Dãy Số Fibonacci Và Tam Giác Pascal - Vườn Toán

Trang chủ » Dãy Số đặc Biệt Pascal » Dãy Số Fibonacci Và Tam Giác Pascal - Vườn Toán

Có thể bạn quan tâm

Trang

  • Trang nhà
  • Kỹ năng mềm
  • Giới thiệu

Dãy số Fibonacci và tam giác Pascal

Kỳ trước chúng ta đã sử dụng kết quả của bài toán xếp hình để chứng minh các hằng đẳng thức cho dãy số Fibonacci. Hôm nay chúng ta tiếp tục đề tài này. Chúng ta sẽ chứng minh các hằng đẳng thức sau $${2011 \choose 0} + {2010 \choose 1} + {2009 \choose 2}+ {2008 \choose 3}+ \dots + {1007 \choose 1004}+ {1006 \choose 1005} = F_{2012},$$ $${2012 \choose 0} + {2011 \choose 1} + {2010 \choose 2}+ {2009 \choose 3}+ \dots + {1007 \choose 1005}+ {1006 \choose 1006} = F_{2013}.$$ Một cách tổng quát, chúng ta có hằng đẳng thức $$\sum_{v+u=n}{v \choose u} = F_{n+1}.$$ Thông qua hằng đẳng thức này chúng ta thấy một mối liên hệ thú vị giữa dãy số Fibonnaci và tam giác số Pascal. Trước hết xin nhắc lại, dãy số Fibonacci là dãy số xác định theo quy luật sau: $$F_0=0, F_1=1, F_{n+1}=F_n+F_{n−1},$$ và vì vậy chúng ta có $$F_0=0, F_1=1, F_2=1, F_3=2, F_4=3, F_5=5, F_6=8, F_7=13, F_8=21, \dots$$ Xin giới thiệu với các bạn ký hiệu $n!$, đọc là $n$ giai thừa, công thức của nó là như sau $$n! = 1 \times 2 \times 3 \times \dots \times n.$$ Chú ý rằng theo quy định chúng ta có $0!=1$ (chứ không phải $0!=0$ đâu nhé!) Như vậy $$0! = 1, ~~ 1! = 1, ~~ 2! = 2, ~~ 3! = 6, ~~ 4! = 24, ~~ 5! = 120, \dots $$ Tiếp theo, chúng ta có ký hiệu ${n \choose k}$. Công thức của nó là $${n \choose k} = \frac{n!}{k! (n-k)!}.$$ Ví dụ, các bạn có thể kiểm tra rằng $${4 \choose 0} = \frac{4!}{0! 4!} = 1, ~~{4 \choose 1} = \frac{4!}{1! 3!} = 4, ~~{4 \choose 2} = \frac{4!}{2! 2!} = 6, ~~{4 \choose 3} = \frac{4!}{3! 1!} = 4, ~~{4 \choose 4} = \frac{4!}{4! 0!} = 1.$$ Ký hiệu ${n \choose k}$ đọc là "$n$ chọn $k$", lý do là vì ${n \choose k}$ chính là số cách chọn $k$ đồ vật (không kể tính thứ tự) trong số $n$ đồ vật. Ví dụ, nếu chúng ta có $4$ con cá và muốn chọn ra $2$ con cá thì sẽ có đúng ${4 \choose 2} = 6$ cách chọn.
có đúng ${4 \choose 2} = 6$ cách chọn ra $2$ con cá từ $4$ con cá
