Dấu Hiệu Nhận Biết Tứ Giác Nội Tiếp Hay Nhất - Toploigiai

Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp:

- Nếu một tứ giác có tổng số đo hai góc đối bằng thì tứ giác đó nội tiếp được trong một đường tròn.

- Tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong tại đỉnh đối của đỉnh đó thì tứ giác đó nội tiếp trong một đường tròn.

- Tứ giác có bốn đỉnh cách đều một điểm (có thể xác định được). Điểm đó là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác.

- Tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh chứa hai đỉnh còn lại dưới một gócα thì tứ giác đó nội tiếp được trong một đường tròn.

Cùng Top lời giải đi tìm hiểu chi tiết về tứ giác nội tiếp đường tròn nhé.

1.Định nghĩa tứ giác nội tiếp đường tròn

Tứ giác nội tiếp trong một đường tròn là tứ giác có bốn đỉnh nằm trên một đường tròn.

* Định lý

Trong một tứ giác nội tiếp, tổng số đo hai góc đối diện bằng 180∘

Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O):

Định lý đảo

Từ đinh lý tứ giác nội tiếp trên, ta suy ra được định lý đảo như sau: Nếu một tứ giác có tổng số đo hai góc đối diện bằng 1800 thì tứ giác đó là tứ giác nội tiếp đường tròn.

2. Một số dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp

Dấu hiệu 1: (Dựa vào định nghĩa đường tròn)

Tứ giác có bốn đỉnh cách đều một điểm cố định là tứ giác nội tiếp

Tức là chứng minh tồn tại một điểm O sao cho OA = OB = OC = OD.

Dấu hiệu 2: Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 1800 là tứ giác nội tiếp

Dấu hiệu 3: Tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong của đỉnh đối diện là tứ giác nội tiếp

3) Những cách chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn

Cách 1: Chứng minh cho bốn đỉnh của tứ giác cách đều một điểm nào đó.

Các bạn thấy rằng nếu cho trước một đường tròn tâm O, bán kính R thì bất kì điểm nào nằm trên đường tròn cũng cách đều tâm O một khoảng bằng R. Dựa vào đây để ta có một cách chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn.

Cụ thể: Cho một điểm I cố định và tứ giác ABCD. Nếu các bạn chứng minh được 4 điểm A, B, C, D cách đều điểm I, tức là IA=IB=IC=ID thì điểm I chính là tâm đường tròn đi qua 4 điểm A,B, C, D. Hay nói cách khác tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn tâm I bán kính IA.

Cách 2: Chứng minh tứ giác có tổng 2 góc đối bằng 1800

Cách 3: Chứng minh từ hai đỉnh cùng kề một cạnh cùng nhìn một cạnh dưới hai góc bằng nhau.

Cách 5: Tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong tại đỉnh đối của đỉnh đó thì nội tiếp được trong một đường tròn.

Tức là nếu cho tam giác ABCD và các bạn chứng minh được góc ngoài tại đỉnh A mà bằng góc trong tại đỉnh C (tức là góc C của tứ giác đó) thì ABCD cũng nội tiếp đường tròn.

Cách 6: Chứng minh bằng phương pháp phản chứng

Chú ý: Các bạn có thể chứng minh tứ giác ABCD là một trong những hình đặc biệt sau: Tứ giác ABCD là hình thang cân, hình chữ nhật, hình vuông.

4. Các bài toán về chứng minh tứ giác nội tiếp

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H

Chứng minh rằng:

a. Tứ giác BECF là tứ giác nội tiếp

b. HA.HD = HB.HE = HC.HF

Cách giải

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC vuông tại A(AB<AC) nội tiếp đường tròn tâm I, bán kính r. Gọi P là trung điểm của AC; AH là đường cao của tam giác ABC. Chứng minh:

a) Tứ giác APIH nội tiếp được trong đường tròn tâm K. Xác định tâm K của đường tròn này.

b) Hai đường tròn (I) và (K) tiếp xúc nhau.

Cách giải:

a) Dựa vào dấu hiệu 1 để chứng minh APIH nội tiếp được trong một đường tròn:

- Xác định tâm K đường tròn ngoại tiếp tứ giác APIH: Do P nhìn đoạn thẳng AI dưới một góc vuông nên P thuộc đường tròn đường kính AI.

- Chứng minh tương tự đối với điểm H. Từ đó xác định được tâm K ( là trung điểm đoạn AI ).

- Cần nắm vững kết luận: Quỹ tích các điểm nhìn đoạn thẳng AB dưới một góc vuông là đường tròn đường kính AB (SGK lớp 9/ tập 2 trang 85).

b) Nhắc lại kiến thức về hai đường tròn tiếp xúc nhau:

- Hai đường tròn cùng đi qua 1 điểm duy nhất thì chúng tiếp xúc với nhau; hoặc tiếp xúc trong, hoặc tiếp xúc ngoài.

- Tiếp xúc ngoài nếu khoảng cách hai tâm bằng tổng hai bán kính. OO′=R+r

- Tiếp xúc trong nếu khoảng cách hai tâm bằng hiệu hai bán kính: OO′=R−r>0

Tính IK để kết luận 2 đường tròn (I) và ( K ) tiếp xúc trong tại A.