Đạo Hàm Hàm Số ẩn | Maths 4 Physics & More...

Có thể bạn quan tâm

1. Định nghĩa: Xét phương trình F(x,y) = 0 (1) , nói chung không giải ra đối với y, trong đó F(x,y) là một hàm số xác định. Nếu $\forall x \in E$ thì (1) có nghiệm duy nhất y = f(x) thì y được gọi là hàm ẩn theo biến số x trên E.

Nhận xét:

1. Từ định nghĩa ta có: $F(x,f(x)) = 0 , \forall x \in E$

2. Trường hợp với mọi x thuộc E, phương trình (1) có nhiều hơn 1 nghiệm y = f(x) thì ta nói phương trình (1) xác định 1 hàm ẩn đa trị.

Ví dụ: Phương trình $x^2 + y^2 = 1 (1)$ xác định 2 hàm số $y = \sqrt{1-x^2} , y = -{\sqrt{1-x^2}}$ nên (1) xác định 1 hàm ẩn đa trị.

2. Định lý:

Cho phương trình F(x,y) = 0, trong đó $F: U \subset R^2 \to R$ là hàm số theo 2 biến x,y có các đạo hàm riêng liên tục trên tập mở U. Giả sử $\mathop (x_0;y_0) \in U : F(x_0;y_0) = 0$ , nếu $F_y^{'}(x_0;y_0) \ne 0$ thì (1) xác định trong 1 lân cận nào đó của $x_0$ một hàm số ẩn y = f(x) duy nhất, hàm số ấy bằng $y_0$ khi $x = x_0$ , liên tục và có đạo hàm riêng liên tục trong lân cận nói trên

(Ta không chứng minh định lý này, bạn đọc có thể tham khảo cách chứng minh định lý trong quyển Toán học Cao cấp tập 3, của tác giả Nguyễn Đình Trí )

Vậy điều kiện để tồn tại 1 hàm ẩn gồm các điều kiện:

1. F(x,y) là hàm 2 biến có các đạo hàm riêng liên tục.

2. Tồn tại $(x_0;y_0): F(x_0;y_0) = 0$

3. $F_y^{'}(x_0;y_0) \ne 0$

Ví dụ: Phương trình $y^x = x^y$ xác định 1 hàm số ẩn vì xét: $F(x,y) = y^x - x^y$ xác định với x, y dương, hàm số này có các đạo hàm riêng liên tục, và F(1,1) = 0 , $F_y^{'} = xy^{x-1} - x^{y}lnx$ $\Rightarrow F_y^{'}(1;1) = 1 \ne 0$

3. Công thức xác định đạo hàm của hàm ẩn 1 biến:

Nếu từ phương trình F(x,y) = 0 (1) xác định 1 hàm ẩn y = f(x) thì ta có: F(x,f(x)) = 0 , nghĩa là vế trái là hàm số hợp của biến số x thông qua biến trung gian y. Do đó, ta sẽ lấy đạo hàm của (1) theo biến x bằng quy tắc đạo hàm hàm hợp.

Khi đó: ${ \dfrac{{\partial}F}{{\partial}x}} + { \dfrac{{\partial}F}{{\partial}y}}.{ \dfrac{dy}{dx}} = 0$

Mà ${ \dfrac{{\partial}F}{{\partial}y}} \ne 0$ nên suy ra: ${ \dfrac{dy}{dx}}= - { \dfrac{{ \dfrac{{\partial}F}{{\partial}x}}}{ \dfrac{{\partial}F}{{\partial}y}}} (2.1)$

Ví dụ: Cho $x^2 + siny - 2y = 0$ Tìm ${ \dfrac{dy}{dx}}$ ?

Xét $F(x;y) = x^2 + siny - 2y$ . Dễ dàng thấy F(x,y) liên tục và F(0;0) = 0 nên phương trình xác định 1 hàm ẩn y theo biến x.