Lưu ý rằng các sách viết ở Việt Nam thường dùng ký hiệu $C^k_n$ thay vì là ${n \choose k}$. Các số ${n \choose k}$ chính là các hệ số trong khai triển nhị thức Newton. Chúng tạo nên tam giác số nổi tiếng - tam giác số Pascal. Nếu chúng ta đánh số thứ tự cho hình tam giác Pascal như hình sau đây. Khởi đầu bằng hàng số 0, hàng số 1, hàng số 2, v.v..., và trên mỗi hàng, chúng ta có số thứ 0, số thứ 1, số thứ 2, v.v... Vậy thì số thứ $k$ nằm trên hàng thứ $n$ chính là bằng ${n \choose k}$. Ví dụ, chúng ta thấy trên hàng thứ $4$, chúng ta có số $1$, $4$, $6$, $4$, $1$, đó chính là ${4 \choose 0}$, ${4 \choose 1}$, ${4 \choose 2}$, ${4 \choose 3}$, ${4 \choose 4}$. Hằng đẳng thức mà chúng ta học ngày hôm nay đó là $$F_{n+1} = \sum_{v+u=n}{v \choose u}.$$ Lấy một vài ví dụ khi $n=0,1,2,\dots,6$ chúng ta có $$F_1 = {0 \choose 0}, ~~F_2 = {1 \choose 0}, ~~F_3 = {2 \choose 0} + {1 \choose 1}, ~~F_4 = {3 \choose 0} + {2 \choose 1},$$ $$F_5 = {4 \choose 0} + {3 \choose 1} + {2 \choose 2}, ~~F_6 = {5 \choose 0} + {4 \choose 1} + {3 \choose 2},$$ $$F_7 = {6 \choose 0} + {5 \choose 1} + {4 \choose 2} + {3 \choose 3}$$ Các đẳng thức này cho ta thấy một mối liên hệ thú vị giữa tam giác số Pascal và dãy số Fibonacci. Hình vẽ sau đây minh hoạ điều đó. Nếu chúng ta cọng các số trong tam giác Pascal theo đường chéo như trong hình vẽ thì chúng ta sẽ có tổng là các số Fibonacci.
Tổng theo đường chéo: $F_7 = {6 \choose 0} + {5 \choose 1} + {4 \choose 2} + {3 \choose 3}=13$
Chứng minh hằng đẳng thức. Chúng ta sẽ dùng bài toán xếp hình để chứng minh hằng đẳng thức. Xin nhắc lại, dãy số Fibonacci có một ý nghĩa tổ hợp nhờ vào bài toán xếp hình sau đây
Bài toán xếp hình: Cho phép sử dụng hai loại gạch có kích thước $1 \times 1$ và $1 \times 2$, có bao nhiêu cách khác nhau để dùng hai loại gạch này xếp thành một hình chữ nhật có kích thước $1 \times n$?
$X_1=1$, $X_2 = 2$, $X_3=3$, $X_4=5$.
Gọi $X_n$ là số cách xếp hình chữ nhật có kích thước $1 \times n$ bằng cách dùng hai loại gạch có kích thước $1 \times 1$ và $1 \times 2$. Chúng ta thấy rằng muốn tạo ra một hình chữ nhật $1 \times n$, đầu tiên chúng ta phải quyết định xem chúng ta sẽ tạo ra cái ô vuông đầu tiên bằng cách nào. Có hai cách. Chúng ta có thể dùng loại gạch $1 \times 1$ để tạo ra cái ô vuông đầu tiên, hoặc, chúng ta có thể dùng loại gạch $1 \times 2$. Nếu chúng ta dùng loại gạch $1 \times 1$ để tạo ra cái ô vuông đầu tiên thì chúng ta còn lại $n-1$ ô vuông. Có bao nhiêu cách để tạo ra $n-1$ cái ô vuông tiếp theo? Đó chính là $X_{n-1}$ cách. Còn nếu chúng ta dùng loại gạch $1 \times 2$ để tạo ra hai cái ô vuông đầu tiên thì chúng ta còn lại $n-2$ ô vuông. Có bao nhiêu cách để tạo ra $n-2$ ô vuông? Đó chính là $X_{n-2}$ cách. Như vậy, tổng cọng chúng ta sẽ có $X_{n-1} + X_{n-2}$ cách tạo ra hình chữ nhật $1 \times n$. Vì vậy chúng ta có công thức $$X_n = X_{n-1} + X_{n-2}.