Đạo Hàm Của Hàm đa Thức, Hữu Tỉ, Căn Thức Và Hàm Hợp - Ehoidap

Dạng toán đạo hàm của hàm đa thức, hữu tỉ, … là những kiến thức cơ bản hay gặp trong chương đạo hàm. Để tính các dạng toán này chúng ta nên sử dụng bảng công thức đạo hàm, hay quy tắc đạo hàm cần nhớ.

Mục lục

Toggle

• Cơ sở lý thuyết
• Bài tập vận dụng

Cơ sở lý thuyết

• Sử dụng các quy tắc, công thức tính đạo hàm trong phần lý thuyết.
• Nhận biết và tính đạo hàm của hàm số hợp, hàm số có nhiều biểu thức.
• Sử dụng đạo hàm để giải phương trình, bất phương trình, chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức..

Bài tập vận dụng

Ví dụ 1. Đạo hàm của hàm số \(y = \frac{{2x + 1}}{{x + 2}}\) bằng biểu thức có dạng \(\frac{a}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}.\) Khi đó \(a\) nhận giá trị nào sau đây:

A. \(a = – 3\).

B. \(a = 5\).

C. \(a = 3\).

D. \(a = – 5\).

Lời giải

Đáp án C.

\(\begin{array}{l}y’ = \frac{{{{\left( {2x + 1} \right)}^\prime }\left( {x + 2} \right) – \left( {2x + 1} \right){{\left( {x + 2} \right)}^\prime }}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}\\ = \frac{3}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}\\ \Rightarrow a = 3.\end{array}\)

STUDY TIP

\({\left( {\frac{{ax + b}}{{cx + d}}} \right)^\prime } = \frac{{ad – bc}}{{{{\left( {cx + d} \right)}^2}}}\) với \(c \ne 0\)và \(ad – bc \ne 0\)

Ví dụ 2. Đạo hàm của hàm số \(y = \frac{{{x^2} – x + 1}}{{x – 1}}\) bằng biểu thức có dạng \(\frac{{a{x^2} + bx}}{{{{\left( {x – 1} \right)}^2}}}.\) Khi đó \(a.b\) bằng:

A. \(a.b = – 2\).

B. \(a.b = – 1\).

C. \(a.b = 3\).

D. \(a.b = 4\).

Lời giải

Đáp án A.

Cách 1:

\(\begin{array}{l}y’ = \frac{{\left( {2x – 1} \right)\left( {x – 1} \right) – \left( {{x^2} – x + 1} \right)}}{{{{\left( {x – 1} \right)}^2}}}\\ = \frac{{{x^2} – 2x}}{{{{\left( {x – 1} \right)}^2}}}\\ \Rightarrow a.b = – 2.\end{array}\)

Cách 2:

\(\begin{array}{l}y = x + \frac{1}{{x – 1}}\\ \Rightarrow y’ = 1 – \frac{1}{{{{\left( {x – 1} \right)}^2}}} = \frac{{{x^2} – 2x}}{{{{\left( {x – 1} \right)}^2}}}\end{array}\)

STUDY TIP

Với \(a.a’ \ne 0\) ta có \({\left( {\frac{{a{x^2} + bx + c}}{{a’x + b’}}} \right)^\prime } = \frac{{aa'{x^2} + 2ab’x + bb’ – ac’}}{{{{\left( {a’x + b’} \right)}^2}}}\)

Ví dụ 3. Đạo hàm của hàm số \(y = \frac{{{x^2} + x + 3}}{{{x^2} + x – 1}}\) bằng biểu thức có dạng \(\frac{{ax + b}}{{{{\left( {{x^2} + x – 1} \right)}^2}}}.\) Khi đó \(a + b\) bằng:

A. \(a + b = 4\).

B. \(a + b = 5\).

C. \(a + b = – 10\).

D. \(a + b = – 12\).

Lời giải

Đáp án D.

Cách 1:

$\begin{array}{l}y = \frac{{{x^2} + x – 1 + 4}}{{{x^2} + x – 1}} = 1 + \frac{4}{{{x^2} + x – 1}}\\ \Rightarrow y’ = \frac{{ – 4\left( {2x + 1} \right)}}{{{{\left( {{x^2} + x – 1} \right)}^2}}} = – \frac{{8x + 4}}{{{{\left( {{x^2} + x – 1} \right)}^2}}}\end{array}$

Cách 2: Áp dụng \({\left( {\frac{u}{v}} \right)^\prime } = \frac{{u’v – uv’}}{{{v^2}}}\)

