Dãy Số - Phần 7 - Vườn Toán

Trang

• Trang nhà
• Kỹ năng mềm
• Giới thiệu

Dãy số - Phần 7

Hôm nay chúng ta tiếp tục học về phương pháp giải phương trình sai phân tuyến tính để tìm công thức tổng quát cho dãy số. Chúng ta sẽ xem xét trường hợp mà phương trình đặc trưng có nghiệm số phức. Với trường hợp này, chúng ta có hai cách giải. Cách giải thứ nhất giống như trường hợp mà chúng ta đã học ở các bài trước. Còn cách giải thứ nhì thì chúng ta biểu diễn nghiệm số phức dưới dạng lượng giác và chúng ta sẽ có một công thức lượng giác cho dãy số. Giả sử chúng ta có dãy số thực $\{f_n\}$ thõa mãn phương trình sai phân tuyến tính sau đây $$a_k ~f_n + a_{k−1} ~f_{n−1} + a_{k−2} ~f_{n−2}+ \dots + a_0 ~f_{n−k}=0.$$ Ở đây, các hệ số $a_0, a_1, \dots, a_k$ là các số thực, tuy nhiên phương trình đặc trưng $$a_k ~x^k + a_{k−1} ~x^{k−1} + \dots + a_1 ~x + a_0=0$$ lại có nghiệm phức. Chúng ta sẽ phân loại nghiệm này ra làm hai loại:

• Loại nghiệm thực: giả sử phương trình đặc trưng có $t$ nghiệm thực $x_1$, $x_2$, ..., $x_t$, trong đó $x_1$ là nghiệm bội bậc $u_1$, $x_2$ là nghiệm bội bậc $u_2$, v.v...

• Loại nghiệm phức: giả sử phương trình đặc trưng có $s$ bộ nghiệm phức $z_1$, $\overline{z_1}$, $z_2$, $\overline{z_2}$, ..., $z_s$, $\overline{z_s}$, trong đó $z_1$, $\overline{z_1}$ là bộ nghiệm phức bội bậc $v_1$, $z_2$, $\overline{z_2}$ là bộ nghiệm phức bội bậc $v_2$, v.v...

Nếu phân tích ra thừa số thì phương trình đặc trưng sẽ có dạng như sau: $$a_k ~x^k + a_{k−1} ~x^{k−1} + \dots + a_1 ~x + a_0=$$ $$a_k (x-x_1)^{u_1} \dots (x-x_t)^{u_t} (x-z_1)^{v_1} (x-\overline{z_1})^{v_1} \dots (x-z_s)^{v_s} (x-\overline{z_s})^{v_s}.$$ Theo phương pháp mà chúng ta đã học ở các bài trước thì chúng ta có thể chứng minh được công thức cho dãy số là như sau $$f_n = p_1(n) ~x_1^{n} + \dots + p_t(n) ~x_t^{n} + q_1(n) ~z_1^{n} + \overline{q_1}(n) ~\overline{z_1}^{n} + \dots + q_s(n) ~z_s^{n} + \overline{q_s}(n) ~\overline{z_s}^{n},$$ trong đó

• $p_1(n)$, ..., $p_t(n)$ là các đa thức có hệ số thực và có bậc lần lượt bé thua $u_1$, ..., $u_t$; còn

• $q_1(n)$, ..., $q_s(n)$ là các đa thức có hệ số phức và có bậc lần lượt bé thua $v_1$, ..., $v_s$.

