Dãy Số - Phần 1 - Vườn Toán

Trang chủ » Dãy Tuyến Tính » Dãy Số - Phần 1 - Vườn Toán

Có thể bạn quan tâm

Trang

  • Trang nhà
  • Kỹ năng mềm
  • Giới thiệu

Dãy số - Phần 1

Hôm nay chúng ta sẽ mở đầu cho một chuổi bài về dãy số. Mục đích của chuổi bài này là trình bày cho các bạn cách tìm công thức tổng quát cho những dãy số xác định bởi các công thức truy hồi tuyến tính. Chúng ta sẽ bắt đầu bài học với những tính chất chung chung của dãy số, cụ thể là chúng ta sẽ học về phép cọng của hai dãy số, và phép nhân một hằng số với một dãy số. Phép cọng của dãy số Thường thường khi nói đến phép cọng, chúng ta nghĩ đến phép cọng của hai số, ví dụ $2+3=5$. Tuy nhiên, chúng ta sẽ thấy rằng chúng ta cũng có thể làm phép cọng cho hai dãy số. Giả sử $\{ a_n \}$ và $\{ b_n \}$ là hai dãy số. Chúng ta có thể cọng hai dãy số này lại $$c_n = a_n + b_n$$ để có một dãy số mới là $\{ c_n \}$. Dưới đây là một ví dụ, bằng cách lần lượt cọng các số hạng của hai dãy số $\{ a_n \}$ và $\{ b_n \}$ chúng ta có tổng là một dãy số mới $\{ c_n \}$.
Tổng của hai dãy số là một dãy số $\{ c_n \} = \{ a_n \} + \{ b_n \}$
Một cách tương tự, chúng ta có thể làm phép trừ cho hai dãy số $\{c_n\} = \{ a_n \} - \{ b_n \}$, hoặc, chúng ta có thể cọng/trừ ba, bốn dãy số lại với nhau như sau $\{e_n\} = \{ a_n \} - \{ b_n \} + \{ c_n\} - \{ d_n \}$. Phép nhân một dãy số với một hằng số Bây giờ giả sử $\{ a_n \}$ là một dãy số và $\alpha$ là một hằng số, chúng ta có thể nhân hằng số $\alpha$ với dãy số $\{ a_n \}$ để được một dãy số mới là $\{ b_n \}$ như sau $$b_n = \alpha ~ a_n.$$ Ở ví dụ dưới dây, bằng cách lần lượt nhân mỗi số hạng của dãy số $\{ a_n \}$ với hằng số $\alpha = 2$ chúng ta có tích là một dãy số mới $\{ b_n \} = 2 \times \{ a_n \}$.
Tích của một dãy số với một hằng số là một dãy số: $\{ b_n \} = 2 \times \{ a_n \}$
Tổng tuyến tính của các dãy số Nhờ kết hợp phép cọng và phép nhân, chúng ta có thể tạo ra các dãy số mới ví dụ như $$\{d_n\} = \alpha \{ a_n \} + \beta \{ b_n \} + \gamma \{ c_n \},$$ trong đó $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ là những hằng số nào đó. Chúng ta sẽ gọi dãy số $\{d_n\}$ là tổng tuyến tính của các dãy số $\{ a_n \}$, $\{ b_n \}$, $\{ c_n \}$. Ở bài toán dưới dây, chúng ta sẽ thấy rằng nếu các dãy số thõa mãn cùng một công thức truy hồi thì tổng tuyến tính của nó cũng thõa mãn công thức truy hồi đó. Bài toán 1: Giả sử dãy số $\{a_n\}$ thoã mãn công thức truy hồi $$a_n = 5 a_{n-1} - 6 a_{n-2}.$$ Giả sử dãy số $\{b_n\}$ cũng thoã mãn công thức truy hồi $$b_n = 5 b_{n-1} - 6 b_{n-2}.$$ Chứng minh rằng tổng của $\{a_n\}$ và $\{b_n\}$, dãy số $\{c_n\} = \{a_n\} + \{b_n\}$ thõa mãn công thức $$c_n = 5 c_{n-1} - 6 c_{n-2}.$$ Chứng minh rằng với mọi hằng số $\alpha$, $\beta$, tổng tuyến tính $\{d_n\} = \alpha~ \{a_n\} + \beta~ \{b_n\}$ thõa mãn công thức $$d_n = 5 d_{n-1} - 6 d_{n-2}.$$ Lời giải: Chúng ta có Vậy dãy số $\{c_n\}$ thõa mãn công thức $c_n = 5 c_{n-1} - 6 c_{n-2}$. Tương tự như vậy, Vậy dãy số $\{d_n\}$ cũng thõa mãn công thức $d_n = 5 d_{n-1} - 6 d_{n-2}$. Bài toán 2: Tìm tất cả các dãy số có dạng $f_n = z^n$ sao cho $f_n = 5 f_{n-1} - 6 f_{n-2}$. Lời giải: Thay $f_n = z^n$ vào phương trình $f_n = 5 f_{n-1} - 6 f_{n-2}$ chúng ta có $$z^n = 5 z^{n-1} - 6 z^{n-2}.