Đạo Hàm Trị Tuyệt Đối Là Gì? Công Thức Tính Nhanh Và Bài Tập ...

Đạo hàm trị tuyệt đối trong chương trình Toán học lớp 11 có khó không? Đây là câu hỏi của rất nhiều em học sinh khi bắt đầu học nội dung này. Tuy nhiên, nếu các em nắm vững hết lý thuyết về khái niệm, công thức tính và bài tập áp dụng về đạo hàm trị tuyệt đối thì dạng toán này không còn là vấn đề “nan giải”. Các em hãy cùng TheTips tìm hiểu chi tiết về nội dung này qua bài viết dưới đây.

Mục lục 1 Đạo hàm là gì? 2 Đạo hàm trị tuyệt đối là gì? 3 Công thức tính nhanh đạo hàm trị tuyệt đối 4 Bài tập áp dụng

Đạo hàm là gì?

Giả sử giới hạn của tỉ số giữa số gia của hàm số và số gia của đối số tại x0, khi số gia của đối số tiến dần về 0, các em gọi là đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm x0.

Đạo hàm của hàm số y = f(x) ký hiệu là y’(x0) hoặc f’(x0):

f'(x_0)=limlimits_{xto x_0}frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\ text{hoặc } y'(x_0)=limlimits_{xto x_0}frac{Delta y}{Delta x}

Trong đó:

• Số gia của đối số là: ∆x = x – x0
• Số gia của hàm số là: ∆y = y – y0

Hay các em có thể hiểu:

begin{aligned} &footnotesizetext{Đạo hàm bằng }frac{∆y}{∆x}text{ là rất nhỏ, giá trị đạo hàm tại một điểm }x_0text{ thể hiện:}\ &footnotesizebulltext{Chiều biến thiên của hàm số (đang giảm hay tăng, xem đạo hàm tại đây âm − hay dương +)}\ &footnotesizebulltext{Độ lớn của biến thiên này (Ví dụ như đạo hàm bằng 1 → ∆y tăng bằng ∆x)} end{aligned}=

Đạo hàm trị tuyệt đối là gì?

Sử dụng công thức đạo hàm theo định nghĩa để tính đạo hàm của hàm số y = |x|

limlimits_{Delta x to 0}frac{f(x+Delta x)-x}{Delta x}

Thay giá trị |x| vào, đạo hàm của y là:

y'=limlimits_{Delta x to 0}frac{|x+Delta x|-|x|}{Delta x} (1)

Nhìn vào công thức đạo hàm ở trên, các em thấy rằng đạo hàm sẽ không xác định được tại vị trí ∆x = 0, bởi vì hàm số y = |x| là 1 hàm số không liên tục và có dạng:

y=left[begin{array} {c}x nếu x geq0\ -x nếu x

Đồ thị hàm số y = |x| khi vẽ sẽ giúp các em thấy rõ hơn.

Do đó, chúng ta không thể thay trực tiếp ∆x = 0 vào (1) để tính được, mà ta cần biến đổi thành dạng khác để mẫu khác 0 khi thay ∆x = 0 vào là được. Các em có thể làm như sau:

begin{aligned} &footnotesize bulltext{Đầu tiên, đưa phương trình về dạng căn của bình phương (bởi vì }|x|=sqrt{x^2})\ &(1) Leftrightarrowlimlimits_{Delta x to 0}frac{sqrt{(x+Delta x)^2}-sqrt{x^2}}{Delta x}\ &footnotesize bulltext{Hai là, nhân tử và mẫu cho } sqrt{(x+Delta x)^2}+sqrt{x^2}text{ nhằm mục đích khử trường hợp mẫu bằng 0.}\ &Leftrightarrowlimlimits_{Delta x to 0}frac{(sqrt{(x+Delta x)^2}-sqrt{x^2})(sqrt{(x+Delta x)^2}+sqrt{x^2})}{Delta x(sqrt{(x+Delta x)^2}+sqrt{x^2})}\ &Leftrightarrowlimlimits_{Delta x to 0}frac{(x+Delta x)^2+x^2(x+Delta x)^2-x^2(x+Delta x)^2-x^2}{Delta x(sqrt{(x+Delta x)^2}+sqrt{x^2})}\ &Leftrightarrowlimlimits_{Delta x to 0}frac{x^2+2xDelta x+Delta x^2-x^2}{{Delta x(sqrt{(x+Delta x)^2}+sqrt{x^2})}}\ &Leftrightarrowlimlimits_{Delta x to 0}frac{2xDelta x+Delta x^2}{{Delta x(sqrt{(x+Delta x)^2}+sqrt{x^2})}}\ &Leftrightarrowlimlimits_{Delta x to 0}frac{2x+Delta x}{{sqrt{(x+Delta x)^2}+sqrt{x^2}}}\ &text{Vì ∆x tiến tới 0 và sau khi biến đổi, các em có thể thay ∆x = 0 vào (2), ta được:}\ &=frac{2x}{sqrt{x^2}+sqrt{x^2}}\ &=frac{2x}{2sqrt{x^2}}\ &=frac{x}{sqrt{x^2}}\ &=frac{x}{|x|} end{aligned}

Kết luận: Đạo hàm của hàm số y = |x| là:

y'=frac{x}{|x|}

Công thức tính nhanh đạo hàm trị tuyệt đối

Để tính nhanh đạo hàm trị tuyệt đối, các em cần ghi nhớ một số công thức tính nhanh đạo hàm có thể kể đến như:

begin{aligned} &bull text{Hàm số phân thức bậc nhất: }f(x) = frac{ax + b}{cx + d} ⇒ f’(x) = frac{ad - bc}{(cx + d)^2}.\ &bull text{Hàm số phân thức bậc hai: }f(x) = frac{ax^2 + bx + c}{mx + n} ⇒ f’(x) = frac{amx^2 + 2anx + bn - cm}{(mx + n)^2}.\ &bull text{Hàm số đa thức bậc ba: }f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d ⇒ f’(x) = 3ax^2 + 2bx + c.\ &bull text{Hàm số trùng phương: }f(x) = ax^4 + bx^2 + c ⇒ f’(x) = 4ax^3 + 2bx.\ &bull text{Hàm số chứa căn bậc hai: }f(x) = sqrt{u(x)} ⇒ f’(x) = frac{u’(x)}{2sqrt{u(x)}}.\ &bull text{Hàm số chứa trị tuyệt đối: }f(x) = |u(x)| ⇒ f’(x) = frac{u’(x).u(x)}{|u(x)|}. end{aligned}

Bài tập áp dụng

Bài tập: Tính đạo hàm của các hàm số sau:

begin{aligned} &1. y = f(x) = |x|\ &2. y = f(x) = |x^2 - 3x + 2| end{aligned}

Bài giải:

begin{aligned} &1. text{ Ta có:}\ &y=left[begin{array} {c}x khi x geq0\ -x khi x 0\ -1 khi x 0\ -1 khi x

b.

begin{aligned} &text{Tập xác định: }D=R\ &text{Ta xét dấu }f(x)=x^2-3x+2text{ để có kết quả sau:}\ &y=f(x)=left[begin{array} {c}x^2-3x+2 khi xleq1 hay xgeq2\ -x^2+3x-2 khi 1

Nguồn: Đạo Hàm Trị Tuyệt Đối – Marathon Education