Đạo Hàm Hàm Số ẩn | Maths 4 Physics & More... | Trang 2

Có thể bạn quan tâm

Ví dụ: Tìm ${ \dfrac{{\partial}z}{{\partial}x}} , { \dfrac{{\partial}z}{{\partial}y}}$ nếu $x^3 + 2y^3 + z^3 - 3xyz -2y + 3 = 0$

Cách 1: ký hiệu vế trái của phương trình là F(x,y,z). Khi đó:

$F_x^{'} = 3x^2 - 3yz ; F_y^{'} = 6y^2 - 3xz - 2 ; F_z^{'} = 3z^2 - 3xy$

Theo công thức (2.2), (2.3) ta có:

${ \dfrac{{\partial}z}{{\partial}x}} = - { \dfrac{F_x^{'}}{F_z^{'}}} = - { \dfrac{3x^2-3yz}{3z^2-3xy}} ; { \dfrac{{\partial}z}{{\partial}y}} = - { \dfrac{F_y^{'}}{F_z^{'}}} = - { \dfrac{6y^2 - 3xz - 2}{3z^2-3xy}}$

Cách 2: Lấy vi phân phương trình đã cho ta có:

$d(x^3) + d(2y^3) + d(z^3) - 3d(xyz) - 2dy = 0$

Hay: $3x^2dx + 6y^2yd + 3z^2dz - 3yzdx - 3xzdy - 3xydz - 2dy = 0$

Từ đó, ta tìm dz:

$dz = { \dfrac{3(x^2-yz)dx+(6y^2 - 3xz -2)dy}{3(xy-z^2)}}$

So với công thức $dz = { \dfrac{{\partial}z}{{\partial}x}}dx + { \dfrac{{\partial}z}{{\partial}y}}dy$ , ta có:

${ \dfrac{{\partial}z}{{\partial}x}} = { \dfrac{x^2-yz}{zy-z^2}} , { \dfrac{{\partial}z}{{\partial}y}} = { \dfrac{6y^2-3xz-2}{3(xy-z^2)}}$

Ví dụ 2: Cho xyz = x + y +z , tìm dz

Cách 1: Xét F(x,y,z) = xyz – x – y – z . Ta tìm $z_x^{'} , z_y^{'}$ theo công thức (2.2), (2.3) ta có:

$F_x^{'} = yz - 1 ; F_y^{'} = xz - 1 ; F_z^{'} = xy - 1$

Nên:

${ \dfrac{{\partial}z}{{\partial}x}} = - { \dfrac{F_x^{'}}{F_z^{'}}} = - { \dfrac{yz-1}{xy-1}} ; { \dfrac{{\partial}z}{{\partial}y}} = - { \dfrac{F_y^{'}}{F_z^{'}}} = - { \dfrac{xz - 1}{xy -1}}$

Vậy: $dz = - { \dfrac{1}{xy-1}}[(yz-1)dx+(xz-1)dy]$

Cách 2: Lấy vi phân hai vế của phương trình, ta có:

$d(xyz) = d(x+y+z) \Rightarrow yzdx + xzdy + xydz = dx + dy + dz$

Từ đó, ta có: $dz = - { \dfrac{1}{xy-1}}[(yz-1)dx+(xz-1)dy]$

Ví dụ 3: Cho $x + y + z = e^z$ Tìm ${ \dfrac{{\partial}^2z}{{\partial}x^2}} , { \dfrac{{\partial}^2z}{{\partial}x{\partial}y}}$

Ta có: $z_x^{'} = { \dfrac{1}{e^z - 1}} (*)$

Để tính tiếp đạo hàm riêng cấp 2, ta cần chú ý z là hàm theo biến x, y. Đo đó để tìm tiếp đạo hàm riêng cấp 2 thì ta phải lấy đạo hàm của (*) theo quy tắc hàm hợp. Ta có:

$z_{xx}^{''} = \left(z_x^{'} \right)_x^{'} = \left({ \dfrac{1}{e^z - 1}} \right)_x^{'} = \left({ \dfrac{1}{e^z - 1}} \right)_z^{'} . z_x^{'} \\ = -{ \dfrac{e^z}{(e^z-1)^2}}.{ \dfrac{1}{e^z-1}} = -{ \dfrac{e^z}{(e^z-1)^3}}$

Tương tự: $z_{xy}^{''} = \left(z_x^{'} \right)_y^{'} = \left({ \dfrac{1}{e^z - 1}} \right)_y^{'} = \left({ \dfrac{1}{e^z - 1}} \right)_z^{'} . z_y^{'} (*)$

