Đề Thi HSG Cấp Huyện Môn Toán Lớp 9 (25 đề Kèm đáp án) - 123doc

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN MÔN: TOÁN LỚP 9 ĐỀ SỐ: 01 Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) (Đề thi HSG Toán 9 –H. Đông Sơn Năm học 2018 – 2019) ĐỀ BÀI Câu 1 (4.0 điểm) 1.Cho biểu thức a. Rút gọn M b. Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức M nhận giá trị là số nguyên 2. Cho a, b, c là ba số thực dương thỏa mãn điều kiện . Tính giá trị của biểu thức: . Câu 2 (4.0 điểm) 1.Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn: 2xy2 + x +y +1 = x2 +2y2+xy 2. Giải phương trình : Câu 3 (4.0 điểm) 1.Chứng minh rằng với mọi n là số tự nhiên thì A= ( 10n + 10n1 +…+ 10 + 1) ( 10n+1+5) +1 là số chính phương nhưng không phải lập phương của một số tự nhiên. 2. Tìm các cặp số thực (x;y) thỏa mãn các điều kiện: Câu 4 (6.0 điểm) Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC vuông tại A với đường cao AH. Các tiếp tuyến với đường tròn (O) tại A và B cắt nhau tại M, CM cắt AH tại I, OM cắt AB tại J a. Chứng minh hai tam giác MOB và ACH đồng dạng b. Chứng minh I là trung điểm của AH c. Cho BC = 2R và OM = x. Tính AB và AH theo R và x d. Tính giá trị lớn nhất của AH khi x thay đổi Câu 5 (2.0 điểm) Cho các số thực dương x, y thoả mãn điều kiện Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: Q = x+y Hết HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HSG CẤP HUYỆN MÔN: TOÁN LỚP 9 ĐỀ SỐ: 01 (Đề thi HSG Toán 9 –H. Đông Sơn Năm học 2018 – 2019) . Câu Nội dung Điểm 1 1. (3,0 điểm) a. ĐKXĐ: x ; M= b, M= = Để M nguyên => Ư(3) ( Vì ĐKXĐ) => x= 0 ( thỏa mãn ĐKXĐ) x = 4 ( Không thỏa mãn ĐKXĐ) Vậy x= 0 thì M nhận giá trị nguyên 2. (1,0 điểm) Ta có: Tương tự: 0,5 1,5 0,25 0,5 0,5 0,25 0,5 0,5 0,5 0,5 2 1.(2,0 điểm) Ta có 2xy2 +x +y +1 = x2+ 2y2 +xy 2y2( x 1) – x( x1) – y( x1) +1 = 0 (1) Nhận thấy x= 1 không phải là nghiệm của phương trình (1) chia cả hai vế cho x1 ta được 2y2 –x –y + = 0(2) Vì pt có nghiệm x,y nguyên nên nguyên nên x1 Thay x= 0 vào (2) ta được 2y2 –y 1 = 0 => y = 1; y = Thay x= 2 vào (2) ta được 2y2 –y – 1=0 => y =1; y = Vậy (x,y) 2.(2,0 điểm) ĐK: Vì nên Suy ra : (tm) Vậy pt có nghiệm : 0,5 0,75 0,5 0,25 0,25 0,5 0,5 0,5 0,25 3 1. (2,0 điểm) Ta có Vậy A là số chính phương Mặt khác = 22. = A Do A nhưng A không chia hết cho 8 nên A không thể là lập phương của một số tự nhiên 2. (2,0 điểm) Điều kiện: Theo gt ta có Đặt , khi đó : Suy ra hoặc Nếu thì (thỏa mãn) Nếu thì (thỏa mãn) Vậy : 0,5 0,5 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,75 0,75 4 a. (2,0 điểm) Chứng minh  Ta có MA = MB ( Tc tiếp tuyến) OA = OB = R => OM là trung trực của đoạn AB => OM vuông góc với AB tại J nên OM AC => =>  (g.g) b.(1,5 điểm) Trong có HIBM nên (1)  => (2) Chia (1) cho (2) theo từng vế ta được => I là trung điểm của AH c.(0,75 điểm) vuông ở B nên OB2 = OJ . OM => OJ = OJB vuông ở J nên BJ2 = OB2 – OJ2 = => BJ = với x > R ABC vuông ở A nên AC2 = BC2 – AB2 = => AC = Lại có BC . AH = AB . AC => AH = = với x > R d.(0,75 điểm) Ta chứng minh: AH ≤ R (3) ≤ R 2R 4R2 ( x2 – R2) ≤ x4 x4 – 4R2 x2 + 4R4 ≥ 0 (x2 – 2R2)2 ≥ 0 với x > R Dấu = xảy ra khi và chỉ khi x2 – 2R2 = 0 x = R Vậy AH đạt giá trị lớn nhất bằng R khi x = R 2,0 1,5 0,75 0,75 5 (2,0 điểm) Do x, y > 0 và ta suy ra x > y > 0 và xy(xy)2 = (x+y)2 (1) Đặt a = x+ y; b = xy (a, b > 0 ; a2 4b) Ta có: (1) Suy ra: b1 > 0 và Lại có: (theo bđt cô si) Do đó: Mà a > 0 nên Dấu “=” xảy ra khi Khi đó: (Vì x > y) Vậy Min (x+y)=4 khi . 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 Hết ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN MÔN: TOÁN LỚP 9 ĐỀ SỐ: 02 Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Nguồn: Đề thi HSG Toán 9 –H. Thiệu Hóa, ngày 24102017Năm học 2017 2018 ĐỀ BÀI Câu 1: (4,0 điểm) Cho biểu thức a) Rút gọn biểu thức A. b) Tính giá trị của A khi c) So sánh A với . Câu 2: (4,0 điểm) a) Giải phương trình : . b) Tìm các cặp số nguyên (x, y) thoả mãn: Câu 3: (4,0 điểm) a) Cho a, b, c là 3 số nguyên thỏa mãn: a + b + c = . Chứng minh rằng: a5 + b5 + c5 chia hết cho 5. b) Cho a, b, c, d là các số hữu tỉ khác 0 thỏa mãn điều kiện: . Chứng minh rằng: là số hữu tỉ. Câu 4: (5,0 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn với các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. a) Chứng minh rằng: và b) Chứng minh rằng : c) Nếu = thì khi đó tam giác ABC là tam giác gì? Câu 5: (1,0 điểm) Cho tam giác đều ABC; các điểm D, E lần lượt thuộc các cạnh AC, AB sao cho BD cắt CE tại P và diện tích tứ giác ADPE bằng diện tích tam giác BPC. Tính Câu 6: (2,0 điểm) Cho các số thực dương x, y, z thoả mãn: x + y + z = 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A = Hết

