Đạo Hàm Của Hàm Số Logarit Là Bằng Chứng. Đạo Hàm Hàm

Trang Chủ › Tóm lược Đạo hàm của hàm số logarit là bằng chứng. Đạo hàm hàm

Sau đây là bảng tổng hợp để các bạn tiện theo dõi và rõ ràng khi nghiên cứu đề tài.

Liên tụcy = C Hàm lũy thừa y = x p (x p) "= p x p - 1	Hàm số mũy = x (a x) "= a x ln a Đặc biệt, khia = echúng ta có y = e x (e x) "= e x
hàm logarit (log a x) "= 1 x ln a Đặc biệt, khia = echúng ta có y = log x (ln x) "= 1 x	Hàm lượng giác (sin x) "= cos x (cos x)" = - sin x (t g x) "= 1 cos 2 x (c t g x)" = - 1 sin 2 x
Hàm lượng giác nghịch đảo (a r c sin x) "= 1 1 - x 2 (a r c cos x)" = - 1 1 - x 2 (a r c t g x) "= 1 1 + x 2 (a r c c t g x)" = - 1 1 + x 2	Hàm hyperbolic (s h x) "= c h x (c h x)" = s h x (t h x) "= 1 c h 2 x (c t h x)" = - 1 s h 2 x

Chúng ta hãy phân tích cách thu được các công thức của bảng đã chỉ ra, hay nói cách khác, chúng ta sẽ chứng minh tính suy ra các công thức về đạo hàm cho từng loại hàm số.

Đạo hàm của một hằng số

Bằng chứng 1

Để suy ra công thức này, chúng ta lấy làm cơ sở định nghĩa đạo hàm của một hàm tại một điểm. Chúng tôi sử dụng x 0 = x, trong đó x nhận giá trị của bất kỳ số thực nào, hay nói cách khác, x là một số bất kỳ thuộc miền của hàm f (x) = C. Hãy viết giới hạn của tỷ số giữa số gia của hàm với số gia của đối số là ∆ x → 0:

lim ∆ x → 0 ∆ f (x) ∆ x = lim ∆ x → 0 C - C ∆ x = lim ∆ x → 0 0 ∆ x = 0

Hãy lưu ý rằng biểu thức 0 ∆ x nằm dưới dấu giới hạn. Nó không phải là độ không đảm bảo của "số không chia cho số không", vì tử số không chứa giá trị thập phân nhỏ mà là số không. Nói cách khác, số gia của một hàm hằng luôn bằng không.

Vì vậy, đạo hàm của hàm hằng f (x) = C bằng 0 trên toàn bộ miền định nghĩa.

ví dụ 1

Cho các hàm hằng số:

f 1 (x) = 3, f 2 (x) = a, a ∈ R, f 3 (x) = 4. 13 7 22, f 4 (x) = 0, f 5 (x) = - 8 7

Quyết định

Hãy để chúng tôi mô tả các điều kiện đã cho. Trong hàm số đầu tiên chúng ta thấy đạo hàm của số tự nhiên là 3. Trong ví dụ sau, bạn cần lấy đạo hàm của một, ở đâu một- bất kỳ số thực nào. Ví dụ thứ ba cho chúng ta đạo hàm của số vô tỉ 4. 13 7 22, bậc 4 - đạo hàm của 0 (0 là một số nguyên). Cuối cùng, trong trường hợp thứ năm, chúng ta có đạo hàm của phân số hữu tỉ - 8 7.

Trả lời: các đạo hàm của các hàm đã cho bằng 0 đối với bất kỳ thực x(trên toàn bộ miền định nghĩa)

f 1 "(x) = (3)" = 0, f 2 "(x) = (a)" = 0, a ∈ R, f 3 "(x) = 4. 13 7 22" = 0, f 4 "(x) = 0" = 0, f 5 "(x) = - 8 7" = 0

Đạo hàm hàm lũy thừa

Chúng ta chuyển sang hàm lũy thừa và công thức đạo hàm của nó, có dạng: (x p) "= p x p - 1, trong đó số mũ P là bất kỳ số thực nào.

Bằng chứng 2

Đây là bằng chứng của công thức khi số mũ là một số tự nhiên: p = 1, 2, 3,…

Một lần nữa, chúng ta dựa vào định nghĩa của đạo hàm. Hãy viết giới hạn của tỷ lệ số gia của hàm lũy thừa với số gia của đối số:

(x p) "= lim ∆ x → 0 = ∆ (x p) ∆ x = lim ∆ x → 0 (x + ∆ x) p - x p ∆ x

Để đơn giản hóa biểu thức ở tử số, chúng ta sử dụng công thức nhị thức Newton:

(x + ∆ x) p - x p = C p 0 + x p + C p 1 x p - 1 ∆ x + C p 2 x p - 2 (∆ x) 2 +. . . + + C p p - 1 x (∆ x) p - 1 + C p p (∆ x) p - x p = = C p 1 x p - 1 ∆ x + C p 2 x p - 2 (∆ x) 2 +. . . + C p p - 1 x (∆ x) p - 1 + C p p (∆ x) p

Như vậy:

(x p) "= lim ∆ x → 0 ∆ (x p) ∆ x = lim ∆ x → 0 (x + ∆ x) p - x p ∆ x = = lim ∆ x → 0 (C p 1 x p - 1 ∆ x + C p 2 x p - 2 (∆ x) 2 + ... + C p p - 1 x (∆ x) p - 1 + C p p (∆ x) p) ∆ x = = lim ∆ x → 0 (C p 1 x p - 1 + C p 2 x p - 2 ∆ x + ... + C p p - 1 x (∆ x) p - 2 + C p p (∆ x) p - 1) = = C p 1 x p - 1 + 0 + 0 +... + 0 = p! 1! (P - 1)! X p - 1 = p x p - 1

Vì vậy, chúng tôi đã chứng minh công thức cho đạo hàm của một hàm lũy thừa khi số mũ là một số tự nhiên.

Bằng chứng 3

Để đưa ra bằng chứng cho trường hợp khi P- Bất kỳ số thực nào khác 0, chúng ta sử dụng đạo hàm lôgarit (ở đây chúng ta nên hiểu sự khác biệt với đạo hàm của hàm số lôgarit). Để có một sự hiểu biết đầy đủ hơn, chúng ta nên nghiên cứu đạo hàm của hàm số lôgarit và giải quyết thêm về đạo hàm của một hàm số đã cho ngầm định và đạo hàm của một hàm số phức.

Hãy xem xét hai trường hợp: khi x tích cực và khi nào x là tiêu cực.

Vậy x> 0. Khi đó: x p> 0. Chúng tôi lấy lôgarit của đẳng thức y \ u003d x p cho cơ số e và áp dụng tính chất của lôgarit:

y = x p ln y = ln x p ln y = p ln x

Ở giai đoạn này, một hàm được xác định ngầm đã được thu được. Hãy xác định đạo hàm của nó:

(ln y) "= (p ln x) 1 y y" = p 1 x ⇒ y "= p y x = p x p x = p x p - 1

Bây giờ chúng ta xem xét trường hợp khi x- một số âm.

