Dạy Phương Trình Lượng Giác Có Tham Số

Có thể bạn quan tâm

Trang Chủ
Đăng ký
Đăng nhập
Upload
Liên hệ

Trang Chủ › Toán Học Lớp 12›Giải Tích Lớp 12 Dạy phương trình lượng giác có tham số

Thực tế cho thấy khi gặp bài toán chứa tham số học sinh thường lúng túng trong quá trình biện luận. Đặc biệt đối với phương trình lượng giác việc biện luận để phương trình có nghiệp, biện luận số nghiệm của phương trình không phải lúc nào cũng dễ dàng. Có những bài toán phải vận dụng những phương pháp đặc biệt mà việc nghĩ ra hay tìm thấy đều rất khó khăn.

Trong năm học qua và năm học 2004 - 2005 khi dạy ôn về phương trình lượng giác tôi đã tổng kết được một vài dạng bài cơ bản về phương trình lượng giác có tham số với mong muốn giúp các em học sinh có thêm một vài phương pháp giải đối với dạng toán này.

10 trang

ngochoa2017 Lượt xem

6042

1 Download Bạn đang xem tài liệu "Dạy phương trình lượng giác có tham số", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trênA/ Đặt vấn đề. Thực tế cho thấy khi gặp bài toán chứa tham số học sinh thường lúng túng trong quá trình biện luận. Đặc biệt đối với phương trình lượng giác việc biện luận để phương trình có nghiệp, biện luận số nghiệm của phương trình không phải lúc nào cũng dễ dàng. Có những bài toán phải vận dụng những phương pháp đặc biệt mà việc nghĩ ra hay tìm thấy đều rất khó khăn. Trong năm học qua và năm học 2004 - 2005 khi dạy ôn về phương trình lượng giác tôi đã tổng kết được một vài dạng bài cơ bản về phương trình lượng giác có tham số với mong muốn giúp các em học sinh có thêm một vài phương pháp giải đối với dạng toán này. Trước hết để làm được yêu cầu học sinh phải thành thạo trong việc giải các phương trình lượng giác không có tham số. Nắm thật chắc các phép biến đổi phương trình đưa về dạng đã biết. Ngoài ra học sinh cần nhớ nội dung hai định lý: * Định lý: Nếu f(x) liên tục trên { a;b} có maxf = M, min f = m . . . Từ đó thì ị phương trình f(x) = a sẽ có nghiệm Û m Ê a Ê M Định lý Lagrăng: Nếu y = f(x) liên tục trên đoạn {a ; b} và có đạo hàm trên khoảng (a ; b) thì tồn tại một điểm c ẻ (a ; b) sao cho f’(c) = B/ Nội dung: Dạy phương trình lượng giác có tham số I- Dạng 1: Biện luận để phương trình có nghiệm Bài toán 1: Tìm điều kiện của m để phương trình sau có nghiệm Sin6x + cos6x = m Ta có Sin6x + cos6x = 1 - sin22x = 1 - ( 1 - cos22x) Ta có: Sin6x + cos6x = 1 - sin22x = 1 - ( 1 - cos22x ) Sin6x + cos6x + cos22x Hãy đánh giá vế trái: 0 ≤ cos22x ≤ 1 ị ≤ sin6x + cosx ≤ 1 Hàm số f(x) = sin6x + cos6x có max f = 1, min f = f(x) liên tục nên phương trình f(x) = m có nghiệm ị ≤ m ≤ 1 Vậy với m Є { ; 1 thì phương trình f(x) = m có nghiệm Bài toán 2: Tìm m để phương trình sau đây có nghiệm. Cos2x + cosx = m 2cos2x - 1 + cosx = m Đặt cosx = t, điều kiện | t | ≤ 1 Xét hàm số f(x) = 2 t2 + t - 1 với 1≤ 1 ≤ 1. Toạ độ đỉnh ( - ; - ) Bảng biến thiên t - Ơ -1 - 1 + Ơ f(t) + Ơ 0 - Dựa vào bảng biến thiên: max f(t) = 2 khi t = 1 min f(x) = - khi t = Phương trình có nghiệm khi - ≤ m ≤ 2 Làm tương tự: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: Sin2x + sinx cosx = m 2 sin2x + cosx - sinx = m Đặt t = sinx + cosx, đk | t | ≤* Tổng quát. Nếu f(x) là hàm liêu tục có max f = M, min f = m thì phương trình f(x) = a có nghiệm m Û a Ê M Bài toán 3: Cho phương trình. Tìm a để phương trình có nghiệm. Bài làm: Ta không nên biến đổi trực tiếp phương trình. Hãy xét f(x) = với x ẻ Trong khoảng này cosx > 0, sin x < 0 Và lim cosx = 1 lim sinx = 0 - xđ 0 - xđ 0 - Lim cos x = 0 + lim sin x = -1 x đ + xđ + Do đó + Nhận xét: Hàm số f(x) xác định liên tục trên + ị Với a phương trình f(x) = a luôn có nghiệm Bài toán 4: Chứng minh rằng a,b,c phương trình. a cos3x + b cos2x + sin x = 0 luôn có nghiệm ẻ ( 0; 2P) Xét f(x) = f’(x) = acos3x + bcos 2 x + cosx + sin x f(x) liên tục và có đạo hàm trên khoảng ( 0; 2P) f(0) = - cos 0 = -1 Theo định lý Lagrăng $ ị Phương trình f’(x) = 0 có nghiệm ẻ ( 0; 2p ) ị Phương trình đã cho luôn có nghiệm ẻ ( 0; 2p) với a,b,c Bài toán 5: Tìm a,b để PT: cos 4 x + a cos 2x + b sin 2x = 0 có nghiệm. ở đây ta không trực tiếp xét phương trình. Xét Vì f(x) là hàm tuần hoàn với chu kỳ p. Kết f(x) trên ( 0; p) f(x) liên tục và có đạo hàm trên khoảng ( 0; p) Theo định lý Lagrăng $ x0 ẻ ( 0; p) f’(x) = 0 ị PT f’(x) = 0 có nghiệm ẻ (0; p) Vậy với a,b phương trình đã cho có nghiệm. Bài toán 6: Tìm a để hệ phương trình có nghiệm Nếu là nghiệm của (I) thì ị ị đúng ị Phương trình có nghiệm (1) Đảo lại: Nếu (1) có nghiệm thì là đúng ị ị ẻ đường tròn Đơn vị ị $ x0 ị (x0, y0) là 1 nghiệm của hệ Vậy hệ có nghiệm Û PT (1) có nghiệm. Đến đây bài toán trở thành tìm a để phương trình. có nghiệm. Nếu a = 0 phương trình có dạng 0 =1, phương trình vô nghiệm. Nếu a ạ 0 (1) ị ị ị (1) có nghiệm ị Vậy hệ đã cho có nghiệm. Bài tập tự luyện: 1. Tìm m để phương trình sau có nghiệm. 