Ta có: ${ \dfrac{{\partial}F}{{\partial}x}} = 2x ; { \dfrac{{\partial}F}{{\partial}y}} = cosy - 2 \ne 0 , \forall y$

Do đó: ${ \dfrac{dy}{dx}} = - { \dfrac{2x}{cosy-2}}$

Lưu ý: Việc tìm $(x_0;y_0): F(x_0;y_0) = 0$ là quan trọng vì nếu không sẽ dẫn tới tình huống phương trình vô nghiệm (ví dụ: $x^2 + y^2 = -1$ ) nhưng vẫn có dy/dx ( – x/y) (!!!)

– Nhìn chung, đạo hàm dy/dx lại là 1 biểu thức liên quan đến x và y. Trong biểu thức đó, phải xem y là hàm theo biến x

Ví dụ 2: Tìm ${ \dfrac{dy}{dx}} , { \dfrac{d^2y}{dx^2}}$ nếu $x - y + arctgy = 0$

Xét $F(x;y) = x - y + arctgy$ (việc kiểm tra phương trình tồn tại hàm ẩn dành cho bạn đọc)

Khi đó ta có: $y_x^{'} = - { \dfrac{1}{-1 + { \dfrac{1}{1+y^2}}}} = { \dfrac{y^2+1}{y^2}} = 1 + { \dfrac{1}{y^2}} (*)$

Để tìm đạo hàm cấp 2 ${ \dfrac{d^2y}{dx^2}}$ , ta lấy đạo hàm của (*) theo biến x, trong đó y là hàm theo x. Ta có:

${ \dfrac{d^2y}{dx^2}} = - { \dfrac{2y.y_x^{'}}{y^4}} = - { \dfrac{2(1+y^2)}{y^5}}$

4. Công thức xác định đạo hàm của hàm ẩn 2 biến:

Nếu từ phương trình F(x,y,z) = 0 (2) xác định 1 hàm ẩn 2 biến z = f(x;y) thì tương tự ta có: F(x;y;f(x;y)) = 0 , nghĩa là vế trái là hàm số hợp của 2 biến số x, y thông qua biến trung gian z. Do đó, ta sẽ lấy các đạo hàm riêng của (1) theo biến x (hoặc y) bằng quy tắc đạo hàm hàm hợp.

Khi đó: ${ \dfrac{{\partial}F}{{\partial}x}} + { \dfrac{{\partial}F}{{\partial}z}}.{ \dfrac{{\partial}z}{{\partial}x}} = 0$

Nếu ${ \dfrac{{\partial}F}{{\partial}z}} \ne 0$ thì suy ra: ${ \dfrac{\partial z}{\partial x}}= - { \dfrac{{ \dfrac{{\partial}F}{{\partial}x}}}{ \dfrac{{\partial}F}{{\partial}z}}} (2.2)$

Tương tự: ${ \dfrac{\partial z}{\partial y}}= - { \dfrac{{ \dfrac{{\partial}F}{{\partial}y}}}{ \dfrac{{\partial}F}{{\partial}z}}} (2.3)$

Nhận xét: ngoài cách tính theo công thức trên, ta có thể xác định các đạo hàm riêng bằng quy tắc tính vi phân. Nghĩa là tính vi phân toàn phần của hàm F(x,y,z) bằng quy tắc vi phân và cho nó bằng 0:

${ \dfrac{{\partial}F}{{\partial}x}}dx + { \dfrac{{\partial}F}{{\partial}y}}dy + { \dfrac{{\partial}F}{{\partial}z}}dz = 0$

Sau đó, tìm dz theo dx và dy: dz = Adx + Bdy. Khi đó $A = { \dfrac{{\partial}z}{{\partial}x}} , B = { \dfrac{{\partial}z}{{\partial}y}}$

(Vấn đề này sẽ được trình bày chi tiết trong các ví dụ)

Đánh giá:

Chia sẻ:

In
PDF
Email
Facebook

Thích Đang tải...