Nếu chỉ số P là một số chẵn, thì hàm lũy thừa cũng được xác định cho x< 0 , причем является четной: y (x) = - y ((- x) p) " = - p · (- x) p - 1 · (- x) " = = p · (- x) p - 1 = p · x p - 1

Sau đó xp< 0 и возможно составить доказательство, используя логарифмическую производную.

Nếu một P là một số lẻ, thì hàm lũy thừa được xác định cho x< 0 , причем является нечетной: y (x) = - y (- x) = - (- x) p . Тогда x p < 0 , а значит логарифмическую производную задействовать нельзя. В такой ситуации возможно взять за основу доказательства правила дифференцирования и правило нахождения производной сложной функции:

y "(x) \ u003d (- (- x) p)" \ u003d - ((- x) p) "\ u003d - p (- x) p - 1 (- x)" = \ u003d p (- x ) p - 1 = p x p - 1

Quá trình chuyển đổi cuối cùng có thể thực hiện được vì nếu P là một số lẻ, sau đó p - 1 do đó hoặc là số chẵn hoặc số 0 (đối với p = 1) đối với âm xđẳng thức (- x) p - 1 = x p - 1 là đúng.

Vì vậy, chúng tôi đã chứng minh công thức cho đạo hàm của một hàm lũy thừa với bất kỳ p thực nào.

Ví dụ 2

Các chức năng đã cho:

f 1 (x) = 1 x 2 3, f 2 (x) = x 2 - 1 4, f 3 (x) = 1 x log 7 12

Xác định các dẫn xuất của chúng.

Quyết định

Chúng tôi biến đổi một phần của các hàm đã cho thành dạng bảng y = x p, dựa trên các thuộc tính của bậc, và sau đó sử dụng công thức:

f 1 (x) \ u003d 1 x 2 3 \ u003d x - 2 3 ⇒ f 1 "(x) \ u003d - 2 3 x - 2 3 - 1 \ u003d - 2 3 x - 5 3 f 2" (x) \ u003d x 2 - 1 4 = 2 - 1 4 x 2 - 1 4 - 1 = 2 - 1 4 x 2 - 5 4 f 3 (x) = 1 x log 7 12 = x - log 7 12 ⇒ f 3 " (x) = - log 7 12 x - log 7 12 - 1 = - log 7 12 x - log 7 12 - log 7 7 = - log 7 12 x - log 7 84

Đạo hàm của hàm số mũ

Bằng chứng 4

Chúng tôi suy ra công thức cho đạo hàm, dựa trên định nghĩa:

(a x) "= lim ∆ x → 0 a x + ∆ x - a x ∆ x = lim ∆ x → 0 a x (a ∆ x - 1) ∆ x = a x lim ∆ x → 0 a ∆ x - 1 ∆ x = 0 0

Chúng tôi không chắc chắn. Để mở rộng nó, chúng ta viết một biến mới z = a ∆ x - 1 (z → 0 là ∆ x → 0). Trong trường hợp này a ∆ x = z + 1 ⇒ ∆ x = log a (z + 1) = ln (z + 1) ln a. Đối với lần chuyển cuối cùng, công thức chuyển sang cơ số mới của lôgarit được sử dụng.

Hãy thực hiện thay thế trong giới hạn ban đầu:

(a x) "= a x lim ∆ x → 0 a ∆ x - 1 ∆ x = a x ln a lim ∆ x → 0 1 1 z ln (z + 1) = = a x ln a lim ∆ x → 0 1 ln (z + 1) 1 z = a x ln a 1 ln lim ∆ x → 0 (z + 1) 1 z

Nhớ lại giới hạn tuyệt vời thứ hai và sau đó chúng ta nhận được công thức cho đạo hàm của hàm số mũ:

(a x) "= a x ln a 1 ln lim z → 0 (z + 1) 1 z = a x ln a 1 ln e = a x ln a

Ví dụ 3

Các hàm mũ được đưa ra:

f 1 (x) = 2 3 x, f 2 (x) = 5 3 x, f 3 (x) = 1 (e) x

Chúng ta cần tìm các dẫn xuất của chúng.

Quyết định

Chúng tôi sử dụng công thức tính đạo hàm của hàm số mũ và các tính chất của lôgarit:

f 1 "(x) = 2 3 x" = 2 3 x ln 2 3 = 2 3 x (ln 2 - ln 3) f 2 "(x) = 5 3 x" = 5 3 x ln 5 1 3 = 1 3 5 3 x ln 5 f 3 "(x) = 1 (e) x" = 1 e x "= 1 e x ln 1 e = 1 e x ln e - 1 = - 1 e x

Đạo hàm của một hàm số lôgarit

Bằng chứng 5

Chúng tôi trình bày cách chứng minh công thức tính đạo hàm của hàm số logarit cho bất kỳ x trong miền định nghĩa và bất kỳ giá trị hợp lệ nào của cơ số a của lôgarit. Dựa vào định nghĩa của đạo hàm, ta nhận được:

(log a x) "= lim ∆ x → 0 log a (x + ∆ x) - log a x ∆ x = lim ∆ x → 0 log a x + ∆ x x ∆ x = = lim ∆ x → 0 1 ∆ x log a 1 + ∆ x x = lim ∆ x → 0 log a 1 + ∆ x x 1 ∆ x = = lim ∆ x → 0 log a 1 + ∆ x x 1 ∆ x x x = lim ∆ x → 0 1 x log a 1 + ∆ x x x ∆ x = = 1 x log a lim ∆ x → 0 1 + ∆ x x x ∆ x = 1 x log a e = 1 x ln e ln a = 1 x ln a

Có thể thấy từ chuỗi bằng nhau xác định rằng các phép biến đổi được xây dựng trên cơ sở tính chất lôgarit. Đẳng thức lim ∆ x → 0 1 + ∆ x x x ∆ x = e là đúng theo giới hạn đáng chú ý thứ hai.

Ví dụ 4

Các hàm lôgarit được đưa ra:

f 1 (x) = log log 3 x, f 2 (x) = log x

Nó là cần thiết để tính toán các dẫn xuất của chúng.

Quyết định

Hãy áp dụng công thức dẫn xuất:

f 1 "(x) = (log ln 3 x)" = 1 x ln (ln 3); f 2 "(x) \ u003d (ln x)" \ u003d 1 x ln e \ u003d 1 x

Vì vậy, đạo hàm của lôgarit tự nhiên là một chia cho x.

Đạo hàm của hàm lượng giác

Bằng chứng 6

Chúng tôi sử dụng một số công thức lượng giác và giới hạn tuyệt vời đầu tiên để suy ra công thức tính đạo hàm của một hàm số lượng giác.