Chúng ta xem xét một vài ví dụ. Bài toán 1: Tìm công thức tổng quát cho dãy số sau $$f_0=2, ~f_1=12, ~f_n= 3 f_{n−1} − 9 f_{n−2}.$$ Lời giải: Từ phương trình sai phân $$f_n= 3 f_{n−1} − 9 f_{n−2}$$ chúng ta có phương trình đặc trưng $$x^2 − 3x + 9 =0.$$ Giải phương trình bậc hai này chúng ta có $$\Delta = 3^2 - 4 \times 9 = - 27 < 0,$$ $$\pm ~\sqrt{\Delta} = \pm ~ 3 \sqrt{3} ~i,$$ vậy phương trình có một bộ nghiệm phức $$z_1 = \frac{3 + 3 \sqrt{3} i}{2}, ~~~\overline{z_1} = \frac{3 - 3 \sqrt{3} i}{2}.$$ Chúng ta tìm dãy số có dạng $$f_n = \alpha ~ \left(\frac{3 + 3 \sqrt{3} i}{2}\right)^n + \overline{\alpha} ~ \left(\frac{3 - 3 \sqrt{3} i}{2}\right)^n.$$ Với $n=0,1$, chúng ta có $$f_0= \alpha + \overline{\alpha} = 2,$$ $$f_1= \alpha ~ \frac{3 + 3 \sqrt{3} i}{2} + \overline{\alpha} ~ \frac{3 - 3 \sqrt{3} i}{2} = 12.$$ Từ phương trình thứ nhì, chúng ta có $$f_1= \frac{3}{2} (\alpha + \overline{\alpha}) + \frac{3 \sqrt{3} i}{2} (\alpha - \overline{\alpha}) = 12.$$ Suy ra $$\alpha - \overline{\alpha} = -2 \sqrt{3} ~i.$$ Do đó $$\alpha = 1 - \sqrt{3} ~i, ~~~ \overline{\alpha} = 1 + \sqrt{3} ~i.$$ Từ đó chúng ta có công thức tổng quát cho dãy số $$f_n = (1 - \sqrt{3} ~i) ~ \left(\frac{3 + 3 \sqrt{3} i}{2}\right)^n + (1 + \sqrt{3} ~i) ~ \left(\frac{3 - 3 \sqrt{3} i}{2}\right)^n.$$ Chúng ta biết rằng với một công thức liên quan đến luỹ thừa của số phức thì công thức lượng giác sẽ rất tiện dụng bởi vì chúng ta sẽ sử dụng được công thức Moivre. Chúng ta sẽ biểu diễn bộ nghiệm phức $$\frac{3 \pm 3 \sqrt{3} i}{2}$$ về dạng lượng giác. Trước tiên chúng ta tính giá trị tuyệt đối của chúng $$\left| \frac{3 \pm 3 \sqrt{3} i}{2} \right| = \sqrt{ \left(\frac{3}{2}\right)^2 + \left(\frac{3\sqrt{3}}{2}\right)^2 } = \sqrt{ \frac{9}{4} + \frac{27}{4} } = \sqrt{9} = 3.$$ Từ đó chúng ta có dạng lượng giác $$\frac{3 \pm 3 \sqrt{3} i}{2} = 3 ~\left( \frac{1}{2} \pm i ~\frac{\sqrt{3}}{2} \right) = 3 (\cos{\frac{\pi}{3}} \pm i ~ \sin{\frac{\pi}{3}}).$$ Dùng công thức Moivre chúng ta sẽ tính được $$f_n = (1 - \sqrt{3} ~i) ~ \left(\frac{3 + 3 \sqrt{3} i}{2}\right)^n + (1 + \sqrt{3} ~i) ~ \left(\frac{3 - 3 \sqrt{3} i}{2}\right)^n$$ $$= (1 - \sqrt{3} ~i) ~3^n ~ (\cos{\frac{\pi}{3}} + i ~ \sin{\frac{\pi}{3}})^n + (1 + \sqrt{3} ~i) ~ 3^n ~ (\cos{\frac{\pi}{3}} - i ~ \sin{\frac{\pi}{3}})^n $$ $$= 3^n (1 - \sqrt{3} ~i) (\cos{\frac{n \pi}{3}} + i ~ \sin{\frac{n \pi}{3}}) + 3^n (1 + \sqrt{3} ~i) (\cos{\frac{n \pi}{3}} - i ~ \sin{\frac{n \pi}{3}})$$ $$= 3^n (2 \cos{\frac{n \pi}{3}} + 2 \sqrt{3} \sin{\frac{n \pi}{3}}).$$ Vậy chúng ta đã tìm ra được hai công thức tổng quát cho dãy số $$f_n = (1 - \sqrt{3} ~i) ~ \left(\frac{3 + 3 \sqrt{3} i}{2}\right)^n + (1 + \sqrt{3} ~i) ~ \left(\frac{3 - 3 \sqrt{3} i}{2}\right)^n$$ $$= 3^n ~ \left(2 ~\cos{\frac{n \pi}{3}} + 2 \sqrt{3} ~\sin{\frac{n \pi}{3}} \right).$$ Phương pháp tìm công thức tổng quát cho dãy số ở dạng lượng giác Giả sử chúng ta cần tìm công thức tổng quát cho dãy số thực $\{f_n\}$ thõa mãn phương trình sai phân tuyến tính $$a_k ~f_n + a_{k−1} ~f_{n−1} + a_{k−2} ~f_{n−2}+ \dots + a_0 ~f_{n−k}=0.$$ Các hệ số $a_0, a_1, \dots, a_k$ là các số thực và phương trình đặc trưng $$a_k ~x^k + a_{k−1} ~x^{k−1} + \dots + a_1 ~x + a_0=0$$ có nghiệm phức. Chúng ta sẽ phân loại nghiệm này ra làm hai loại:

• Loại nghiệm thực: giả sử phương trình đặc trưng có $t$ nghiệm thực $x_1$, $x_2$, ..., $x_t$, trong đó $x_1$ là nghiệm bội bậc $u_1$, $x_2$ là nghiệm bội bậc $u_2$, v.v...