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN

Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) (Đề thi HSG Toán 9 –H Đông Sơn - Năm học 2018 – 2019)

ĐỀ BÀI Câu 1 (4.0 điểm) 

2 3

2 2

3 :

1

1

x x

x x

x x

x x

-Hết -

HƯỚNG DẪN CHẤM

ĐỀ THI HSG CẤP HUYỆN MÔN: TOÁN - LỚP 9 ĐỀ SỐ: 01 

(Đề thi HSG Toán 9 –H Đông Sơn - Năm học 2018 – 2019) 

     0,5    0,75     0,5   0,25  

Câu Nội dung Điểm

9 6 2

2x  x  x2  x

x x

x

4 5 4 7 9 6 2 2

4 7

1 4

1 )

1 ( 2

1 1

4

33 3

2 10

9

9 5 10 4 10

1 5 10 9

1 10

n n

Câu Nội dung Điểm

10

HI

=> I là trung điểm của AH 

c.(0,75 điểm) MOB vuông ở B nên OB2 = OJ . OM => OJ = 

 2,0        1,5        

Câu Nội dung Điểm

x

R OM

x

R x R x

=> AH = 

BC

AC AB.

R

 ≤ R      <=> 2R 2 2 2

x R

x     <=> 4R2 ( x2 – R2) ≤ x4        <=> x4 – 4R2 x2 + 4R4 ≥ 0  

<=> (x2 – 2R2)2 ≥ 0 với x > R 

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x2 – 2R2 = 0 <=> x = R 2 

Vậy AH đạt giá trị lớn nhất bằng R khi x = R 2 

0,75       0,75       





b

b a

 Lại có:  1 1 11 ( 1) 11 2 2 ( 1). 11 2 4

2 2 2

4

y

x xy

y x

 (Vì x > y) 

     Vậy  Min (x+y)=4 khi x2 2;y2 2. 

