Đề Thi Chọn HSG Cấp Thành Phố Môn Toán Lớp 9

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP THÀNH PHỐ

THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH KHÓA THI NGÀY 10.6.2020

Môn thi: TOÁN

Thời gian làm bài: 120 phút

(không kể thời gian phát đề)

Bài 1. (4 điểm)

Cho các số thực ,, abc thoả mãn điều kiện

1 1 1

a b c

b c a

a) Cho 1 a , hãy tìm ,. bc

b) Chứng minh rằng nếu ,, abc đều dương thì a b c .

Bài 2. (3 điểm)

Cho ba số dương ,, x y z thỏa điều kiện 3. x y z Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

11

P

xy xz

.

Bài 3. (4 điểm)

Cho tam giác đều ABC . Trên các cạnh , BC AB lần lượt lấy các điểm , MN sao cho

1

;

3

BM BC

1

.

3

AN AB

a) Chứng minh MN vuông góc với . BC

b) Gọi I là giao điểm của AM và . CN Tính góc BIC .

Bài 4. (3 điểm)

Giả sử ,, abc là ba số đôi một khác nhau và 0 c . Chứng minh rằng nếu phương trình

2

0 x ax bc và phương trình

2

0 x bx ca có đúng một nghiệm chung thì các

nghiệm khác của hai phương trình trên thỏa mãn phương trình

2

0. x cx ab

Bài 5. (4 điểm)

Cho tam giác ABC vuông tại A () AB AC có đường cao AH . Đường tròn tâm H bán

kính HA cắt cạnh AC tại . D Đường thẳng qua D vuông góc với AC cắt BC tại . E

a) Chứng minh . BH HE

b) Đường thẳng qua E vuông góc với BC cắt đường tròn () H tại ,. KL Chứng minh

, CKCL là các tiếp tuyến của () H .

Bài 6. (2 điểm)

Gọi S là tập hợp gồm 1011số nguyên dương phân biệt có giá trị không quá 2020. Chứng

minh rằng trong S có hai số mà tổng của chúng bằng 2021.

HẾT

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

(Đề thi gồm 01 trang)

ĐÁP ÁN

Bài 1. (4 điểm)

Cho các số thực ,, abc thoả mãn điều kiện

1 1 1

a b c

b c a

(*)

a) Cho 1 a , hãy tìm ,. bc

Thay 1 a vào (*), ta có hệ:

11

2

1

1

1 1 1

1 2 1

2

2

c

cc

c

bb

b

b

b b b

b

b) Chứng minh rằng nếu ,, abc đều dương thì a b c .

•

1 1 1 1

a b b c c a a a

b c c a

(vô lý)

•

1 1 1 1

a b b c c a a a

b c c a

(vô lý)

•

11

. a b b c a b c

bc

Bài 2. (3 điểm)

Cho ba số dương ,, x y z thỏa điều kiện 3. x y z Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

11

P

xy xz

.

Giải.

22

1 1 4 4 16

( ) 9

22

y z y z

P

xy xz xyz x y z

y z x y z

x

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

3

2

3

3

4

yz

x

x y z

yz

x y z

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là

16

9

.

Bài 3. (4 điểm)

Cho tam giác đều ABC . Trên các cạnh , BC AB lần lượt lấy các điểm , MN sao cho

1

;

3

BM BC

1

.

3

AN AB

a) Chứng minh MN vuông góc với . BC

b) Gọi I là giao điểm của AM và . CN Tính góc BIC .

a) Gọi ' M là hình chiếu của N trên . BC

Ta có:

0

' cos60 BM BN

1

2

BN AN BM

Suy ra ' M trùng M  đpcm.

b) Ta có: ABM CAN (c – g – c)

AMB ANC

 BMIN nội tiếp.

BIN BMN

0

90 BIN

0

90 BIC

Bài 4. (3 điểm)

Giả sử ,, abc là ba số đôi một khác nhau và 0 c . Chứng minh rằng nếu phương trình

2

0 x ax bc và phương trình

2

0 x bx ca có đúng một nghiệm chung thì các

nghiệm khác của hai phương trình trên thỏa mãn phương trình

2

0. x cx ab

Giải.

Gọi

0

x là nghiệm chung của hai phương trình.

Ta có

2

00

0 x ax bc và

2

00

0 x bx ca

Suy ra

00

( ) ( ) a bx ca b x c (do ab )

2

00 c ac bc a b c (do 0 c ) a b c

Suy ra , ab là nghiệm của phương trình

2

0. x cx ab

Bài 5. (4 điểm)

Cho tam giác ABC vuông tại A () AB AC có đường cao AH . Đường tròn tâm H bán

kính HA cắt cạnh AC tại . D Đường thẳng qua D vuông góc với AC cắt BC tại . E

a) Chứng minh . BH HE

b) Đường thẳng qua E vuông góc với BC cắt đường tròn () H tại ,. KL Chứng minh

, CKCL là các tiếp tuyến của () H .

I

N

A

B

M C D

a/ Chứng minh . BH HE

Kẻ HM vuông góc với AD  MA MD .

Ta có MH //AB //DE và MA MD  . BH HE

b/ Chứng minh , CKCL là các tiếp tuyến của () H .

Ta có

22

.. HK HA HBHC HEHC

 HEK ∽ HKC



0

90 HKC HEK

 CK là tiếp tuyến của ( ). H

Tương tự CL cũng là tiếp tuyến của ( ). H

Bài 6. (2 điểm)

Gọi S là tập hợp gồm 1011số nguyên dương phân biệt có giá trị không quá 2020. Chứng

minh rằng trong S có hai số mà tổng của chúng bằng 2021.

Giải.

Xét tập hợp T gồm tất cả các số dạng 2021 s với . sS

Do đó T cũng có 1011số nguyên dương phân biệt có giá trị không quá 2020.

Từ đó tập ST có 2022 số nguyên dương có giá trị không quá 2020 .

Nên tồn tại hai số , x y S sao cho 2021 xy hay 2021 xy (x không thể bằng y do

2021 là số lẻ).

M

K

L

D

E H

B

C

A