2. Cho phương trình Tìm m để phương trình có nghiệm. 3. Tìm a để phương trình có nghiệm B/ Dạng 2. Biện luận số nghiệm. Bài toán 1: Cho phương trình. Tìm m để phương trình có đúng bảy nghiệm trong khoảng Có thể thấy ngay rằng việc tìm m để phương trình có đúng 7 nghiệm ẻ quả là khó khăn. Trước hết hãy đại số hoá phương trình đã cho. Đặt t = cosx đk {t} Ê 1 Ta đi xét số nghiệm x ẻ của phương trình cos x = t Số nghiệm ẻ cos x = t Nhận thấy cos x = 0 có 2 nghiệm ẻ Phương trình có đúng 7 nghiệm ẻ Û (2) có 5 nghiệm ẻ Û Tam thức f(t) = 4 t2 - 2t + m - 3 có hai nghiệm t1, t2 sao cho -1 < t1 < t2 < 1. Û Û Û Û 1< m <3 Vậy với 1< m <3 phương trình đã cho có đúng bảy nghiệm ẻ Bài toán khai triển. - Tìm m để phương trình có đúng 6 nghiệm ẻ Tam thức f(t) = 4 t2 - 2t + m - 3 có 2 nghiệm t1, t2 sao cho - Tìm m để phương trình có đúng 3 nghiệm ẻ Û f(x) = 4 t2 - 2t + m - 3 có 1 n0 t = -1 hoặc t = 1 - Tìm m để phương trình có đúng hai nghiệm ẻ Û f(x) = 4t2 - 2t + m - 3 vô nghiệm hoặc có nghiệm t = 0 t1 Ê t2 < -1 hoặc 1 < t1 Ê t2 ; t1 < -1 < 1 < t2 Bài toán 2: Cho phương trình: sin 3x - mcos2x - (m+ 1+ sinx + m = 0 (1) Xác định giá trị của m để phương trình có đúng 8 nghiệm ẻ ( o; 3P) (1) Û 3sinx - 4 sin3 x - m (1 - 2sin2x) - (m+1) sinx + m = 0 Û - 4sin3x + 2 m sin2x + (2 - m) sinx = 0 Û -sin {4sin3x + 2m sinx + (-2 + m)} = 0 sinx = 0 Û x = P hoặc x = 2P ẻ (0; 3P) Do phương trình có đúng 8 nghiệm ẻ (0; 3P) Û (2) có đúng 6 nghiệm ẻ (0; 3P) ạ P; 2P Đặt sinx = t (2) Û 4t2 + 2mt + (-2 + m) = 0 Số nghiệm ẻ(0; 3P) sinx = t Phương trình có đúng 8 nghiệm Û (2) có nghiệm t1, t2 sao cho 0 < t1 < 1 = t2 hoặc - 1 < t1 < 0 < t2 < 1 * TH 1: 0 < T1 < 1 = t2 Û f(1) = 0 Û m = 2 Û t1 = 0 (loại) * TH 2: -1 < t1 < 0 < t2 < 1 Û Û Û Û Vậy để phương trình có đúng 8 nghiệm ẻ (0; 3P) thì * Làm tương tự: Tìm m sao cho phương trình sin 3x + sin 2x = m sin x có đúng 8 nghiệm ẻ c) Dạng 3: Phương trình tương đương. Bài 1: Tìm a và b để hai phương trình sau tương đương. 1) 2) Ta biết rằng hai phương trình tương đương nếu chúng có tập nghiệm bằng nhau (có thể là tập f) + Nếu (1) vô nghiệm đ tìm điều kiện để (2) vô nghiệm + Nếu (1) có nghiệm đ tìm điều kiện để nghiệm của (1) cũng là nghiệm của (2) và ngược lại. 1) Û Û Û Û Cần: Giả sử (1) và (2) tương đương. Vì là nghiệm của (1) Û cũng là nghiệm của (2) Û Vì là nghiệm của (2) Û cũng là nghiệm của (1) Û Û a=2 a = 2 b = thì (1) Û Nhận thấy (1) và (2) tương đương Vậy với a = 2 b = thì 2 phương trình đã cho tương đương. Bài toán 2: Tìm m để 2 phương trình sau tương đương. sin x + m cosx = 1 (1) m sinx + cosx = m2 (2) Bài làm Cần: Giả sử (1) và (2) tương đương Ta thấy x = là nghiệm của (1) ị x = cũng phải là nghiệm của (2) ị sin + cos = m2 Û m = m2 Û m2 - m = 0 Û Với m = 0 (1) Û sin x = 0 (2) Û cos x = 0 Û sin x = ± 1 Hai phương trình không tương đương. Với m = 1 (1) sin x + cos x = 1 (2) sin x + cos x = 1 Vậy m = 1 thì 2 phương trình đã cho tương đương Bài toán 3: Tìm a để phương trình sau tương đương. (1) 2 cos x cos 2x = 1 + cos 2x + cos 3x (2) 4cos2 x - cos 3x = a cos x + (4 - a) (a + cos 2x) Bài làm (1) Û cos 3x + cos x = 1 + cos 2x + cos 3x Û 2cos2x - cos x = 0 Û cos x ( 2cos x - 1) = 0 Û (2) Û 4 cos2x - 4cos3 x + 3 cos x = a cos x + (4 - a) (2cos2x - 1) Û Û Hai phương trình tương đương Û Û Tương tự: Tìm a để 2 phương trình tương đương sin 3x = a sinx + (4 - 2{a}) sin2x sin 3x + cos 2x = 1 + 2 sinx cos 2 x C/ kết luận Qua một số năm giảng dạy phương trình lượng giác giải bằng cách phân dạng trên tôi thấy đã có những kết quả nhât định. Học sinh biết phân dạng bài tập và sử dụng phương pháp thích hợp cho mỗi bài toán. Vì thời gian giảng dạy còn ít, kinh nghiệm chưa nhiều tôi mong được sự đóng góp giúp đỡ của các thầy cô giáo, các bạn đồng nghiệp và các em học sinh. Tôi xin chân thành cảm ơn ! Giáo viên

