Đề Cương ôn Tập Học Kỳ II Môn Toán Lớp 12

Phần 1

NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG

1. Nguyên hàm

a) Khái niệm

Nếu \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của \(f\left( x \right)\) trên \(K\) thì họ nguyên hàm của \(f\left( x \right)\) trên \(K\) là:

\(\int {f(x)} dx = F(x) + C,C \in R.\)

b) Tính chất

+)\(\int {f'(x)} dx = f(x) + C\)                   

+)\(\int {\left[ {f(x) \pm g(x)} \right]} dx\)\( = \int {f(x)} dx \pm \int {g(x)} dx\)        

+)\(\int {kf(x)} dx = k\int {f(x)} dx (k \ne 0)\)

c) Nguyên hàm của một số hàm số thường gặp

d) Các phương pháp tìm nguyên hàm

- Sử dụng bảng nguyên hàm cơ bản

- Sử dụng phương pháp đổi biến số

\(\int {f\left[ {u(x)} \right].u'(x)} dx = F\left[ {u(x)} \right] + C\)

- Sử dụng phương pháp ừng phần để tìm nguyên hàm

\(\int u dv = uv - \int v du\)

2. Tích phân

a) Định nghĩa

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên khoảng \(I\) và \(a,b\) là hai số bất kì thuộc \(I.\) Nếu \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của \(f\left( x \right)\) thì hiệu số \(F\left( b \right) - F\left( a \right)\) được gọi là tích phân của \(f\left( x \right)\) từ \(a\) đến \(b\) và kí hiệu là \(\int\limits_a^b {f(x)dx} .\)

Ta có công thức Newton – Leibnitz:

\(\int\limits_a^b {f(x)dx}  = \left. {F\left( x \right)} \right|_a^b = F\left( b \right) - F\left( a \right)\)

b) Tính chất

+) \(\int\limits_a^a {f(x)dx}  = 0\)

+) \(\int\limits_a^b {f(x)dx}  =  - \int\limits_b^a {f(x)dx} \)

+) \(\int\limits_a^c {f(x)dx}  = \int\limits_a^b {f(x)dx}  + \int\limits_b^c {f(x)dx} \)

+) \(\int\limits_a^b {kf(x)dx}  = k\int\limits_a^b {f(x)dx} ,k \in R\)

+)\(\int\limits_a^b {[f(x) \pm g(x)]dx}  \)\(= \int\limits_a^b {f(x)dx}  \pm \int\limits_a^b {g(x)dx} \)

c) Phương pháp tính tích phân

- Sử dụng công thức Newton – Leibnitz kết hợp với bảng nguyên hàm cơ bản ở trên

- Phương pháp đổi biến số

\(\int\limits_a^b {f\left[ {u(x)} \right].u'(x)} dx = \int\limits_{u(a)}^{u(b)} {f(u)} du\)

- Phương pháp từng phần để tính tích phân

\(\int\limits_a^b u dv = \left. {uv} \right|_a^b - \int\limits_a^b v du\)

3. Ứng dụng của tích phân

a) Tính diện tích hình phẳng

+) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) (\(f\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\)), trục \(Ox\) và hai đường thẳng \(x = a\) và \(x = b\) được cho bởi công thức:

\(S = \int\limits_a^b {\left| {f(x)} \right|dx} \)

+) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường thẳng \(x = a,x = b\) và đồ thị của hai hàm số \(y = {f_1}\left( x \right)\) và \(y = {f_2}\left( x \right)\) (\({f_1}\left( x \right)\) và \({f_2}\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\)) được cho bởi công thức

\(S = \int\limits_a^b {\left| {{f_1}(x) - {f_2}(x)} \right|dx} \)

c) Tính thể tích vật thể, khối tròn xoay

+) Thể tích vật thể \(T\) có thiết diện \(S\left( x \right)\) được cho bởi công thức:

\(V = \int\limits_a^b {S(x)dx} \)

+) Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\)  liên tục và không âm trên đoạn \(\left[ {a;b} \right].\)  Thể tích của vật thể tròn xoay sinh bởi miền \(\left( D \right)\) giới hạn bởi \(y = f\left( x \right),\;x = a,x = b,y = 0\) quay quanh trục \(Ox\) được cho bởi công thức:

\(V = \pi \int\limits_a^b {{y^2}dx}  = \pi \int\limits_a^b {{f^2}(x)dx} \)

+) Cho hàm số \(x = f\left( y \right)\) liên tục và không âm trên đoạn \(\left[ {a;b} \right].\) Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh bởi miền \(\left( D \right)\) giới hạn bởi \(x = f\left( y \right),\;y = a,y = b,x = 0\)  quay quanh trục \(Oy\) được cho bởi công thức:

\(V = \pi \int\limits_a^b {{x^2}dy}  = \pi \int\limits_a^b {{f^2}(y)dy} \)