Theo định nghĩa của đạo hàm của hàm sin, chúng ta nhận được:

(sin x) "= lim ∆ x → 0 sin (x + ∆ x) - sin x ∆ x

Công thức cho sự khác biệt của các sines sẽ cho phép chúng tôi thực hiện các hành động sau:

(sin x) "= lim ∆ x → 0 sin (x + ∆ x) - sin x ∆ x = = lim ∆ x → 0 2 sin x + ∆ x - x 2 cos x + ∆ x + x 2 ∆ x = = lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 cos x + ∆ x 2 ∆ x 2 = = cos x + 0 2 lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 ∆ x 2

Cuối cùng, chúng tôi sử dụng giới hạn tuyệt vời đầu tiên:

sin "x = cos x + 0 2 lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 ∆ x 2 = cos x

Vậy đạo hàm của hàm tội lỗi x sẽ cos x.

Chúng ta cũng sẽ chứng minh công thức của đạo hàm cosin theo cách tương tự:

cos "x = lim ∆ x → 0 cos (x + ∆ x) - cos x ∆ x = = lim ∆ x → 0 - 2 sin x + ∆ x - x 2 sin x + ∆ x + x 2 ∆ x = = - lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 sin x + ∆ x 2 ∆ x 2 = = - sin x + 0 2 lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 ∆ x 2 = - sin x

Những thứ kia. đạo hàm của hàm cos x sẽ là - sin x.

Chúng tôi suy ra các công thức về đạo hàm của tiếp tuyến và cotang dựa trên các quy tắc phân biệt:

t g "x = sin x cos x" = sin "x cos x - sin x cos" x cos 2 x = = cos x cos x - sin x (- sin x) cos 2 x = sin 2 x + cos 2 x cos 2 x = 1 cos 2 x c t g "x = cos x sin x" = cos "x sin x - cos x sin" x sin 2 x = = - sin x sin x - cos x cos x sin 2 x = - sin 2 x + cos 2 x sin 2 x = - 1 sin 2 x

Đạo hàm của hàm lượng giác ngược

Phần về đạo hàm của hàm ngược cung cấp thông tin toàn diện về cách chứng minh các công thức cho đạo hàm của arcsine, arccosine, arctang và arccotang, vì vậy chúng tôi sẽ không trùng lặp tài liệu ở đây.

Đạo hàm của hàm hypebolic

Bằng chứng 7

Chúng ta có thể tính được các công thức về đạo hàm của hypebolic sin, cosin, tiếp tuyến và cotang bằng cách sử dụng quy tắc phân biệt và công thức tính đạo hàm của hàm số mũ:

s h "x = e x - e - x 2" = 1 2 e x "- e - x" == 1 2 e x - - e - x = e x + e - x 2 = c h x c h "x = e x + e - x 2" = 1 2 e x "+ e - x" == 1 2 e x + - e - x = e x - e - x 2 = s h x t h "x = s h x c h x" = s h "x c h x - s h x c h" x c h 2 x = c h 2 x - s h 2 x c h 2 x = 1 c h 2 x c t h "x = c h x s h x" = c h "x s h x - c h x s h" x s h 2 x = s h 2 x - c h 2 x s h 2 x = - 1 s h 2 x

Nếu bạn nhận thấy lỗi trong văn bản, vui lòng đánh dấu nó và nhấn Ctrl + Enter

Chứng minh và rút ra các công thức về đạo hàm của cấp số nhân (e thành lũy thừa của x) và hàm số mũ (a với lũy thừa của x). Ví dụ về tính đạo hàm của e ^ 2x, e ^ 3x và e ^ nx. Công thức cho các dẫn xuất của đơn đặt hàng cao hơn.

Các nội dung

Xem thêm: Hàm số mũ - thuộc tính, công thức, đồ thị Số mũ, e thành lũy thừa của x - thuộc tính, công thức, đồ thị

Công thức cơ bản

Đạo hàm của số mũ bằng chính số mũ (đạo hàm của e theo lũy thừa của x bằng e với lũy thừa của x):(1) (e x) ′ = e x.

Đạo hàm của hàm số mũ có cơ số a bằng chính hàm số đó, nhân với logarit tự nhiên của a:(2) .

Số mũ là một hàm số mũ có cơ số mũ bằng số e, giới hạn nào sau đây: . Ở đây nó có thể là một số tự nhiên hoặc một số thực. Tiếp theo, chúng ta suy ra công thức (1) cho đạo hàm của số mũ.

Suy ra công thức tính đạo hàm của số mũ

Xét số mũ, e thành lũy thừa của x: y = e x. Chức năng này được xác định cho tất cả. Hãy tìm đạo hàm của nó đối với x. Theo định nghĩa, đạo hàm là giới hạn sau: (3) .

Hãy biến đổi biểu thức này để giảm nó thành các tính chất và quy tắc toán học đã biết. Đối với điều này, chúng tôi cần các dữ kiện sau: NHƯNG) Thuộc tính lũy thừa: (4) ; B) Thuộc tính lôgarit: (5) ; TẠI) Tính liên tục của lôgarit và tính chất của giới hạn cho một hàm liên tục: (6) . Đây, là một số hàm có giới hạn và giới hạn này là dương. G)Ý nghĩa của giới hạn tuyệt vời thứ hai: (7) .

Chúng tôi áp dụng những dữ kiện này vào giới hạn của chúng tôi (3). Chúng tôi sử dụng thuộc tính (4): ; .

Hãy thay người. Sau đó ; . Do tính liên tục của số mũ, . Do đó, tại,. Kết quả là, chúng tôi nhận được: .

Hãy thay người. Sau đó . Tại , . Và chúng ta có: .

Chúng tôi áp dụng tính chất của lôgarit (5): . sau đó .

Hãy để chúng tôi áp dụng tài sản (6). Vì có giới hạn dương và lôgarit là liên tục nên: . Ở đây chúng tôi cũng đã sử dụng giới hạn đáng chú ý thứ hai (7). sau đó .

Như vậy, chúng ta đã có được công thức (1) cho đạo hàm của số mũ.

Suy ra công thức tính đạo hàm của hàm số mũ

Bây giờ ta suy ra công thức (2) cho đạo hàm của hàm số mũ với cơ số là a. Chúng tôi tin rằng và. Khi đó, hàm mũ (8) Được xác định cho tất cả mọi người.

Hãy biến đổi công thức (8). Để làm điều này, chúng tôi sử dụng các tính chất của hàm số mũ và lôgarit. ; . Vì vậy, chúng tôi đã biến đổi công thức (8) thành dạng sau: .

Đạo hàm bậc cao của e với lũy thừa của x

Bây giờ chúng ta hãy tìm các dẫn xuất của các lệnh cao hơn. Trước tiên hãy nhìn vào số mũ: (14) . (1) .

Ta thấy rằng đạo hàm của hàm số (14) bằng chính hàm số (14). Phân biệt (1), chúng ta thu được các đạo hàm bậc hai và bậc ba: ; .