Tài liệu đính kèm:

Ham so luyen thi DH 2009.doc

Tài liệu liên quan

Điểm trên đồ thị (C): y = f (x) có tọa độ nguyên
Lượt xem: 18739 Lượt tải: 4
Một số bài toán cực trị của các hàm số lượng giác
Lượt xem: 11759 Lượt tải: 2
Giáo án Giải tích lớp 12 - Chương III: Nguyên hàm – Tích phân và ứng dụng
Lượt xem: 2271 Lượt tải: 2
Đề tài Hệ thống hoá kiến thức ôn thi học kì II, tốt nghiệp trung học phổ thông và tuyển sinh đại học, cao đẳng môn toán
Lượt xem: 1278 Lượt tải: 0
Giáo án Giải tích lớp 12 - Tiết 2 - Luyện tập
Lượt xem: 1034 Lượt tải: 0
Đề thi tốt nghiệp trung học phổ thông năm 2006 Môn thi: Toán - Bổ túc trung học phổ thông
Lượt xem: 1276 Lượt tải: 0
Giáo án Giải tích 12 nâng cao - Chương II: Luỹ thừa với số mũ hữu tỉ
Lượt xem: 2177 Lượt tải: 1
Đề thi thử tuyển sinh ĐH, CĐ Môn: Toán
Lượt xem: 1522 Lượt tải: 0
Ðề 2 thi tuyển sinh đại học khối A năm 2010 môn thi : Toán học
Lượt xem: 920 Lượt tải: 0
Đề thi thử đại học môn Toán (Đề 182)
Lượt xem: 1046 Lượt tải: 0