Vậy ta cần tính $z_y^{'}$ . Sử dụng công thức (2.3) ta có: $z_y^{'} = { \dfrac{1}{e^z-1}}$

Thế vào (*) ta có $x_{xy}^{''} = { \dfrac{e^z}{(1-e^z)^3}}$

Ví dụ 4: Cho hàm ẩn z = z(x;y) xác định bởi $z - xe^{y/z} = 0$ . Hãy tính gần đúng z(0,98 ; 0,01)

Ta có công thức tính gần đúng: $z(0,98 ; 0,01) \approx z(1;0) + z_x^{'}(1;0)(-0,02) + z_y^{'}(1;0) (0,01)$

Mặt khác: cho x = 1, y = 0 vào phương trình, ta có z(1;0) = 1

Mà: $F_x^{'} = -e^{y/z} ; F_y^{'} = -{ \dfrac{x}{z}}e^{y/z} ; F_z^{'} = 1 + { \dfrac{xy}{z^2}e^{y/z}}$

Tại x = 1, y = 0, z = 1 Ta có: $F_x^{'}(1;0;1) = -1 ; F_y^{'} = -1 ; F_z^{'} = 1$ . Vậy: $z_x^{'}(1;0) = 1 ; z_y^{'}(1;0) = 1$

Do đó: $z(0,98;0,01) \approx 1 + 1.(-0,02) + 1.(0,01) = 0,99$

Đánh giá:

Chia sẻ:

In
PDF
Email
Facebook

Thích Đang tải...

Trang: 1 2

Thảo luận

30 bình luận về “Đạo hàm hàm số ẩn”

Tính đạo hàm y’= dy/dx của hàm số ẩn xác định bởi pt 3x^2*y^3+y^2-4x=0

ThíchĐã thích bởi 1 người
Được đăng bởi Doàn Quang Thái | 03/04/2017, 21:02 Reply to this comment
thầy có thể nêu vd về hàm ẩn đc k? em ms lên. đọc sách k có ghi nên k rõ lắm

ThíchThích
Được đăng bởi toàn | 22/09/2015, 21:20 Reply to this comment
thầy ơi,chứngminh giùm e dx/dy = 1/(dy/dx)

ThíchThích
Được đăng bởi Khoa | 08/01/2015, 13:47 Reply to this comment
thầy ơi một hàm f(x,y) có đạo hầm cấp riêng 2 tại thì có chắc chắn luôn tồn tại đạo hàm cấp 1 không ạ

ThíchThích
Được đăng bởi mnghia | 26/12/2014, 08:59 Reply to this comment
thầy ơi bài tập sử dụng đạo hàm hàm ẩn để viêt pt tiếp tuyến và xét tính lồi lóm ntn ạ f(x)=x(lnx)^2+x(y+1)^2+(y+1)^2/2−7

với x>0,y>-1 a) Viết biểu thức vi phân toàn phần của f(x,y) b) Với g(x) là hàm số xác định bởi f(x,y)=0. Viết phương trinh tiếp tuyến của y=g(x) tại tiếp điểm có hoành độ x =1. c) Xét tính lồi lõm tại lân cận của x=1

ThíchThích
Được đăng bởi hiền | 10/05/2013, 17:42 Reply to this comment
tìm đạo hàm y'(0) của hàm số ẩn y=y(x) được cho bởi phương trình x^3+lny-(x^2).(e^y)=0

ThíchThích
Được đăng bởi linh | 24/01/2013, 21:03 Reply to this comment
anh có thể cho em biết ý nghĩa đạo hàm hàm ẩn không. vẽ hình minh họa thì như thế nào.

ThíchThích
Được đăng bởi Hoàng Minh | 19/05/2012, 10:53 Reply to this comment
thầy ơi giải giúp em bài này em giải nhiều lần mà không ra tìm các đạo hàm riêng của hàm ẩn Z=(x;Y) xác định từ phương trình e ^ (XYZ) = f (sin xy ) biết f là hàm khả vi

ThíchThích
Được đăng bởi bùi nhất quốc | 17/05/2012, 08:11 Reply to this comment
thưa thầy em kô hiểu ở chỗ đạo hàm riêng cấp 2 sao lại nhân thêm y’

ThíchThích
Được đăng bởi kien | 20/12/2011, 23:00 Reply to this comment
xin hướng dẫn dùm em bài này tìm z”xx nếu z = x^2 + y^2 ở đó y = y(x) đc xđ bới pt x^2 – xy + y^2 =1

ThíchĐã thích bởi 1 người
Được đăng bởi 2907 | 07/05/2011, 16:12 Reply to this comment