• Loại nghiệm phức: giả sử phương trình đặc trưng có $s$ bộ nghiệm phức $z_1$, $\overline{z_1}$, $z_2$, $\overline{z_2}$, ..., $z_s$, $\overline{z_s}$, trong đó $z_1$, $\overline{z_1}$ là bộ nghiệm phức bội bậc $v_1$, $z_2$, $\overline{z_2}$ là bộ nghiệm phức bội bậc $v_2$, v.v...Chúng ta viết các nghiệm phức này về dạng lượng giác như sau $$z_1, \overline{z_1} = r_1 (\cos{\phi_1} \pm i ~ \sin{\phi_1}); ~\dots; ~z_s, \overline{z_s} = r_s (\cos{\phi_s} \pm i ~ \sin{\phi_s}).$$

Vậy thì công thức cho dãy số là như sau $$f_n = p_1(n) ~x_1^{n} + \dots + p_t(n) ~x_t^{n} $$ $$+ r_1^n (g_1(n) ~\cos{n \phi_1} + h_1(n) ~ \sin{n \phi_1}) + \dots + r_s^{n} (g_s(n) ~ \cos{n \phi_s} + h_s(n) ~ \sin{n \phi_s}),$$ trong đó

• $p_1(n)$, ..., $p_t(n)$ là các đa thức có hệ số thực và có bậc lần lượt bé thua $u_1$, ..., $u_t$; còn

• $g_1(n)$, $h_1(n)$, ..., $g_s(n)$, $h_s(n)$ là các đa thức có hệ số thực và có bậc lần lượt bé thua $v_1$, ..., $v_s$.