Điều này cho thấy rằng đạo hàm bậc n cũng bằng hàm ban đầu: .

Đạo hàm bậc cao của hàm mũ

Bây giờ hãy xem xét một hàm số mũ với cơ số là a: . Chúng tôi đã tìm thấy phái sinh bậc nhất của nó: (15) .

Phân biệt (15), chúng ta thu được các dẫn xuất bậc hai và bậc ba: ; .

Chúng ta thấy rằng mỗi sự khác biệt dẫn đến nhân của nguyên hàm với. Do đó, đạo hàm cấp n có dạng sau: .

Xem thêm: dẫn xuất phức tạp. Đạo hàm lôgarit. Đạo hàm của hàm số mũ

Chúng tôi tiếp tục cải thiện kỹ thuật khác biệt hóa của mình. Trong bài học này, chúng ta sẽ củng cố tài liệu đã học, xem xét các đạo hàm phức tạp hơn, đồng thời làm quen với các thủ thuật và thủ thuật mới để tìm đạo hàm, cụ thể là với đạo hàm logarit.

Những độc giả nào có trình độ chuẩn bị thấp thì tham khảo bài viết Làm thế nào để tìm đạo hàm? Ví dụ giải phápđiều này sẽ cho phép bạn nâng cao kỹ năng của mình gần như từ đầu. Tiếp theo, bạn cần nghiên cứu kỹ trang Đạo hàm của một hàm hợp chất, hiểu và giải quyết tất cả các những ví dụ tôi đã đưa ra. Bài này về mặt logic là bài thứ ba liên tiếp, và sau khi thành thạo, bạn sẽ tự tin phân biệt các hàm khá phức tạp. Không mong muốn gắn bó với vị trí “Còn đâu nữa? Vâng, và thế là đủ! ”, Vì tất cả các ví dụ và giải pháp đều được lấy từ các bài kiểm tra thực tế và thường được tìm thấy trong thực tế.

Hãy bắt đầu với sự lặp lại. Vào bài học Đạo hàm của một hàm hợp chất chúng tôi đã xem xét một số ví dụ với nhận xét chi tiết. Trong quá trình nghiên cứu phép tính vi phân và các phần khác của giải tích toán học, bạn sẽ phải phân biệt rất thường xuyên, và không phải lúc nào cũng thuận tiện (và không phải lúc nào cũng cần thiết) để vẽ các ví dụ thật chi tiết. Vì vậy, chúng tôi sẽ thực hành trong việc tìm kiếm các dẫn xuất bằng miệng. Các "ứng cử viên" phù hợp nhất cho điều này là các dẫn xuất của hàm phức hợp đơn giản nhất, ví dụ:

Theo quy luật phân hóa của một hàm phức :

Khi nghiên cứu các chủ đề matan khác trong tương lai, một bản ghi chi tiết như vậy thường không được yêu cầu, người ta giả định rằng học sinh có thể tìm thấy các dẫn xuất tương tự trên xe lái tự động. Hãy tưởng tượng rằng vào lúc 3 giờ sáng, điện thoại reo, và một giọng nói dễ chịu hỏi: "Đạo hàm của tiếp tuyến của hai x là gì?". Tiếp theo điều này là một phản ứng gần như tức thời và lịch sự: .

Ví dụ đầu tiên sẽ ngay lập tức dành cho một giải pháp độc lập.

ví dụ 1

Tìm các dẫn xuất sau bằng miệng, trong một bước, ví dụ:. Để hoàn thành nhiệm vụ, bạn chỉ cần sử dụng bảng đạo hàm của các hàm sơ cấp(nếu cô ấy chưa nhớ). Nếu gặp khó khăn, tôi khuyên bạn nên đọc lại bài học Đạo hàm của một hàm hợp chất.

, , , , , , , , ,

, , ,

, , ,

, , ,

, ,

Đáp án cuối bài

Các dẫn xuất phức tạp

Sau khi chuẩn bị pháo sơ bộ, các ví dụ có 3-4-5 phần đính kèm của các chức năng sẽ ít đáng sợ hơn. Có lẽ hai ví dụ sau sẽ có vẻ phức tạp đối với một số người, nhưng nếu chúng được hiểu (ai đó mắc phải), thì hầu hết mọi thứ khác trong phép tính vi phân sẽ giống như một trò đùa của trẻ con.

Ví dụ 2

Tìm đạo hàm của một hàm số

Như đã nói, khi tìm đạo hàm của một hàm số phức, trước hết, cần đúng TÌM HIỂU CÁC KHOẢN ĐẦU TƯ. Trong trường hợp có nghi ngờ, tôi xin nhắc bạn một mẹo hữu ích: chúng tôi lấy giá trị thực nghiệm "x", chẳng hạn và thử (tính nhẩm hoặc trên bản nháp) để thay thế giá trị này thành "biểu thức khủng khiếp".

1) Đầu tiên chúng ta cần tính toán biểu thức, vì vậy tổng là lồng sâu nhất.

2) Sau đó, bạn cần tính logarit:

4) Sau đó lập phương cosine:

5) Ở bước thứ năm, sự khác biệt:

6) Và cuối cùng, hàm ngoài cùng là căn bậc hai:

Công thức phân biệt hàm phức hợp được áp dụng theo thứ tự ngược lại, từ chức năng ngoài cùng đến chức năng trong cùng. Chúng tôi quyết định:

Có vẻ như không có lỗi ...

(1) Ta lấy đạo hàm của căn bậc hai.

(2) Chúng tôi lấy đạo hàm của sự khác biệt bằng cách sử dụng quy tắc

(3) Đạo hàm của cấp ba bằng không. Trong số hạng thứ hai, chúng ta lấy đạo hàm của cấp (lập phương).

(4) Ta lấy đạo hàm của cosin.

(5) Ta lấy đạo hàm của lôgarit.

(6) Cuối cùng, chúng tôi lấy đạo hàm của tổ sâu nhất.

Nó có vẻ quá khó, nhưng đây không phải là ví dụ tàn bạo nhất. Lấy ví dụ, bộ sưu tập của Kuznetsov và bạn sẽ đánh giá cao tất cả sự quyến rũ và đơn giản của đạo hàm được phân tích. Tôi nhận thấy rằng họ thích đưa ra một điều tương tự trong kỳ thi để kiểm tra xem học sinh có hiểu cách tìm đạo hàm của một hàm số phức hay không, hay không hiểu.

Ví dụ sau đây là một giải pháp độc lập.

Ví dụ 3

Tìm đạo hàm của một hàm số

Gợi ý: Đầu tiên chúng ta áp dụng quy tắc tuyến tính và quy tắc khác biệt của sản phẩm

Có đầy đủ lời giải và đáp án cuối bài.

Đã đến lúc chuyển sang một thứ gì đó nhỏ gọn hơn và đẹp hơn. Không hiếm trường hợp sản phẩm của không phải hai mà là ba chức năng được đưa ra trong một ví dụ. Làm thế nào để tìm đạo hàm của tích của ba thừa số?