Trang: 1 2

Thảo luận

30 bình luận về “Đạo hàm hàm số ẩn”

gia su :y;z la ham an cung 1 bien x thoa man 2*x-y+3z=0 va x*2-4y*2+5z*2=0 tinh:(dy)/(dx) va (dz)/(dx)

ThíchThích
Được đăng bởi tien | 03/12/2010, 16:27 Reply to this comment
- Em xem bài tương tự tại đây nhé: https://thunhan.wordpress.com/bai-giang/giai-tich-2/partial-differentiation/comment-page-2/#comment-8415
  
  ThíchThích
  Được đăng bởi 2Bo02B | 04/12/2010, 23:11 Reply to this comment
tinh đạo hàm của hàm ẩn y=y(x) x^3 +lny-x^2.e^y=0; x^y=y^x x^y^2 +y^(2.lnx)-4=0

ThíchThích
Được đăng bởi giang99 | 27/10/2010, 21:05 Reply to this comment
tim y'(x0)biết x=e^-t ;y=e^t.cost;x0=0

ThíchThích
Được đăng bởi giang99 | 27/10/2010, 20:59 Reply to this comment
tim dao ham y(p/2)cua ham y=y(x) cho boi pt ycos(x)+sin(x)+lny=0

ThíchThích
Được đăng bởi kien | 23/09/2010, 10:39 Reply to this comment
- Pt này xác định hàm ẩn y= y(x) do pt này có nghiệm. (Em có thể nhẩm được 1 nghiệm $x = - \dfrac{\pi}{4} ; y = 1$ ) Do đó em có thể dùng công thức đạo hàm hàm ẩn 1 biến ở trên. Đặt F(x,y) = ycos(x) + sin(x) + lny thì: $y' = -\dfrac{F_x^{'}}{F_y^{'}} (*)$ Đề bài yêu cầu tính $y' \left( \dfrac{\pi}{2} \right)$ thì em phải thế $x = \dfrac{\pi}{2}$ vào pt để tìm y. Thế x, y vào (*) em sẽ có kết quả
  
  ThíchThích
  Được đăng bởi 2Bo02B | 23/09/2010, 21:51 Reply to this comment
Thầy và các bạn giúp em bài này với mày mò mãi mà chưa ra: Cho F(x-y;y-z;z-x)=0, tính Z’x, Z’y

ThíchThích
Được đăng bởi nguyen xuan trung | 03/08/2010, 11:32 Reply to this comment
Thầy ơi giúp em. Cho hàm ẩn x=x(y,z) được xác định bời phương trình z=e^2x(x+y^2+2y). Tính dx(y,z)

ThíchThích
Được đăng bởi Phong | 18/06/2010, 21:16 Reply to this comment
- Bạn có: $F(x,y,z) = e^{2x}(x+y^2+2y)-z$ Khi đó, bạn sẽ có: $\dfrac{{\partial}x}{{\partial}y} = -\dfrac{F_y^{'}}{F_x^{'}}$ ; $\dfrac{{\partial}x}{{\partial}z} = -\dfrac{F_z^{'}}{F_x^{'}}$
  
  ThíchThích
  Được đăng bởi Vũ Hoàng | 22/06/2010, 11:25 Reply to this comment
thay giup em.cho z=z(x,y) la ham an xac dinh boi phuong trinh:x/y=ln(z/y)+1.tinh d^2z(1,1)=?