Ở bài toán dưới đây, chúng ta chỉ tìm công thức dạng lượng giác cho dãy số. Bài toán 2: Tìm công thức tổng quát cho dãy số sau $$f_0=5, ~f_1=12, ~f_n= 6 f_{n−1} − 12 f_{n−2}.$$ Lời giải: Từ phương trình sai phân $$f_n= 6 f_{n−1} − 12 f_{n−2}$$ chúng ta có phương trình đặc trưng $$x^2 − 6x + 12 =0.$$ Giải phương trình bậc hai này chúng ta có một bộ nghiệm phức $3 \pm i~ \sqrt{3}$. Chúng ta sẽ biểu diễn bộ nghiệm phức $3 \pm i~ \sqrt{3}$ về dạng lượng giác. Trước tiên chúng ta tính giá trị tuyệt đối của chúng $$\left| 3 \pm i~ \sqrt{3} \right| = \sqrt{3^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{12} = 2 \sqrt{3}.$$ Từ đó chúng ta có dạng lượng giác $$3 \pm i~ \sqrt{3} = 2 \sqrt{3} ~\left( \frac{\sqrt{3}}{2} \pm i ~\frac{1}{2} \right) = 2 \sqrt{3} (\cos{\frac{\pi}{6}} \pm i ~ \sin{\frac{\pi}{6}}).$$ Chúng ta tìm dãy số có dạng $$f_n = (2 \sqrt{3})^n ~ (\alpha ~ \cos{\frac{n \pi}{6}} + \beta ~ \sin{\frac{n \pi}{6}} ).$$ Với $n=0,1$, chúng ta có $$f_0= \alpha = 5,$$ $$f_1= 2 \sqrt{3} (\alpha ~\frac{\sqrt{3}}{2} + \beta ~\frac{1}{2}) = 12.$$ Giải hệ phương trình này chúng ta có $\alpha = 5$ và $\beta = - \sqrt{3}$. Từ đó chúng ta có công thức tổng quát cho dãy số $$f_n = (2 \sqrt{3})^n ~ (5 ~ \cos{\frac{n \pi}{6}} - \sqrt{3} ~ \sin{\frac{n \pi}{6}} ).$$ Chúng ta tạm dừng ở đây, kỳ sau chúng ta sẽ giải thêm nhiều ví dụ về trường hợp số phức này. Xin hẹn gặp lại các bạn. Bài tập về nhà. 1. Tìm công thức tổng quát cho dãy số sau $$f_0=1, ~f_1=4, ~f_n= 2 f_{n−1} − 4 f_{n−2}.$$ 2. Tìm công thức tổng quát cho dãy số sau $$f_0=2, ~f_1=4, ~f_n = f_{n−1} − f_{n−2}.$$ 3. Tìm công thức tổng quát cho dãy số sau $$f_0=5, ~f_1=6, ~f_n = 3 f_{n−1} − 3 f_{n−2}.$$ 4. Tìm công thức tổng quát cho dãy số sau $$f_0=2, ~f_1=1, ~f_2=10, ~f_n= 4 f_{n−1} − 24 f_{n−3}.$$ 5. Tìm công thức truy hồi cho dãy số sau $$f_n = (5 ~ \cos{\frac{n \pi}{4}} + 3 ~ \sin{\frac{n \pi}{4}}) (\sqrt{2})^n .$$ 6. Tìm công thức truy hồi cho dãy số sau $$f_n = \cos{\frac{n \pi}{4}} + \sin{\frac{n \pi}{4}}.$$ 7. Tìm công thức truy hồi cho dãy số sau $$f_n = 2n + 1 + (3 ~ \cos{\frac{n \pi}{6}} - \sqrt{3} ~ \sin{\frac{n \pi}{6}}) ~(\sqrt{3})^n.$$ 8. Tìm công thức truy hồi cho dãy số sau $$f_n = (2n \cos{\frac{n \pi}{3}} - 2 \sqrt{3} ~ \sin{\frac{n \pi}{3}} ) ~ 3^n.$$ Đáp số. 1. $f_n = (\cos{\frac{n \pi}{3}} + \sqrt{3} ~ \sin{\frac{n \pi}{3}} ) ~ 2^n.$ 2. $f_n = 2 ~ \cos{\frac{n \pi}{3}} + 2 \sqrt{3} ~ \sin{\frac{n \pi}{3}} .$ 3. $f_n = (5 ~ \cos{\frac{n \pi}{6}} - \sqrt{3} ~ \sin{\frac{n \pi}{6}}) ~(\sqrt{3})^n .$ 4. $f_n = (-2)^n + (2 \sqrt{3})^n ~ \cos{\frac{n \pi}{6}}.$ 5. $f_0 = 5, ~~f_1 = 8, ~~f_n = 2 f_{n-1} - 2 f_{n-2}.$ 6. $f_0 = 1, ~~f_1 = \sqrt{2}, ~~f_n = \sqrt{2} f_{n-1} - f_{n-2}.$ 7. $f_0 = 4, ~~f_1 = 6, ~~f_2 = 5, ~~f_3 = -2, ~~f_n= 5 f_{n−1} − 10 f_{n−2} + 9 f_{n-3} - 3 f_{n-4}.$ 8. $f_0 = 0, ~~f_1 = -6, ~~f_2 = -45, ~~f_3 = -162, ~~f_n= 6 f_{n−1} − 27 f_{n−2} + 54 f_{n-3} - 81 f_{n-4}.$ Labels: công thức Moivre, dãy số, đa thức, đại số, đệ quy, lượng giác, nội suy, phương trình đặc trưng, rời rạc, sai phân, số phức, truy hồi Bài đăng Mới hơn Bài đăng Cũ hơn Trang chủ

Ủng hộ Vườn Toán trên facebook

Lưu trữ Blog

• ►  2017 (1)
  • ►  tháng 2 (1)

• ►  2016 (7)
  • ►  tháng 12 (1)
  • ►  tháng 10 (1)
  • ►  tháng 5 (1)
  • ►  tháng 4 (1)
  • ►  tháng 3 (2)
  • ►  tháng 2 (1)

• ►  2015 (12)
  • ►  tháng 12 (1)
  • ►  tháng 11 (1)
  • ►  tháng 10 (1)
  • ►  tháng 7 (1)
  • ►  tháng 5 (2)
  • ►  tháng 4 (4)
  • ►  tháng 3 (1)
  • ►  tháng 1 (1)

• ►  2014 (12)
  • ►  tháng 12 (1)
  • ►  tháng 11 (3)
  • ►  tháng 8 (1)
  • ►  tháng 7 (1)
  • ►  tháng 6 (1)
  • ►  tháng 4 (1)
  • ►  tháng 3 (1)
  • ►  tháng 2 (2)
  • ►  tháng 1 (1)

• ▼  2013 (26)
  • ►  tháng 10 (3)
  • ►  tháng 9 (2)
  • ►  tháng 8 (2)
  • ►  tháng 7 (2)
  • ►  tháng 6 (3)
  • ▼  tháng 5 (3)
    • Dãy số - Phần 9
    • Dãy số - Phần 8
    • Dãy số - Phần 7
  • ►  tháng 4 (3)
  • ►  tháng 3 (3)
  • ►  tháng 2 (3)
  • ►  tháng 1 (2)