Ví dụ 4

Tìm đạo hàm của một hàm số

Đầu tiên, chúng ta xem xét, nhưng liệu có thể biến tích của ba chức năng thành tích của hai chức năng không? Ví dụ: nếu chúng ta có hai đa thức trong tích, thì chúng ta có thể mở dấu ngoặc. Nhưng trong ví dụ này, tất cả các hàm đều khác nhau: bậc, số mũ và logarit.

Trong những trường hợp như vậy, nó là cần thiết liên tiếpáp dụng quy tắc phân biệt sản phẩm hai lần

Bí quyết là đối với "y", chúng ta biểu thị tích của hai hàm: và đối với "ve" - ​​logarit:. Tại sao điều này có thể được thực hiện? Là nó - đây không phải là sản phẩm của hai yếu tố và quy tắc không hoạt động?! Không có gì phức tạp:

Bây giờ nó vẫn tiếp tục áp dụng quy tắc lần thứ hai để ngoặc:

Bạn vẫn có thể biến thái và lấy thứ gì đó ra khỏi dấu ngoặc, nhưng trong trường hợp này, tốt hơn là nên để câu trả lời ở dạng này - sẽ dễ kiểm tra hơn.

Ví dụ trên có thể được giải quyết theo cách thứ hai:

Cả hai giải pháp là hoàn toàn tương đương.

Ví dụ 5

Tìm đạo hàm của một hàm số

Đây là một ví dụ cho một giải pháp độc lập, trong mẫu nó được giải quyết theo cách đầu tiên.

Hãy xem xét các ví dụ tương tự với phân số.

Ví dụ 6

Tìm đạo hàm của một hàm số

Tại đây bạn có thể thực hiện theo một số cách:

Hoặc như thế này:

Nhưng giải pháp có thể được viết ngắn gọn hơn nếu trước hết, chúng ta sử dụng quy tắc phân biệt của thương , lấy cho cả tử số:

Về nguyên tắc, ví dụ đã được giải quyết, và nếu nó được để ở dạng này, nó sẽ không có sai sót. Nhưng nếu bạn có thời gian, luôn luôn nên kiểm tra trên một bản nháp, nhưng nó có thể đơn giản hóa câu trả lời? Chúng ta đưa biểu thức của tử số về một mẫu số chung và loại bỏ phần ba tầng:

Nhược điểm của các đơn giản hóa bổ sung là có nguy cơ mắc sai lầm không phải khi tìm đạo hàm, mà là khi các phép biến đổi trường banal. Mặt khác, giáo viên thường từ chối nhiệm vụ và yêu cầu “ghi nhớ” đạo hàm.

Một ví dụ đơn giản hơn cho giải pháp tự làm:

Ví dụ 7

Tìm đạo hàm của một hàm số

Chúng tôi tiếp tục nắm vững các kỹ thuật tìm đạo hàm và bây giờ chúng tôi sẽ xem xét một trường hợp điển hình khi một lôgarit “khủng khiếp” được đề xuất để phân biệt

Ví dụ 8

Tìm đạo hàm của một hàm số

Ở đây bạn có thể đi một chặng đường dài, sử dụng quy tắc phân biệt của một hàm phức tạp:

Nhưng bước đầu tiên ngay lập tức khiến bạn rơi vào trạng thái chán nản - bạn phải lấy một đạo hàm khó chịu của một mức độ phân số, và sau đó cũng từ một phần nhỏ.

Cho nên trước cách lấy đạo hàm của lôgarit “ưa thích”, trước đây nó được đơn giản hóa bằng cách sử dụng các thuộc tính trường học nổi tiếng:

! Nếu bạn có sẵn một cuốn sổ tay thực hành, hãy sao chép những công thức này ngay vào đó. Nếu bạn không có sổ tay, hãy vẽ chúng trên một tờ giấy, vì phần còn lại của các ví dụ của bài học sẽ xoay quanh các công thức này.

Bản thân dung dịch có thể được xây dựng như sau:

Hãy biến đổi hàm:

Chúng tôi tìm đạo hàm:

Bản thân sự chuyển đổi sơ bộ của chức năng đã đơn giản hóa giải pháp. Vì vậy, khi một lôgarit tương tự được đề xuất để phân biệt, luôn nên "chia nhỏ".

Và bây giờ là một vài ví dụ đơn giản cho một giải pháp độc lập:

Ví dụ 9

Tìm đạo hàm của một hàm số

Ví dụ 10

Tìm đạo hàm của một hàm số

Tất cả các phép biến hình và đáp án ở cuối bài.

đạo hàm logarit

Nếu đạo hàm của logarit là một bản nhạc ngọt ngào như vậy, thì câu hỏi đặt ra là, liệu có thể tổ chức logarit một cách giả tạo trong một số trường hợp hay không? Có thể! Và thậm chí cần thiết.

Ví dụ 11

Tìm đạo hàm của một hàm số

Các ví dụ tương tự mà chúng tôi đã xem xét gần đây. Để làm gì? Người ta có thể áp dụng liên tiếp quy luật khác biệt của thương số, và sau đó là quy tắc khác biệt của sản phẩm. Nhược điểm của phương pháp này là bạn nhận được một phần ba tầng rất lớn, mà bạn không muốn xử lý chút nào.

Nhưng trong lý thuyết và thực hành có một điều tuyệt vời đó là đạo hàm logarit. Logarit có thể được tổ chức nhân tạo bằng cách "treo" chúng ở cả hai phía:

Ghi chú : tại vì hàm có thể nhận các giá trị âm, do đó, nói chung, bạn cần sử dụng các mô-đun: , biến mất do sự khác biệt. Tuy nhiên, thiết kế hiện tại cũng có thể chấp nhận được, theo mặc định, tổ hợp các giá trị. Nhưng nếu với tất cả sự nghiêm ngặt, thì trong cả hai trường hợp, cần phải đặt trước rằng.

Bây giờ bạn cần phải “chia nhỏ” logarit của vế phải càng nhiều càng tốt (công thức trước mắt bạn?). Tôi sẽ mô tả quá trình này rất chi tiết:

Hãy bắt đầu với sự khác biệt. Chúng tôi kết thúc cả hai phần bằng một nét:

Đạo hàm của vế phải khá đơn giản, tôi sẽ không bình luận về nó, bởi vì nếu bạn đang đọc văn bản này, bạn sẽ có thể xử lý nó một cách tự tin.

Còn mặt trái?

Ở phía bên trái, chúng tôi có chức năng phức tạp. Tôi thấy trước câu hỏi: “Tại sao, có một chữ cái“ y ”dưới lôgarit?”.