ThíchThích
Được đăng bởi hoan | 22/05/2010, 23:22 Reply to this comment
- Trước tiên, em thế x = 1, y = 1 vào pt đề tìm giá trị z(1;1)? Tiếp theo, Em dùng công thức đạo hàm hàm ẩn để tính $z_x^{'} ; z_y^{'}$ . Sau đó, từ $z_x^{'}$ , em lấy tiếp đạo hàm theo x với quy tắc phải xem z là hàm (ví dụ:giả sử $z_x^{'} = x + z$ thì $z_{xx}^{''} = 1 + z_x^{'}$ ). Tương tự, em tìm các đạo hàm cấp 2 còn lại cũng với quy tắc trên. Sau đó, sử dụng công tức vi phân cấp 2 của hàm số 2 biến, em có: $d^2z(1;1) = z_{xx}^{''}(1;1)dx^2 + 2z_{xy}^{''}(1;1)dxdy+z_{yy}^{''}(1;1)dy^2$ Khi thế x = 1; y = 1 em phải thế z = z(1;1) vào nhé.
  
  ThíchThích
  Được đăng bởi 2Bo02B | 23/05/2010, 22:36 Reply to this comment
Thầy ơi, giúp em bài này với. Cho z=f(x,y) là hàm ẩn xác định từ phương trình z-x.e^z/y=0. Tính gần đúng f(0,02;0,99). Em cảm ơn Thầy nha!

ThíchThích
Được đăng bởi Doremon | 21/03/2010, 14:26 Reply to this comment
- Em xem ví dụ 4 ở trang 2 của bài này nhé.
  
  ThíchThích
  Được đăng bởi 2Bo02B | 21/03/2010, 14:49 Reply to this comment
thầy giải giúp em bài này cho z^3 – 4xy + y^2 – 4 =0 hãy tính ${ \dfrac{{\partial}z}{{\partial}x}}$ tại (1,-2,2)

ThíchThích
Được đăng bởi xuan hy | 25/11/2009, 23:36 Reply to this comment
- ðz/ðx=ð(z^3-4xy+y^2-4)=-4y. suy ra ðz(1,-2,2)/ðx=8.ok!
  
  ThíchThích
  Được đăng bởi doremon | 21/03/2010, 14:58 Reply to this comment
- Bài này em chỉ cần sử dụng công thức đạo hàm hàm ẩn là có kết quả thôi mà. Này nhé: $z_x^{'} =- \dfrac{F_x^{'}}{F_z^{'}}=-\dfrac{-4y}{3z^2}= \dfrac{4y}{3z^2}$ Sau đó, em thế x = 1, y = -2, z = 2 vào em sẽ có $\dfrac{\partial z}{\partial x}=\dfrac{-2}{3}$
  
  ThíchThích
  Được đăng bởi 2Bo02B | 21/03/2010, 15:00 Reply to this comment
Nhờ mấy bác giải giúp em bài này với Tính Đạo hàm Y'(1) , nếu X SinY – Y SinX = 0 và Y(1) =0

ThíchThích
Được đăng bởi kien | 24/04/2009, 01:18 Reply to this comment
sao không thấy hướng dẫn cách giải bài tương tự thế này

ThíchThích
Được đăng bởi long nguyen | 07/04/2009, 22:19 Reply to this comment
giải giúp em bài này cho u=(x+3) / (y+z) trong đó z là hàm ẩn của x,y xác định bởi phương trình z*e^z=x*e^x + y*e^y tính u'(x) và u'(y) ?

ThíchThích
Được đăng bởi long nguyen | 07/04/2009, 22:17 Reply to this comment
- Hàm $u = { \dfrac{x+3}{y+z}}$ , trong đó z là hàm ẩn theo 2 biến x, y. Vì vậy: u là hàm hợp của 2 biến x, y thông qua hàm trung gian z. Vậy: $u'(x) = { \dfrac{{\partial}u}{{\partial}x}} + { \dfrac{{\partial}u}{{\partial}z}}.{ \dfrac{{\partial}z}{{\partial}x}} (*)$ Từ phương trình hàm ẩn, em dễ dàng tìm được ${ \dfrac{{\partial}z}{{\partial}x}}$ Khi đó, thế vào (*) em sẽ tìm được $u'(x)$ Tương tự với u'(y)
  
  ThíchThích
  Được đăng bởi 2Bo02B | 10/04/2009, 21:12 Reply to this comment