   0.25  0.25       0.25  0.25   0.25   0.25  0.25  0.25  -Hết - 

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN

- Hết -

HƯỚNG DẪN CHẤM

ĐỀ THI HSG CẤP HUYỆN MÔN: TOÁN - LỚP 9 ĐỀ SỐ: 02 

Nguồn: Đề thi HSG Toán 9 –H Thiệu Hóa, ngày 24/10/2017-Năm học 2017 - 2018 

  0,5 

        2 2

V P   x x   x          Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x  1 VT VPx  1 

      Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x  1 

0,5 0,5 0,5 

 x – 1 = -1  x = 0 

 x – 1 = 1   x = 2 Thay x = 0 vào PT(2) ta được: 2y2 y 1  0  y 1; 

Mặt  khác  5a(a - 1)( a+ 1) chia hết cho 5  (**) 

Từ (*) và (**) suy ra  a5 – a  chia hết cho 5      (1)  tương tự có  b5 – b  chia hết cho 5  (2), c5 – c  chia hết cho 5  (3) 

Từ (1) (2) (3) suy ra  a5 – a + b5 – b +  c5 – c  chia hết cho 5    

Mà  a + b+ c = 24102017  chia hết cho 5  Nên    a5  + b5 +  c5  chia hết cho 5 

0,25  0,25  0,5 0,25 0,25 0,5 

Tam giác ACF vuông tại F nên cosA = AF

AC . Suy ra AE

AB=AF

AC  AEF : ABC c g c( )  

* Từ AEF: ABC suy ra 

2 2

cos

AEF ABC

S

HA HC

AB BC  S  Do đó:  

 0,5  0,5 0,5 0,5  

1  

1   0,25  0,25 

.

 0,25 0,25 

Do đó  AEC CDB c( gc)DBC· ·ECA 

Lưu ý: Học sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa

- Hết -

  Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức: A = x + y + 1. 

Bài 4: (6,0 điểm)

Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a. N là điểm tùy ý thuộc cạnh AB. Gọi E là giao điểm của CN và DA. Vẽ tia Cx vuông góc với CE và cắt AB tại F. Lấy M là trung điểm của EF. 

a) Chứng minh: CM vuông góc với EF.  

b) Chứng minh: NB.DE = a2 và B, D, M thẳng hàng. 

c) Tìm vị trí của N trên AB sao cho diện tích của tứ giác AEFC gấp 3 lần diện tích của hình vuông ABCD 

Bài 5: (1,0 điểm) Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng:  

abbc ca  bc  ca  ab  

- Hết -

HƯỚNG DẪN CHẤM

ĐỀ THI HSG CẤP HUYỆN MÔN: TOÁN - LỚP 9 ĐỀ SỐ: 03 

Nguồn: Đề thi HSG Toán 9 – TP Thanh Hóa -Năm học 2016 - 2017 

:2

1

:2

.1

21

71

7 khi x = 4  

    0,5      1,0  0,25  0,25  

0.25   0,25   0,25  0,25 

+) Nếu x – 1 = 1   x = 2  Khi đó 2y2  - y – 2 = - 1  

y = 1 (t/m)  hoặc y =  1

2



Z (loại) +) Nếu x – 1 = -1   x = 0  Khi đó 2y2  - y  = 1  

 y = 1 (t/m)  hoặc y =  1

 0,5   0,5  0,5  0,5 

C

B A

D

N

Ta có:  ·ECDBCF·  (cùng phụ với  ·ECB ) 

Chứng minh được:   EDC =   FBC (cạnh góc vuông – góc nhọn)  

 CE = CF 

 ECF cân tại C 

Mà CM là đường trung tuyến nên CM   EF 

      1.0  

a2 = NB.DE (đpcm) 

0,5    0.5 

*   CEF vuông tại C có CM là đường trung tuyến nên 

EF2

CM   

 AEF vuông tại A có AM là đường trung tuyến nên 

EF2

AM   

CM = AM   M thuộc đường trung trực của AC. 

Vì ABCD là hình vuông nên B, D thuộc đường trung trực của AC 

B, D, M thẳng hàng vì cùng thuộc đường trung trực của 

AC (đpcm). 

      0.5       0.5 

c

2đ  

  Đặt DE = x (x > 0)   BF = x       

       SACFE = SACF + SAEF = 1AF AE CB

1(a x)x2

Lưu ý: Học sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa

- Với bài 5, nếu học sinh vẽ hình sai hoặc không vẽ hình thì không chấm

2 2

1 ).