$$ Trường hợp $z = 0$, chúng ta sẽ có dãy số $f_n = 0$. Trường hợp $z \neq 0$, chúng ta chia hai vế của phương trình trên cho $z^{n-2}$ sẽ được $$z^2 = 5 z - 6.$$ Giải phương trình bậc hai $$x^2 - 5 x + 6 =0$$ chúng ta tìm được hai nghiệm $x = 2$ và $x=3$. Vậy $z = 2$ hoặc $z = 3$, và chúng ta có hai dãy số thõa mãn bài toán là $f_n = 2^n$ và $f_n = 3^n$. Tóm lại, có ba dãy số có dạng $f_n = z^n$ thõa mãn phương trình $f_n = 5 f_{n-1} - 6 f_{n-2}$, đó là $f_n = 0$, $f_n = 2^n$ và $f_n = 3^n$. Xin các bạn tự kiểm tra lại để cho chắc chắn rằng dãy số $f_n = 2^n$ và $f_n = 3^n$ đúng là thõa mãn phương trình $f_n = 5 f_{n-1} - 6 f_{n-2}$. Từ hai bài toán trên chúng ta rút ra được điều gì? Từ bài toán số 2, chúng ta biết được hai dãy số $\{ 2^n \}$ và $\{3^n\}$ thõa mãn công thức $$f_n = 5 f_{n-1} - 6 f_{n-2}.$$ Từ bài toán số 1, chúng ta có thể lấy tổng tuyến tính của hai dãy số này, đó là dãy số $\{ \alpha ~ 2^n + \beta ~ 3^n\}$, thì dãy số này cũng thõa mãn công thức $$f_n = 5 f_{n-1} - 6 f_{n-2}.$$ Ở đây hai số $\alpha$ và $\beta$ là hai số bất kỳ. Chúng ta ghi lại tóm tắt kết quả mà chúng ta vừa tìm được
Với hai số $\alpha$ và $\beta$ bất kỳ, dãy số xác định bởi công thức $$f_n = \alpha ~ 2^n + \beta ~ 3^n$$ thõa mãn công thức truy hồi $$f_n = 5 f_{n-1} - 6 f_{n-2}.$$
Bài toán 3: Xác định giá trị của hai hằng số $\alpha$ và $\beta$ sao cho dãy số $f_n = \alpha ~ 2^n + \beta ~ 3^n$ thõa mãn điều kiện $$f_0 = 1, ~f_1 =7, ~f_n = 5 f_{n-1} - 6 f_{n-2}.$$ Lời giải: Lần lượt thay $n=0$ và $n=1$, chúng ta có $$f_0 = \alpha ~ 2^0 + \beta ~ 3^0 = \alpha + \beta = 1,$$ $$f_1 = \alpha ~ 2^1 + \beta ~ 3^1 = 2 ~\alpha + 3 ~\beta = 7.$$ Giải hệ phương trình này chúng ta có $\alpha = -4$ và $\beta = 5$. Từ đó chúng ta có $$f_n = 5 \times 3^n - 4 \times 2^n.$$ Các bạn lưu ý rằng có rất nhiều các dãy số thõa mãn công thức $f_n = 5 f_{n-1} - 6 f_{n-2}$. Cứ mỗi giá trị của $\alpha$ và $\beta$ thì chúng ta có một dãy số $f_n = \alpha ~ 2^n + \beta ~ 3^n$ thõa mãn công thức $f_n = 5 f_{n-1} - 6 f_{n-2}$. Tuy nhiên, chỉ có duy nhất một dãy số thõa mãn điều kiện $$f_0 = 1, ~f_1 =7, ~f_n = 5 f_{n-1} - 6 f_{n-2}.$$ Vì vậy, theo bài toán số 3, chúng ta suy ra dãy số $f_n = 5 \times 3^n - 4 \times 2^n$ là dãy số duy nhất thõa mãn $$f_0 = 1, ~f_1 =7, ~f_n = 5 f_{n-1} - 6 f_{n-2}.$$ Chúng ta tạm dừng ở đây, kỳ tới chúng ta tiếp tục học về dãy số. Bài tập về nhà. 1. Tìm công thức tổng quát cho dãy số sau $$a_0 = 0, ~a_1 =1, ~a_n = 5 a_{n-1} - 6 a_{n-2}.$$ 2. Tìm công thức tổng quát cho dãy số sau $$b_0 = 1, ~b_1 =1, ~b_n = 5 b_{n-1} - 6 b_{n-2}.$$ 3. Tìm tất cả các dãy số có dạng $f_n = z^n$ sao cho $f_n = 2 f_{n-1} + 3 f_{n-2}$. 4. Tìm công thức tổng quát cho dãy số sau $$c_0 = 7, ~c_1 =1, ~c_n = 2 c_{n-1} + 3 c_{n-2}.$$ 5. Tìm công thức tổng quát cho dãy số Fibonnaci $$F_0 = 0, ~F_1 =1, ~F_n = F_{n-1} + F_{n-2}.$$ Labels: dãy số, đa thức, đại số, đại số tuyến tính, đệ quy, Fibonacci, nội suy, phương trình đặc trưng, rời rạc, sai phân, truy hồi Bài đăng Mới hơn Bài đăng Cũ hơn Trang chủ