Thực tế là "một chữ cái y" này - LÀ MỘT CHỨC NĂNG TRONG CHÍNH MÌNH(nếu nó không rõ ràng lắm, hãy tham khảo bài viết Đạo hàm của một hàm được chỉ định ngầm). Do đó, logarit là một hàm bên ngoài, và "y" là một hàm bên trong. Và chúng tôi sử dụng quy tắc phân biệt hàm ghép :

Ở phía bên trái, như thể bằng phép thuật, chúng ta có một đạo hàm. Hơn nữa, theo quy tắc tỷ lệ, chúng ta ném chữ "y" từ mẫu số của bên trái sang trên cùng của bên phải:

Và bây giờ chúng ta nhớ loại "trò chơi" - chức năng mà chúng ta đã nói đến khi phân biệt? Hãy xem xét điều kiện:

Câu trả lời cuối cùng:

Ví dụ 12

Tìm đạo hàm của một hàm số

Đây là một ví dụ do-it-yourself. Thiết kế mẫu của một ví dụ về loại này ở cuối bài học.

Với sự trợ giúp của đạo hàm logarit, người ta có thể giải được bất kỳ ví dụ nào trong số 4-7, một điều nữa là các hàm ở đó đơn giản hơn, và có lẽ, việc sử dụng đạo hàm logarit là không hợp lý lắm.

Đạo hàm của hàm số mũ

Chúng tôi đã không xem xét chức năng này được nêu ra. Một hàm mũ là một hàm có và mức độ và cơ sở phụ thuộc vào "x". Một ví dụ cổ điển sẽ được đưa ra cho bạn trong bất kỳ sách giáo khoa nào hoặc trong bất kỳ bài giảng nào:

Làm thế nào để tìm đạo hàm của một hàm số mũ?

Cần sử dụng kỹ thuật vừa xét - đạo hàm logarit. Chúng tôi treo logarit ở cả hai bên:

Theo quy luật, mức độ được lấy ra từ dưới lôgarit ở phía bên phải:

Kết quả là ở phía bên phải chúng ta có một tích của hai chức năng, sẽ được phân biệt theo công thức tiêu chuẩn .

Chúng tôi tìm dẫn xuất, vì điều này, chúng tôi bao gồm cả hai phần dưới nét vẽ:

Các bước tiếp theo rất dễ dàng:

Cuối cùng:

Nếu một số biến đổi không hoàn toàn rõ ràng, vui lòng đọc lại phần giải thích của Ví dụ 11 một cách cẩn thận.

Trong các nhiệm vụ thực tế, hàm mũ sẽ luôn phức tạp hơn so với ví dụ bài giảng được xem xét.

Ví dụ 13

Tìm đạo hàm của một hàm số

Chúng tôi sử dụng đạo hàm lôgarit.

Ở phía bên phải chúng ta có một hằng số và tích của hai thừa số - "x" và "logarit của logarit của x" (một logarit khác được lồng dưới logarit). Khi phân biệt một hằng số, như chúng ta nhớ, tốt hơn là nên lấy ngay nó ra khỏi dấu của đạo hàm để nó không bị cản trở; và tất nhiên, áp dụng quy tắc quen thuộc :

Nó rất dễ nhớ.

Chà, chúng ta sẽ không đi đâu xa, chúng ta sẽ ngay lập tức xem xét hàm ngược. Nghịch đảo của hàm số mũ là gì? Lôgarit:

Trong trường hợp của chúng tôi, cơ sở là một số:

Một lôgarit như vậy (nghĩa là một lôgarit với cơ số) được gọi là một lôgarit "tự nhiên" và chúng tôi sử dụng một ký hiệu đặc biệt cho nó: chúng tôi viết thay thế.

Bằng gì? Tất nhiên rồi, .

Đạo hàm của lôgarit tự nhiên cũng rất đơn giản:

Ví dụ:

1. Tìm đạo hàm của hàm số.
2. Đạo hàm của hàm số là gì?

Câu trả lời: Số mũ và lôgarit tự nhiên là những hàm đơn giản duy nhất về mặt đạo hàm. Hàm số mũ và hàm số logarit với bất kỳ cơ số nào khác sẽ có đạo hàm khác, điều này chúng ta sẽ phân tích ở phần sau, sau khi chúng ta tìm hiểu quy tắc phân biệt.

Quy tắc phân biệt

Quy tắc nào? Một thuật ngữ mới nữa, một lần nữa?! ...

Sự khác biệt là quá trình tìm đạo hàm.

Chỉ và mọi thứ. Một từ khác cho quá trình này là gì? Không phải proizvodnovanie ... Vi phân trong toán học được gọi là gia số của hàm tại. Thuật ngữ này xuất phát từ tiếng Latinh khácia - sự khác biệt. Đây.

Khi suy ra tất cả các quy tắc này, chúng ta sẽ sử dụng hai hàm, ví dụ, và. Chúng tôi cũng sẽ cần các công thức cho gia số của chúng:

Tổng cộng có 5 quy tắc.

Hằng số được đưa ra ngoài dấu của đạo hàm.

Nếu - một số hằng số (hằng số), thì.

Rõ ràng, quy tắc này cũng hoạt động cho sự khác biệt:.

Hãy chứng minh điều đó. Để, hoặc dễ dàng hơn.

Các ví dụ.

Tìm đạo hàm của các hàm số:

1. tại điểm;
2. tại điểm;
3. tại điểm;
4. tại điểm.

Các giải pháp:

1. (đạo hàm giống nhau ở mọi điểm, vì nó là một hàm tuyến tính, nhớ không?);

Phái sinh của một sản phẩm

Mọi thứ đều tương tự ở đây: chúng tôi giới thiệu một hàm mới và tìm số gia của nó:

Phát sinh:

Ví dụ:

1. Tìm đạo hàm của các hàm số và;
2. Tìm đạo hàm của một hàm số tại một điểm.

Các giải pháp:

Đạo hàm của hàm số mũ

Bây giờ kiến ​​thức của bạn đã đủ để học cách tìm đạo hàm của bất kỳ hàm số mũ nào, và không chỉ của số mũ (bạn đã quên nó là gì rồi phải không?).

Vì vậy, đâu là một số con số.

Chúng ta đã biết đạo hàm của hàm, vì vậy hãy cố gắng đưa hàm của chúng ta về một cơ sở mới:

Để làm điều này, chúng tôi sử dụng một quy tắc đơn giản:. Sau đó:

Chà, nó đã hoạt động. Bây giờ hãy thử tìm đạo hàm, và đừng quên rằng hàm này rất phức tạp.

Đã xảy ra?

Tại đây, hãy tự kiểm tra:

Công thức hóa ra rất giống với đạo hàm của số mũ: như nó vẫn tồn tại, chỉ có một thừa số xuất hiện, đó chỉ là một số, nhưng không phải là một biến.

Ví dụ: Tìm đạo hàm của các hàm số:

Câu trả lời:

Đây chỉ là một con số không thể tính được nếu không có máy tính, tức là nó không thể được viết dưới dạng đơn giản hơn. Do đó, trong câu trả lời nó được để ở dạng này.