1 1

y x y

x xy y

x y

xy xy

y

x 

 a) Rút gọn biểu thức A. 

HƯỚNG DẪN CHẤM

ĐỀ THI HSG CẤP HUYỆN MÔN: TOÁN - LỚP 9 ĐỀ SỐ: 04 

Nguồn: Đề thi HSG Toán 9 –H Thiệu Hóa, ngày 12/01/2017-Năm học 2016 - 2017 

1 (

) y x (

2 xy

2 y x

1 ).

y

1 x

) y x (

) y x ( 2 )

y x (

xy

y x

xy xy

=

2

) y x ( xy

xy 2 y x

xy xy

xy xy

y x

xy

Vậy A = 

y x

xy

0,5đ   0,5đ  0,5đ   0,5đ 

4 ) 5 ( 3 2 ) 5 3 ( ) 5 3 (

] 5 3 (

) 5 3 [(

xy 2 y x

) xy

2 2

2 2

 0,5đ  

 0,5đ  

K N

D

I H

 (3) (Vì (a+b)24ab.  Dấu “ = “ xảy ra khi: (1); (2); (3) cùng xảy ra dấu “=” và a 

Lưu ý: Học sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa

- Hết -

1

2 2

1 2

3 9 3

x x

x

x x

x          Chứng minh A = xy chia hết cho 12 

HƯỚNG DẪN CHẤM

ĐỀ THI HSG CẤP HUYỆN MÔN: TOÁN - LỚP 9 ĐỀ SỐ: 05 

Nguồn: Đề thi HSG Toán 9 –H Vĩnh Lộc - Năm học 2016 - 2017 

1 2

3 9 3

x x

x

x x

a. Tìm ĐKXĐ và rút gọn P b.Tìm x để P < 0 

1 1

x x

x do x x

a n

a n

a n a

1(mod 3) 1(mod 3) 1(mod 3) 1(mod 3)

1(mod 4) 1(mod 4) 1(mod 4) 1(mod 4)

2(mod 4)

x y x y

1(mod 4) 2(mod 4) 1(mod 8) 4(mod 8)

Câu a( 2 điểm):  Chứng minh  AC’C  AB’B 

cos

AB C ABC

AB C BA C CA B

ABC ABC A B C

35

x x

x y

x y

Lưu ý: Học sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa

- Hết -

HƯỚNG DẪN CHẤM

ĐỀ THI HSG CẤP HUYỆN MÔN: TOÁN - LỚP 9 ĐỀ SỐ: 06 

(Đề thi HSG Toán 9 –TP Bắc Giang – Năm học 2016 – 2017) 

a  b  b c  a c        =

a b c abc a b c ab bc ca

x x

    0,25   0,25         1đ       0,25  

 2 2 23

T G F

B A

Ta có 1 4  1989  4n27>4n 27  (2n 27 2 )  

1 4   4n  là số chính phương nên ta có   

1 4   4n  27 2

2n 1

   2n27  23977n 4004 Với n=4004 ta có A= 27 2016 4004  27 40042

yz z

y

xy y

x

5)(4

4)(3

3)(2

Câu 3: (4,0 điểm).  

  a) Cho a, b, c là ba số thực dương thỏa mãn điều kiện  a  b c abc  Tính 4giá trị của biểu thức: A a(4b)(4c) b(4c)(4a) c(4a)(4b) abc.   b) Giải phương trình nghiệm nguyên:  (x + 1)(x2

+ 1) = (2y + 1)2

.  

Câu 4: (5,0 điểm) Cho đường tròn (O,R) và một đường thẳng d không có điểm chung 

với đường tròn. Trên d lấy một điểm M bất kỳ, qua M kẻ các tiếp tuyến MA, MB với đường tròn (A, B là các tiếp điểm). Kẻ đường kính AOC, tiếp tuyến của (O) tại C cắt 

HƯỚNG DẪN CHẤM

ĐỀ THI HSG CẤP HUYỆN MÔN: TOÁN - LỚP 9 ĐỀ SỐ: 07 

Nguồn: Đề thi HSG Toán 9 –H Thiệu Hóa, ngày 25/11/2015-Năm học 2015 - 2016 

) 3 ( 2 ) 3 )(

1 (

x x

x

x x

) 1 )(

3 (

) 1 )(

3 ( ) 3 ( 2

x x

x x

x

)1)(

3(

34

1812

23

x x

x x

x x

1

8 )