$$ Tức là $$X_1 = 1, ~~X_2 = 2, ~~X_3 = 3, ~~X_4 = 5, ~~X_5 = 8, \dots$$ Từ đó suy ra $$X_n = F_{n+1}.$$ Vậy muốn chứng minh hằng đẳng thức, chúng ta cần phải chứng minh $$X_{n} = \sum_{v+u=n}{v \choose u}.$$ Chúng ta để ý rằng nếu chúng ta xây dựng một hình chữ nhật $1 \times n$ bằng cách sử dụng $v$ viên gạch, trong đó $u$ viên gạch có dạng $1 \times 2$ và $(v-u)$ viên gạch có dạng $1 \times 1$, thì bằng cách cọng tổng độ dài các viên gạch lại chúng ta có $$n = 2 \times u + 1 \times (v-u).$$ Tức là $$u + v = n.$$ Bây giờ chúng ta nhìn hình vẽ sau. Chúng ta có $v$ vị trí cho $v$ viên gạch. Trong $v$ vị trí này chúng ta phải chọn ra $u$ vị trí mà chúng ta sẽ dùng viên gạch $1 \times 2$. (Còn $(v-u)$ vị trí còn lại sẽ là loại gạch $1 \times 1$.) Có nghĩa là trong $v$ "con cá", chúng ta phải chọn ra $u$ "con cá". Có bao nhiêu cách chọn? Chính là ${v \choose u}$ cách chọn. Vì vậy nên tổng số các cách tạo ra hình chữ nhật $1 \times n$ sẽ là $$\sum_{v+u=n}{v \choose u}.$$ Và cuối cùng chúng ta sẽ có hằng đẳng thức $$X_{n} = \sum_{v+u=n}{v \choose u}.$$ Vậy chúng ta đã trình bày xong một cách chứng minh hằng đẳng thức sau bằng phương pháp tổ hợp $$F_{n+1} = \sum_{v+u=n}{v \choose u}.$$ Ví dụ với $n=2011$ và $n=2012$ chúng ta có hằng đẳng thức thú vị sau đây $${2011 \choose 0} + {2010 \choose 1} + {2009 \choose 2}+ {2008 \choose 3}+ \dots + {1007 \choose 1004}+ {1006 \choose 1005} = F_{2012},$$ $${2012 \choose 0} + {2011 \choose 1} + {2010 \choose 2}+ {2009 \choose 3}+ \dots + {1007 \choose 1005}+ {1006 \choose 1006} = F_{2013}.$$ Chúng ta tạm dừng ở đây, kỳ sau, chúng ta sẽ học thêm về dãy số. Các bạn còn nhớ công thức cho dãy số Fibonacci không? Đó là $$F_n = \frac{1}{\sqrt{5}} \left[ \left( \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \right)^n - \left( \frac{1 - \sqrt{5}}{2} \right)^n \right]$$ Nếu các bạn tò mò muốn biết vì sao chúng ta có thể tìm ra được công thức kỳ lạ này, thì các bạn hãy đón đọc các kỳ sau. Chúng ta sẽ học cách tìm công thức cho một dãy số tổng quát. Xin hẹn gặp lại các bạn. Bài tập về nhà. Sử dụng tính chất của tam giác Pascal để tìm cách chứng minh khác cho hằng đẳng thức $$F_{n+1} = \sum_{v+u=n}{v \choose u}.$$ Labels: bài toán xếp hình, dãy số, đại số, Fibonacci, giai thừa, hằng đẳng thức, nhị thức Newton, quy nạp, rời rạc, sai phân, tam giác Pascal Bài đăng Mới hơn Bài đăng Cũ hơn Trang chủ