Lưu ý rằng đây là thương của hai hàm, vì vậy chúng ta áp dụng quy tắc phân biệt thích hợp:

Trong ví dụ này, tích của hai chức năng:

Đạo hàm của một hàm số lôgarit

Ở đây nó tương tự: bạn đã biết đạo hàm của logarit tự nhiên:

Do đó, để tìm một tùy ý từ lôgarit với một cơ số khác, ví dụ:

Chúng ta cần đưa logarit này về cơ số. Làm thế nào để bạn thay đổi cơ số của một lôgarit? Tôi hy vọng bạn nhớ công thức này:

Chỉ bây giờ thay vì chúng tôi sẽ viết:

Mẫu số hóa ra chỉ là một hằng số (một số không đổi, không có một biến số). Đạo hàm rất đơn giản:

Đạo hàm của hàm số mũ và hàm số logarit hầu như không bao giờ được tìm thấy trong đề thi, nhưng sẽ không thừa nếu biết chúng.

Đạo hàm của một hàm phức.

Một "chức năng phức tạp" là gì? Không, đây không phải là logarit, và không phải là tiếp tuyến của cung. Những hàm này có thể khó hiểu (mặc dù nếu lôgarit có vẻ khó đối với bạn, hãy đọc chủ đề "Lôgarit" và mọi thứ sẽ giải quyết được), nhưng về mặt toán học, từ "phức tạp" không có nghĩa là "khó".

Hãy tưởng tượng một băng chuyền nhỏ: hai người đang ngồi và thực hiện một số hành động với một số đồ vật. Ví dụ: đầu tiên bọc một thanh sô cô la trong giấy gói và thứ hai buộc nó bằng một dải ruy băng. Hóa ra một vật thể tổng hợp như vậy: một thanh sô cô la được bọc và buộc bằng ruy băng. Để ăn một thanh sô cô la, bạn cần thực hiện các bước ngược lại theo thứ tự ngược lại.

Hãy tạo một đường dẫn toán học tương tự: đầu tiên chúng ta sẽ tìm cosin của một số, và sau đó chúng ta sẽ bình phương số kết quả. Vì vậy, họ cung cấp cho chúng tôi một con số (sô cô la), tôi tìm cosin của nó (bao bọc), và sau đó bạn bình phương những gì tôi nhận được (buộc nó bằng một dải ruy băng). Chuyện gì đã xảy ra thế? Hàm số. Đây là một ví dụ về một hàm phức tạp: khi, để tìm giá trị của nó, chúng ta thực hiện hành động đầu tiên trực tiếp với biến, sau đó thực hiện hành động thứ hai khác với những gì đã xảy ra do kết quả của biến đầu tiên.

Nói cách khác, Một hàm phức hợp là một hàm có đối số là một hàm khác: .

Ví dụ của chúng tôi,.

Chúng ta cũng có thể thực hiện các hành động tương tự theo thứ tự ngược lại: đầu tiên bạn bình phương, và sau đó tôi tìm côsin của số kết quả:. Có thể dễ dàng đoán rằng kết quả hầu như sẽ luôn khác nhau. Một tính năng quan trọng của các chức năng phức tạp: khi thứ tự của các hành động thay đổi, chức năng thay đổi.

Ví dụ thứ hai: (giống nhau). .

Hành động cuối cùng chúng tôi thực hiện sẽ được gọi là chức năng "bên ngoài" và hành động được thực hiện trước - tương ứng chức năng "nội bộ"(đây là những tên không chính thức, tôi chỉ sử dụng chúng để giải thích tài liệu bằng ngôn ngữ đơn giản).

Cố gắng tự xác định xem chức năng nào là bên ngoài và chức năng nào là bên trong:

Câu trả lời: Việc tách các hàm bên trong và hàm bên ngoài rất giống với việc thay đổi các biến số: ví dụ: trong hàm

1. Chúng ta sẽ thực hiện hành động nào trước? Đầu tiên, chúng tôi tính toán sin, và chỉ sau đó chúng tôi nâng nó lên thành một khối lập phương. Vì vậy, nó là một chức năng bên trong, không phải một chức năng bên ngoài. Và chức năng ban đầu là thành phần của chúng:.
2. Nội bộ: ; bên ngoài: . Kiểm tra: .
3. Nội bộ: ; bên ngoài: . Kiểm tra: .
4. Nội bộ: ; bên ngoài: . Kiểm tra: .
5. Nội bộ: ; bên ngoài: . Kiểm tra: .

chúng ta thay đổi các biến và nhận được một hàm.

Vâng, bây giờ chúng ta sẽ chiết xuất sô cô la của chúng ta - hãy tìm dẫn xuất. Quy trình luôn được đảo ngược: đầu tiên, chúng ta tìm đạo hàm của hàm bên ngoài, sau đó chúng ta nhân kết quả với đạo hàm của hàm bên trong. Đối với ví dụ ban đầu, nó trông giống như sau:

Một vi dụ khac:

Vì vậy, cuối cùng chúng ta hãy hình thành quy tắc chính thức:

Thuật toán tìm đạo hàm của một hàm phức:

Nó có vẻ là đơn giản, phải không?

Hãy kiểm tra với các ví dụ:

Các giải pháp:

1) Nội bộ :;

Bên ngoài: ;

2) Nội bộ :;

(chỉ cần đừng cố gắng giảm bớt ngay bây giờ! Không có gì được lấy ra từ bên dưới cosine, nhớ không?)

3) Nội bộ :;

Bên ngoài: ;

Rõ ràng ngay lập tức rằng có một hàm phức ba cấp ở đây: xét cho cùng, bản thân nó đã là một hàm phức hợp, và chúng tôi vẫn trích xuất gốc từ nó, tức là chúng tôi thực hiện hành động thứ ba (đặt sô cô la vào một chiếc giấy bọc và với một dải ruy băng trong một chiếc cặp). Nhưng không có lý do gì để sợ: dù sao đi nữa, chúng ta sẽ “giải nén” hàm này theo thứ tự như thường lệ: từ cuối.

Đó là, trước tiên chúng ta phân biệt gốc, sau đó là côsin, và chỉ sau đó là biểu thức trong ngoặc. Và sau đó chúng tôi nhân lên tất cả.

Trong những trường hợp như vậy, thật tiện lợi để đánh số các hành động. Đó là, chúng ta hãy tưởng tượng những gì chúng ta biết. Theo thứ tự nào chúng ta sẽ thực hiện các thao tác để tính giá trị của biểu thức này? Hãy xem một ví dụ:

Hành động được thực hiện càng muộn thì chức năng tương ứng sẽ càng có tính "bên ngoài". Chuỗi các hành động - như trước đây:

Ở đây lồng thường là 4 cấp. Hãy xác định quá trình hành động.