1 )(

3 (

) 3 )(

8 ( ) 1 )(

3 (

24 8

x

x x

x x

x x x x

0,5 đ   0,5 đ   0,5 đ   0,5 đ  

0

x x

x x

c

(1,0đ)

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có: 

4 1

) 1 ( 4 1

4 4 1

4 4 1

x x

x x

yz z

y

xy y x

5 ) (

4

4 ) (

3

3 ) (

3

4 1 1

2

3 1 1

x z

z y

y x

  

z y x

1 1 1

19 1 24

17 1

z y

z y

24

; 17

24

) 

     0,75 đ     0,25 đ  

a

(2,0đ)

 (4 )(4 ) (4 )(4 ) (4 )(4 )



1 1

= 1  y = 0 hoặc y = - 1    (Thỏa mãn pt) 

   Vậy nghiệm của phương trình là: (x; y) (0; 0); (0; 1)  

 0,25 đ 0,25 đ   0,5 đ   0,5 đ   0,5 đ 

C

B M

O A

AQM  và AMO OMB(Dễ chứng minh). 

Suy ra AMO  OMB=BCE (cùng phụ với hai góc bằng nhau) 

tan BCE = tan OMB 

MB

OB BC

BE

BE

OB BC

MB

  (1) Lại có MBA OBC (cùng phụ với góc ABO) 

Nên MBC  OBE( cùng = 900  + OBC)   (2)      

Từ (1) và (2) suy ra  MBC   OBE (c.g.c). 

 0,5 đ  0,5 đ  0,5 đ    0,5 đ 

   NIC (g.g)  IBE  INC 

Mà IBE 90 0 => INC 90 0. Vậy CM   OE 

0,5 đ  0,5 đ  0,5 đ  

Lưu ý: Học sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa

- Hết -

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN

Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) (Đề thi HSG Toán 9 –TP Thanh Hóa -Năm học 2015 – 2016)

ĐỀ BÀI Bài 1: (4,0 điểm)

Cho P = 

2 3

2 2

x x x

x

 + 

2 3

2 2

x x x x

x x

2 3 3

1 3

1 a + 4

1 b  

-Hết - 

HƯỚNG DẪN CHẤM

ĐỀ THI HSG CẤP HUYỆN MÔN: TOÁN - LỚP 9 ĐỀ SỐ: 08 

(Đề thi HSG Toán 9 –TP Thanh Hóa -Năm học 2015 – 2016) 

2 (

) 1 )(

1 )(

2 (

x x

x

 + 

2

) 1 )(

2 (

) 1 )(

1 )(

2 (

x x

 > 0 

 1

0,5 0,5    0,5    0,5   0,5 

 0,5 0,5 0,5 

;

 0,25   0,25  0,25 

0

xy

xy

 Với xy = 0. Kết hợp với x + y = 0  x = y = 0 

1

y

x

 + Nếu x + y0  (x + y)2 là số chính phương 

xy(xy + 1) là hai số nguyên liên tiếp khác 0 nên chúng nguyên 

tố cùng nhau. Do đó không thể cùng là số chính phương Vậy nghiệm nguyên của phương trình là (x; y) = (0; 0); (1; -1); 

(-1; 1) 

 0,5  0,5  0,5   0,5 

Q P

H

I

C

B A

Suy  ra  MHP  =  NHQ   MHQ  =  NHP   MHN  và  PHQ  có cùng tia phân giác 

Mặt khác dễ có IPHQ và KMHN là các hình thoi. 

Suy ra HK và HI lần lượt là phân giác của MHN và PHQ. Suy 

ra H, I, K thẳng hàng 

      0,5  0,5 0,5  0,5 

k

n m

F E

Q P

H I

D

C

B A

 Đặt BD = x, DC = y. Giả sử x < y. Pitago trong tam giác vuông AHD ta tính được HD = 27cm. Vẽ tia phân giác của góc ngoài tại A, cắt BC ở E. Ta có AE AD nên AD2 = DE.DH. Suy ra  

75

 (1) Mặt khác x + y = 40 (2) Thay y = 40 – x vào (1) và rút gọn được 

x2 – 115x + 1500 = 0  (x – 15)(x – 100) = 0 

Do x < 40 nên x = 15, từ đó y = 25.  