• ►  2012 (36)
  • ►  tháng 12 (1)
  • ►  tháng 11 (7)
  • ►  tháng 10 (3)
  • ►  tháng 9 (6)
  • ►  tháng 8 (5)
  • ►  tháng 7 (4)
  • ►  tháng 6 (6)
  • ►  tháng 5 (4)

• ►  2011 (7)
  • ►  tháng 1 (7)

English Version

Bài toán kết nối facebook

Phép nhân thời đồ đá

Mắt Biếc Hồ Thu

Lục giác kỳ diệu

Định lý Pitago

1 = 2012 = 2013

Dãy số Fibonacci và một bài toán xếp hình

James vẽ hình

Câu hỏi của James

Hình vuông số chính phương kỳ diệu của Vianney!

Câu đố mẹo về đo lường

Công thức lượng giác Gauss cho 17-giác đều

Chào năm mới 2014

Chào năm mới 2015

Chào năm mới 2016

Không gian 4 chiều là gì?

Dựng hình đa giác đều

Dựng đa giác đều 15 cạnh

Ngày số Pi (2015)

Ngày số Pi (2016)

0.9999999... có bằng 1 không? (2015)

Hình tam giác

Bàn cờ vua và kim tự tháp

Dãy số

Dãy số - Phần 1

Dãy số - Phần 2

Dãy số - Phần 3

Dãy số - Phần 4

Dãy số - Phần 5

Dãy số - Phần 6

Dãy số - Phần 7

Dãy số - Phần 8

Dãy số - Phần 9

Đại số

Tam giác Pascal

Quy nạp

Quy nạp II

Quy nạp III

Nhị thức Newton

1 = 2012 = 2013

Đa thức nội suy Newton

Đa thức nội suy Lagrange

Chứng minh Định lý Wilson bằng công thức nội suy

Tổng luỹ thừa

Số phức

Số phức

Công thức Moivre

Lượng giác

Công thức lượng giác cho góc bội

Công thức lượng giác Gauss cho 17-giác đều

Ngày số Pi (2016)

Radian là gì?

Số học

modulo - Phần 1

modulo - Phần 2

modulo - Phần 3

modulo - Phần 4

modulo - Phần 5

modulo - Phần 6

Số nguyên tố

Định lý Euclid về số nguyên tố

Một vài bài toán về số nguyên tố

Định lý Wilson

Bộ số Pitago

Modulo cho số hữu tỷ

Modulo cho số hữu tỷ II

Chứng minh lại định lý Wilson

Bổ đề Bezout

Thuật toán Euclid

Tổng luỹ thừa

Tổng luỹ thừa và định lý Wolstenholme

Câu đố mẹo về đo lường

Dựng đa giác đều 15 cạnh

Bò đi con bọ cạp!

Liên phân số Fibonacci

Hằng đẳng thức Pitago

Hình vuông số kỳ diệu của Euler

Tổ hợp

Bài toán kết nối facebook

Dãy số Fibonacci và một bài toán xếp hình

Hằng đẳng thức về dãy số Fibonacci

Dãy số Fibonacci và tam giác Pascal

Hình học

Định lý Pitago

Định lý đường cao tam giác vuông

Định lý Morley

Phương tích

Trục đẳng phương và tâm đẳng phương

Định lý Ceva và Định lý Menelaus

Lục giác kỳ diệu

Định lý Pascal

Định lý Pappus

Cánh bướm Pascal

Bài toán con bướm

Định lý Ngôi Sao Do Thái

Hãy xem xét trường hợp đặc biệt

Bài toán về tìm khoảng cách ngắn nhất và một tính chất của hình elíp

Điểm Fermat của hình tam giác

Điểm Fermat của hình tam giác II

Dựng hình

Dựng hình bằng thước và compa

Bài toán chia hình tứ giác

Dựng hình ngũ giác đều

Dựng hình đa giác đều

Dựng đa giác đều 15 cạnh

Định lý đường cao tam giác vuông

Thuật toán dựng hình

Công thức lượng giác Gauss cho 17-giác đều

Dựng hình chỉ bằng compa

Dùng compa chia đều đoạn thẳng

Giải tích

Ngày số Pi 2015

Chuỗi Taylor

Tổng nghịch đảo bình phương

Giúp bé thông minh

Xì-tin năng động

Tạp chí toán học

Kỹ năng mềm

Tạo lập tài khoản google

Cách tạo blog toán học

Học toán trên Wolfram

Dịch tài liệu toán học

Viết văn bản toán học PDF trực tuyến bằng LaTeX

Chia xẻ tài liệu toán học trên Google Drive