1. Biểu hiện cấp tiến. .

2. Gốc. .

3. Xoang. .

4. Hình vuông. .

5. Kết hợp tất cả lại với nhau:

PHÁT SINH. SƠ LƯỢC VỀ CHÍNH

Đạo hàm hàm- tỷ lệ giữa gia số của hàm với gia số của đối số với gia số thập phân của đối số:

Các dẫn xuất cơ bản:

Quy tắc phân biệt:

Hằng số được lấy ra khỏi dấu của đạo hàm:

Đạo hàm của tổng:

Sản phẩm phái sinh:

Đạo hàm của thương số:

Đạo hàm của một hàm phức:

Thuật toán tìm đạo hàm của một hàm phức:

1. Ta xác định hàm "nội tiếp", tìm đạo hàm của nó.
2. Ta xác định hàm “ngoại diên”, tìm đạo hàm của nó.
3. Chúng tôi nhân kết quả của điểm thứ nhất và thứ hai.

Suy ra công thức tính đạo hàm của hàm lũy thừa (x thành lũy thừa của a). Đạo hàm của các gốc từ x được coi là. Công thức tính đạo hàm của hàm lũy thừa bậc cao. Các ví dụ về tính toán các đạo hàm.

Các nội dung

Xem thêm: Hàm lũy thừa và gốc, công thức và đồ thị Các lô chức năng nguồn

Công thức cơ bản

Đạo hàm của x thành lũy thừa của a là một lần x thành lũy thừa của một trừ một:(1) .

Đạo hàm của căn bậc n của x với lũy thừa thứ m là:(2) .

Suy ra công thức tính đạo hàm của hàm lũy thừa

Trường hợp x> 0

Xét một hàm lũy thừa của biến x với số mũ a: (3) . Đây là một số thực tùy ý. Hãy xem xét trường hợp đầu tiên.

Để tìm đạo hàm của hàm số (3), ta sử dụng các tính chất của hàm lũy thừa và biến nó thành dạng sau: .

Bây giờ chúng ta tìm đạo hàm bằng cách áp dụng: ; . Đây .

Công thức (1) được chứng minh.

Suy ra công thức tính đạo hàm của căn bậc n của x thành bậc m

Bây giờ hãy xem xét một hàm là gốc của biểu mẫu sau: (4) .

Để tìm đạo hàm, chúng ta chuyển đổi gốc thành một hàm lũy thừa: . Đối chiếu với công thức (3), ta thấy rằng . sau đó .

Theo công thức (1) ta tìm được đạo hàm: (1) ; ; (2) .

Trong thực tế, không cần thiết phải học thuộc công thức (2). Sẽ thuận tiện hơn nhiều khi chuyển đổi gốc thành hàm lũy thừa, và sau đó tìm các đạo hàm của chúng bằng công thức (1) (xem ví dụ ở cuối trang).

Trường hợp x = 0

Nếu, thì hàm mũ cũng được xác định cho giá trị của biến x = 0 . Hãy để chúng tôi tìm đạo hàm của hàm số (3) cho x = 0 . Để làm điều này, chúng tôi sử dụng định nghĩa của một đạo hàm: .

Thay thế x = 0 : . Trong trường hợp này, bằng đạo hàm, chúng tôi có nghĩa là giới hạn bên phải cho giới hạn đó.

Vì vậy, chúng tôi nhận thấy: . Từ đó có thể thấy rằng tại ,. Tại , . Tại , . Kết quả này cũng thu được theo công thức (1): (1) . Do đó, công thức (1) cũng hợp lệ cho x = 0 .

trường hợp x< 0

Hãy xem xét lại hàm (3): (3) . Đối với một số giá trị của hằng số a, nó cũng được xác định cho các giá trị âm của biến x. Cụ thể, hãy cho một số hữu tỉ. Sau đó, nó có thể được biểu diễn dưới dạng một phân số bất khả quy: , trong đó m và n là các số nguyên không có ước số chung.

Nếu n lẻ, thì hàm mũ cũng được xác định cho các giá trị âm của biến x. Ví dụ, cho n = 3 và m = 1 chúng ta có căn bậc hai của x: . Nó cũng được xác định cho các giá trị âm của x.

Hãy để chúng tôi tìm đạo hàm của hàm lũy thừa (3) cho và cho các giá trị hữu tỉ của hằng số a, mà nó được xác định. Để làm điều này, chúng tôi biểu diễn x ở dạng sau: . Sau đó , . Ta tìm đạo hàm bằng cách lấy hằng số ra khỏi dấu của đạo hàm và áp dụng quy tắc phân biệt của một hàm số phức: . Đây . Nhưng . Kể từ đó . sau đó . Nghĩa là, công thức (1) cũng hợp lệ cho: (1) .

Phái sinh của các đơn đặt hàng cao hơn

Bây giờ chúng ta tìm các đạo hàm bậc cao của hàm lũy thừa (3) . Chúng tôi đã tìm thấy đạo hàm bậc nhất: .

Lấy hằng số a ra khỏi dấu của đạo hàm, ta tìm được đạo hàm cấp hai: . Tương tự, chúng tôi tìm thấy các dẫn xuất của lệnh thứ ba và thứ tư: ; .

Từ đây rõ ràng là đạo hàm của một đơn hàng thứ n tùy ý có dạng sau: .

thông báo rằng nếu a là số tự nhiên,, thì đạo hàm thứ n là hằng số: . Khi đó, tất cả các phái sinh tiếp theo đều bằng 0: , tại .

Ví dụ phái sinh

Ví dụ

Tìm đạo hàm của hàm số: .

Hãy chuyển đổi gốc thành lũy thừa: ; . Khi đó, hàm gốc có dạng: .

Chúng tôi tìm thấy các dẫn xuất của độ: ; . Đạo hàm của một hằng số bằng 0: .

Không tìm thấy câu trả lời cho câu hỏi của bạn? Nhìn vào đây Tư liệu thông tin "góc bạn đọc trẻ" Tiến sĩ xa để tiêu diệt Mua axit sunfuric ở đâu? Khí cười - là gì? Mới mẻ

• Những người mới bắt đầu cần biết gì về điện?
• Máy điện từ sửa chữa
• Những anh hùng đầu tiên của Liên Xô
• Cung hoàng đạo của bạn làm gì để trở nên giàu có?
• Hiện tượng tác động Phương trình cơ bản của lý thuyết tác động
• Hiện tượng va chạm Sự dịch chuyển của các điểm khi va chạm

Các bài viết phổ biến

• Meiosis và nguyên phân - sự khác biệt, các giai đoạn
• Công nghệ đổi mới trong giáo dục Công nghệ đổi mới trong hoạt động giáo dục
• Nhân viên kế toán

Mới trên trang web

• Khái niệm về hệ thống giáo dục của Liên bang Nga
• Luật học bổng cho sinh viên Tại sao học bổng xã hội bị hủy bỏ trong năm
• R&D là gì Những gì được bao gồm trong R&D
• Năng lực CNTT-TT: khái niệm, cấu trúc, các khía cạnh chính Bản chất nội dung của năng lực CNTT-TT là gì
• Nhận thức thông tin của một người