Vậy DB = 15cm, DC = 25cm 

       0,5   0,5   0,5  0,5  

17

8

2 2



 b a

) (

Lưu ý: - Học sinh làm cách khác đúng cho điểm tương đương 

- Bài hình không có hình vẽ hoặc hình vẽ sai không cho điểm 

-Hết - 

1 1 1

x

x x

x

x

       a) Rút gọn P 

       b) Tìm x để P = 

7

2

         c) So sánh P2 với 2P. 

HƯỚNG DẪN CHẤM

ĐỀ THI HSG CẤP HUYỆN MÔN: TOÁN - LỚP 9 ĐỀ SỐ: 09 

Nguồn: Đề thi HSG Toán 9 –H Thiệu Hóa, ngày 27/11/2013-Năm học 2013 - 2014 

1 1 )

1 )(

1 (

x

x x

x x

10

Đặt  2

4

x   = t (t0) Điều kiện  x 2 

(Thỏa mãn điều kiện) 

24z 1 1 0

C

B A

d

       a) 

Ta có:IAC HACCI CH CK 

( , ) 2

 0,5 đ  0,5 đ   0,5 đ 

AB

 khi BK = KA, tức K là trung điểm của cạnh AB. 

  0,5 đ  0,25 đ  0,5 đ    0,5 đ   0,25 đ  

H 

K 

M 

Lưu ý: Học sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa

- Hết -

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN

k

  b)  Giải phương trình:    

923

22

2 2

)xx

()xx

(

Bài 4 ( 4.0 điểm) 

Cho tam giác ABC cân ( AB = AC , BAC < 450) . Lấy điểm D trên cạnh BC sao cho DC < DB. Qua D kẻ các đường thẳng song song với AB, AC lần lượt cắt 

AC, AB thứ tự tại M, N. Điểm H đối xứng với D qua đường thẳng MN. Gọi giao điểm của các đường thẳng AH và BC là I. 

-Hết - 

x 1 3 x  (x 1)(3x )  2

 < 0, giải ta tìm được 1< k < 2.  

    ( 0,25 điểm)       +  Vậy giá trị cần tìm của k là  1< k < 2  ;  k  1,5        ( 0,5 điểm) 

0 1 x

x    <=>  -1  x  3         (0,25 điểm)      +  Đặt y =  x1  3x   ( điều kiện y  0) 

  a < b + c  =>  2a < a + b + c  =  2  =>  a < 1  =>  b < 1  ,  c < 1      (0,5 điểm) 

  =>  (1 – a) (1 – b) (1 – c) > 0  =>  ab + bc + ca > 1 + abc    (1)  (0,5 điểm) 

     +   Mặt khác ( a + b + c)2  =  a2 + b2 + c2  +  2(ab + bc + ca)  

     =>      4   =   a2 + b2 + c2  +  2(ab + bc + ca)    (2)       (0,5 điểm)       +  Từ (1) (2)      4   >   a2 + b2 + c2  +  2( 1 + abc ) 

         =>    a2 + b2 + c2  +  2abc  <  2         (ĐPCM)       (0,5 điểm) 

     + Ta thấy A đạt giá trị nhỏ nhất khi    y  +  

y

16  đạt giá trị nhỏ nhất.  

  Vì  y > 0   => 

y

16 > 0  mà  y.  

y

16 = 16 không đổi,  

nên y  +  

y

16   đạt giá trị nhỏ nhất khi   y  =  

y

16  .  Tính được y = 4 (vì y > 0 )      (0,5 điểm) 

     + Do đó     x2  +  2x  +  1  =   4  =>   x2  +  2x  -  3  =  0  => ( x + 3) ( x – 1) = 0 

  =>  x = - 3 ;  x = 1 

4

16  +  10  = 18   Đáp số:  min A = 18  <=>   x = - 3 ;  x = 1        (0,5 điểm)  

M K

G

N

H

2 2

1 1

2

1

 ND

Lưu ý: - Các cách giải khác đúng cho điểm tương đương

- Nếu không vẽ hình hoặc vẽ sai bài 4, bài 5 thì không chấm điểm. 

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN

Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Nguồn: Đề thi HSG Toán 9 –H Bình Giang - Năm học 2012 - 2013

ĐỀ BÀI Câu I (2,0 điểm). 

nghịch biến. 

Câu IV (3,0 điểm)

1)  Cho tam  giác  ABC có ba góc nhọn  nội tiếp  đường tròn  (O ;  R),  hai  đường cao BE và CF của tam giác cắt nhau tại H. Kẻ đường kính AK của đường tròn (O ; R), gọi I là trung điểm của BC. 