$\begin{array}{l}y’ = \frac{{\left( {2x + 1} \right)\left( {{x^2} + x – 1} \right) – \left( {{x^2} + x + 3} \right)\left( {2x + 1} \right)}}{{{{\left( {{x^2} + x – 1} \right)}^2}}}\\ = \frac{{ – 8x – 4}}{{{{\left( {{x^2} + x – 1} \right)}^2}}}\\ \Rightarrow a + b = – 12\end{array}$

STUDY TIP

\({\left( {\frac{{a{x^2} + bx + c}}{{{a_1}{x^2} + {b_1}x + {c_1}}}} \right)^\prime } = \frac{{\left| {\begin{array}{*{20}{c}}a&b\\{{a_1}}&{{b_1}}\end{array}} \right|{x^2} + 2\left| {\begin{array}{*{20}{c}}a&c\\{{a_1}}&{{c_1}}\end{array}} \right|x + \left| {\begin{array}{*{20}{c}}b&c\\{{b_1}}&{{c_1}}\end{array}} \right|}}{{{{\left( {{a_1}{x^2} + {b_1}x + {c_1}} \right)}^2}}}\)

Ví dụ 4. Đạo hàm của hàm số \(y = a{x^2} + \left( {a – 1} \right)x + {a^3} – {a^2}\) (với a là hằng số) tại mọi \(x \in \mathbb{R}\) là:

A. \(2x + a – 1\).

B. \(2ax + 1 – a\).

C. \(2ax + 3{a^2} – 2a + 1\).

D. \(2ax + a – 1\).

Lời giải

Đáp án D. \(y’ = 2ax + a – 1\)

STUDY TIP

Với c là hằng số thì \({\left( c \right)^\prime } = 0\)

$\begin{array}{l}{\left( {c.u} \right)^\prime } = c.u’\\{\left( {{x^n}} \right)^\prime } = n{x^{n – 1}},n \in {N^*}\end{array}$

Ví dụ 5. Đạo hàm của hàm số \(y = \left( {{x^2} + 1} \right)\left( {5 – 3{x^2}} \right)\) bằng biểu thức có dạng \(a{x^3} + bx\). Khi đó \(T = \frac{a}{b}\) bằng: A. 1. B. – 2.

C. – 3.

D. 4.

Lời giải

Đáp án D.

\(\begin{array}{l}y’ = {\left( {{x^2} + 1} \right)^\prime }\left( {5 – 3{x^2}} \right) + \left( {{x^2} + 1} \right){\left( {5 – 3{x^2}} \right)^\prime }\\ = 2x\left( {5 – 3{x^2}} \right) + \left( {{x^2} + 1} \right)\left( { – 6x} \right)\\ = – 12{x^3} + 4x\end{array}\)

STUDY TIP

Với \(u = u\left( x \right),v = v\left( x \right):\)${\left( {uv} \right)^\prime } = u’v + uv’$

Ví dụ 6. Cho hàm số $f\left( x \right) = x + \sqrt {{x^2} + 1} $. Tập các giá trị của x để 2x.f’(x) – f(x) ≥ 0 là: A. \(\left[ {\frac{1}{{\sqrt 3 }}; + \infty } \right)\). B. \(\left( {\frac{1}{{\sqrt 3 }}; + \infty } \right)\). C. \(\left( { – \infty ;\frac{1}{{\sqrt 3 }}} \right)\). D. \(\left[ {\frac{2}{{\sqrt 3 }}; + \infty } \right)\).

Lời giải

Đáp án A.

$\begin{array}{l}f’\left( x \right) = 1 + \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 1} }} = \frac{{f\left( x \right)}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}\\ \Rightarrow 2x.f’\left( x \right) – f\left( x \right) \ge 0\\ \Leftrightarrow 2x.\frac{{f\left( x \right)}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }} – f\left( x \right) \ge 0\\ \Leftrightarrow 2x \ge \sqrt {{x^2} + 1} \,\,\,\left( {do\,\,\,f\left( x \right) > x + \sqrt {{x^2}} = x + \left| x \right| \ge 0} \right)\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\3{x^2} \ge 1\end{array} \right. \Leftrightarrow x \ge \frac{1}{{\sqrt 3 }}\end{array}$

Vậy \(x \in \left[ {\frac{1}{{\sqrt 3 }}; + \infty } \right)\)

STUDY TIP

\(\begin{array}{l} \bullet \left| x \right| \ge x \Rightarrow \left| x \right| + x \ge 0\\ \bullet \sqrt {f\left( x \right)} \le \sqrt {g\left( x \right)} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}f\left( x \right) \ge 0,g\left( x \right) \ge 0\\f\left( x \right) \le g\left( x \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Trên đây là bài viết về vận dụng bảng đạo hàm để tính các hàm cơ bản. Mọi thắc mắc vui lòng để lại dưới phần bình luận