Ủng hộ Vườn Toán trên facebook

Facebook

Lưu trữ Blog

  • ▼  2013 (26)
    • ▼  tháng 2 (3)
      • Dãy số Fibonacci và tam giác Pascal
      • Hằng đẳng thức về dãy số Fibonacci
      • Dãy số Fibonacci và một bài toán xếp hình

English Version

English Version

Bài toán kết nối facebook

Phép nhân thời đồ đá

Mắt Biếc Hồ Thu

Lục giác kỳ diệu

Định lý Pitago

1 = 2012 = 2013

Dãy số Fibonacci và một bài toán xếp hình

James vẽ hình

Câu hỏi của James

Hình vuông số chính phương kỳ diệu của Vianney!

Câu đố mẹo về đo lường

Công thức lượng giác Gauss cho 17-giác đều

Chào năm mới 2014

Chào năm mới 2015

Chào năm mới 2016

Không gian 4 chiều là gì?

Dựng hình đa giác đều

Dựng đa giác đều 15 cạnh

Ngày số Pi (2015)

Ngày số Pi (2016)

0.9999999... có bằng 1 không? (2015)

Hình tam giác

Bàn cờ vua và kim tự tháp

Dãy số

Dãy số - Phần 1

Dãy số - Phần 2

Dãy số - Phần 3

Dãy số - Phần 4

Dãy số - Phần 5

Dãy số - Phần 6

Dãy số - Phần 7

Dãy số - Phần 8

Dãy số - Phần 9

Đại số

Tam giác Pascal

Quy nạp

Quy nạp II

Quy nạp III

Nhị thức Newton

1 = 2012 = 2013

Đa thức nội suy Newton

Đa thức nội suy Lagrange

Chứng minh Định lý Wilson bằng công thức nội suy

Tổng luỹ thừa

Số phức

Số phức

Công thức Moivre

Lượng giác

Công thức lượng giác cho góc bội

Công thức lượng giác Gauss cho 17-giác đều

Ngày số Pi (2016)

Radian là gì?

Số học

modulo - Phần 1

modulo - Phần 2

modulo - Phần 3

modulo - Phần 4

modulo - Phần 5

modulo - Phần 6

Số nguyên tố

Định lý Euclid về số nguyên tố

Một vài bài toán về số nguyên tố

Định lý Wilson

Bộ số Pitago

Modulo cho số hữu tỷ

Modulo cho số hữu tỷ II

Chứng minh lại định lý Wilson

Bổ đề Bezout

Thuật toán Euclid

Tổng luỹ thừa

Tổng luỹ thừa và định lý Wolstenholme

Câu đố mẹo về đo lường

Dựng đa giác đều 15 cạnh

Bò đi con bọ cạp!

Liên phân số Fibonacci

Hằng đẳng thức Pitago

Hình vuông số kỳ diệu của Euler

Tổ hợp

Bài toán kết nối facebook

Dãy số Fibonacci và một bài toán xếp hình

Hằng đẳng thức về dãy số Fibonacci

Dãy số Fibonacci và tam giác Pascal

Hình học

Định lý Pitago

Định lý đường cao tam giác vuông

Định lý Morley

Phương tích

Trục đẳng phương và tâm đẳng phương

Định lý Ceva và Định lý Menelaus

Lục giác kỳ diệu

Định lý Pascal

Định lý Pappus

Cánh bướm Pascal

Bài toán con bướm

Định lý Ngôi Sao Do Thái

Hãy xem xét trường hợp đặc biệt

Bài toán về tìm khoảng cách ngắn nhất và một tính chất của hình elíp

Điểm Fermat của hình tam giác

Điểm Fermat của hình tam giác II

Dựng hình

Dựng hình bằng thước và compa

Bài toán chia hình tứ giác

Dựng hình ngũ giác đều

Dựng hình đa giác đều

Dựng đa giác đều 15 cạnh

Định lý đường cao tam giác vuông

Thuật toán dựng hình

Công thức lượng giác Gauss cho 17-giác đều

Dựng hình chỉ bằng compa

Dùng compa chia đều đoạn thẳng

Giải tích

Ngày số Pi 2015

Chuỗi Taylor

Tổng nghịch đảo bình phương

Giúp bé thông minh

Xì-tin năng động

BBC - Học tiếng Anh Du học Hoa kỳ Học Bổng Hoa Kỳ VOA - Học tiếng Anh

Tạp chí toán học

Kỹ năng mềm

Tạo lập tài khoản google

Cách tạo blog toán học

Học toán trên Wolfram

Dịch tài liệu toán học

Viết văn bản toán học PDF trực tuyến bằng LaTeX

Chia xẻ tài liệu toán học trên Google Drive

Từ khóa » Dãy Số đặc Biệt Pascal