n

II- THUẬT TOÁN XÁC ĐỊNH ĐẠO HÀM CẤP n CỦA HÀM SỐ:

* Bước 1: /, //, ///,

Tính y y y và tiến hành dự đoán đạo hàm cấp n dựa trên logic

* Bước 2: Chứng minh dự đoán bằng phương pháp quy nạp toán học

III- MỘT SỐ KẾT QUẢ VÀ VÍ DỤ CẦN LƯU í:

Bài tập 1: Chứng minh rằng:

a) ax n a nsin ax n p  b) cosax n a ncos ax n p 

Giải: Ta cú:

/

( )

2 sin

2

2

Giả sử (*) đúng đến , tức là: sin

Ta cần chứng minh (*) cũng đúng với , tức là: sin

p

p

p

 







Ta có: ax k  ax k   a ksin ax k p    a kcos ax k p     ax k p   

                       

1 1 1 ( 1)

a kcos ax k p  a ksin ax k p p  a k sin ax k p 

Chứng minh tương tự, ta được:  ( )

2 cosax n a ncos  ax n p 



Vớ dụ ỏp dụng: Tính y( )n , biết ysin 5 cos 2x x

Giải: Ta cú:

( )

1 sin 5 cos 2 sin 7 sin 3

2 1

Vớ dụ ỏp dụng: Cho y x2sin x Tính y(25)

Giải: áp dụng công thức Lai-bơ-nit (Leibnitz) Quy ước: u(0)  u

0

n

k

uv C u  v u v C u  v C u v  C u v



 

( ) 2

2

25.24

2

và chú ý rằng:

Ta được:

S

k

(25) 2 600 cos 50 sin

Vớ dụ ỏp dụng: Cho y (1 x2)cos x Tính y(2 )n

Giải: Ta có:

2 2

2 (2 1)

2

n

n

n n

p

p

p



Vậy:

n





Vớ dụ ỏp dụng: Cho y x x 0  Tính y(10)

Giải: Ta có:

 

/

/ /

//

2

3 2

4 3

(10)

10 9

1

; 2

1 1.3

2

1 3.5

2

1 1.3.5.7.9.11.13.15.17

2

1 17!!

2 Vậy:

y

x

x y

x

y

x x y

x x

y

x x y

x





               



 

 

 

  ; ở đây 17!! 1.3.5.7.9.11.13.15.17 x 0

Vớ dụ ỏp dụng: Cho ysin sin 2 sin 3 x x x Tính y(10)

Giải: Hướng dẫn: Phân tích thành tổng rồi tìm đạo hàm dần từng bậc

(10) 2 sin 28 2 sin 418 2 3 sin 6 8 10

Vớ dụ ỏp dụng: Cho y x.cos2 x Tính y(10)

Giải: áp dụng công thức Lai-bơ-nit (Leibnitz)

(10) 1024 2 5sin 2

Bài tập 2: Chứng minh rằng:

( )

1

( 1)

n

n

a n

Giải: Ta cú:

/

/

( )

1

Giả sử (**) đúng với tức là:

Ta cần chứng minh (**) cũng đúng với n=k+1, tức là chứng m

k

k

a

a k

n k



1

2

( 1)

inh:

k

k

a k





/

Thật vậy:

a k

a k



 

/ 1

1

1 1

2

( 1)

.( 1)!

( 1) (đ.p.cm)

k k

k

a k

ax b













 



,

(1 )

Tính y n biết y

x x





Giải: Ta cú:

( )

!

Suy ra:

n

y

Cho hàm số: x

y

x x





 

( )

a) Tìm A, B sao cho có thể viết dưới dạng:

b) Từ đó, hãy tính n

y

Giải: Ta cú:

2

a) Sử dụng phương pháp đồng nhất thức, ta được:

A B) (2A B)

x

 

2

( )

5

( 1) !

Vậy ta có hệ sau sau để xác định A, B:

7 Vậy:

7

x

x x

 

Lưu ý: Trong toàn bộ các bài giải trên, chúng tôi dành phần chứng minh bằng phương pháp

quy nạp cho độc giả

IV- MỘT SỐ BÀI TẬP TỰ LUYỆN:

2

3 2

Tính đạo hàm cấp của các hàm số sau:

a) b) cos c d) cos e) f) g)

n

x

x x



sin

2 h) 1

y