Ủng hộ Vườn Toán trên facebook

Facebook

Lưu trữ Blog

  • ▼  2013 (26)
    • ▼  tháng 3 (3)
      • Dãy số - Phần 3
      • Dãy số - Phần 2
      • Dãy số - Phần 1

English Version

English Version

Bài toán kết nối facebook

Phép nhân thời đồ đá

Mắt Biếc Hồ Thu

Lục giác kỳ diệu

Định lý Pitago

1 = 2012 = 2013

Dãy số Fibonacci và một bài toán xếp hình

James vẽ hình

Câu hỏi của James

Hình vuông số chính phương kỳ diệu của Vianney!

Câu đố mẹo về đo lường

Công thức lượng giác Gauss cho 17-giác đều

Chào năm mới 2014

Chào năm mới 2015

Chào năm mới 2016

Không gian 4 chiều là gì?

Dựng hình đa giác đều

Dựng đa giác đều 15 cạnh

Ngày số Pi (2015)

Ngày số Pi (2016)

0.9999999... có bằng 1 không? (2015)

Hình tam giác

Bàn cờ vua và kim tự tháp

Dãy số

Dãy số - Phần 1

Dãy số - Phần 2

Dãy số - Phần 3

Dãy số - Phần 4

Dãy số - Phần 5

Dãy số - Phần 6

Dãy số - Phần 7

Dãy số - Phần 8

Dãy số - Phần 9

Đại số

Tam giác Pascal

Quy nạp

Quy nạp II

Quy nạp III

Nhị thức Newton

1 = 2012 = 2013

Đa thức nội suy Newton

Đa thức nội suy Lagrange

Chứng minh Định lý Wilson bằng công thức nội suy

Tổng luỹ thừa

Số phức

Số phức

Công thức Moivre

Lượng giác

Công thức lượng giác cho góc bội

Công thức lượng giác Gauss cho 17-giác đều

Ngày số Pi (2016)

Radian là gì?

Số học

modulo - Phần 1

modulo - Phần 2

modulo - Phần 3

modulo - Phần 4

modulo - Phần 5

modulo - Phần 6

Số nguyên tố

Định lý Euclid về số nguyên tố

Một vài bài toán về số nguyên tố

Định lý Wilson

Bộ số Pitago

Modulo cho số hữu tỷ

Modulo cho số hữu tỷ II

Chứng minh lại định lý Wilson

Bổ đề Bezout

Thuật toán Euclid

Tổng luỹ thừa

Tổng luỹ thừa và định lý Wolstenholme

Câu đố mẹo về đo lường

Dựng đa giác đều 15 cạnh

Bò đi con bọ cạp!

Liên phân số Fibonacci

Hằng đẳng thức Pitago

Hình vuông số kỳ diệu của Euler

Tổ hợp

Bài toán kết nối facebook

Dãy số Fibonacci và một bài toán xếp hình

Hằng đẳng thức về dãy số Fibonacci

Dãy số Fibonacci và tam giác Pascal

Hình học

Định lý Pitago

Định lý đường cao tam giác vuông

Định lý Morley

Phương tích

Trục đẳng phương và tâm đẳng phương

Định lý Ceva và Định lý Menelaus

Lục giác kỳ diệu

Định lý Pascal

Định lý Pappus

Cánh bướm Pascal

Bài toán con bướm

Định lý Ngôi Sao Do Thái

Hãy xem xét trường hợp đặc biệt

Bài toán về tìm khoảng cách ngắn nhất và một tính chất của hình elíp

Điểm Fermat của hình tam giác

Điểm Fermat của hình tam giác II

Dựng hình

Dựng hình bằng thước và compa

Bài toán chia hình tứ giác

Dựng hình ngũ giác đều

Dựng hình đa giác đều

Dựng đa giác đều 15 cạnh

Định lý đường cao tam giác vuông

Thuật toán dựng hình

Công thức lượng giác Gauss cho 17-giác đều

Dựng hình chỉ bằng compa

Dùng compa chia đều đoạn thẳng

Giải tích

Ngày số Pi 2015

Chuỗi Taylor

Tổng nghịch đảo bình phương

Giúp bé thông minh

Xì-tin năng động

BBC - Học tiếng Anh Du học Hoa kỳ Học Bổng Hoa Kỳ VOA - Học tiếng Anh

Tạp chí toán học

Kỹ năng mềm

Tạo lập tài khoản google

Cách tạo blog toán học

Học toán trên Wolfram

Dịch tài liệu toán học

Viết văn bản toán học PDF trực tuyến bằng LaTeX

Chia xẻ tài liệu toán học trên Google Drive

Từ khóa » Dãy Tuyến Tính