HƯỚNG DẪN CHẤM

ĐỀ THI HSG CẤP HUYỆN MÔN: TOÁN - LỚP 9 ĐỀ SỐ: 11 

Nguồn: Đề thi HSG Toán 9 –H Bình Giang - Năm học 2012 - 2013 

x 1 x x 1

x x A

 0.25  0.25  0.25  0.25 

(TM) 1

 x2 x20 x2x 1 0 x = 1 hoặc x = - 2 (TM) 

 0.25  0.25  0.50 

1a

(1,0 đ)

K

H F

  là trung điểm của HK 

O là trung điểm của AK (gt) OI

  là đường trung bình của  KAH 

1

OI AH AH 2.IO 2

  0.25    0.25    0.25  0.25 

A B

Lưu ý: Học sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa

- Hết -

- Hết -

HƯỚNG DẪN CHẤM

ĐỀ THI HSG CẤP HUYỆN MÔN: TOÁN - LỚP 9 ĐỀ SỐ: 12 

Nguồn: Đề thi HSG Toán 9 –H Kim Thành - Năm học 2012 - 2013 

Câu 3: (4 điểm) 

Giải các phương trình sau: 

a/  1 x 4 x 3 

x y y

Hay: a2 – a – 2  0  a2  a + 2 

3AK. Chứng minh rằng: tanB.tanC = 3 c/ Giả sử SABC = 120 cm2 và BÂC = 600. Hãy tính diện tích tam giác ADE? 

D

K

C B

A

 Mặt khác ta có: Bµ ·HKC mà: tanHKC =  KC

KH   Nên tanB =  KC

KH tương tự tanC =  KB

tan tanB C KB KC

KH

2 2

45 ) )(

(

2 2

2 2

y x y x

y x y x

b)  Cho  tam  giác  ABC  có  diện  tích bằng 36  (đơn  vị  diện  tích).  Trên  cạnh  BC  và cạnh CA lần lượt lấy điểm D và E sao cho DC = 3DB và EA = 2EC; AD cắt BE tại I. Tính diện tích tam giác BID. 

Câu 5: (2 điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 

2 10 2

10

) 1

( ) (

4

1 2

1

y x y

x x

y y

HƯỚNG DẪN CHẤM

ĐỀ THI HSG CẤP HUYỆN MÔN: TOÁN - LỚP 9 ĐỀ SỐ: 13 

Nguồn: Đề thi HSG Toán 9 –H Yên Định, ngày 26/02/2013-Năm học 2012 - 2013 

2 0

) 1 2 )(

2 (

0 2 4 2

0 2 3

y

y y

y

y y y y

2

2 2 7

2

2 2

x x x

x x x

0 9

2 2

x x

2

3 2

x

x x

x

 Kết luận nghiệm bất phương trình 

0.25đ  0.5đ  0.25đ  0.25đ  0.5đ 0.25đ 

45 ) )(

(

2 2

2 2

y x y x

y x y x

(

) 1 ( 45 ) )(

(

2 2 2

y x y x

y x y x

  0.5đ  0.5đ   0.75đ  0.25đ 

- Chứng minh mà không có hình vẽ hoặc hình vẽ sai thì không

được công nhận (không có điểm). 

 0.25đ 0.5đ  0.25đ  0.5đ  0.25đ 0.25đ 

b

(Các đường nét đứt được vẽ thêm để gợi ý chứng minh khi chấm, học sinh phải trình bày kẻ thêm đường phụ khi chứng minh - nếu cần)

Trình bày c/m: SBID  SBIC

5

ĐK: x≠0, y≠0 

2 2 2 16

16 2

10 2

10

) 1

( ) (

4

1 2

1

y x y

x x

y y

( ) 1 1 (

4

1 1 1 2

2 10 2

x

Áp dụng bắt đẳng thức Cô-si cho bốn số dương ta có: 

2 2 2

10 2

10

2 1 1 2

1

y x x

y y

16

) 1 1 (

4

1

y x y

x      

=> 

2

5 2

3 2

Lưu ý: Học sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa

3 2 1

2 3 3 2

11 15

x x

3 3

x

x Q

HƯỚNG DẪN CHẤM

ĐỀ THI HSG CẤP HUYỆN MÔN: TOÁN - LỚP 9 ĐỀ SỐ: 14 

Nguồn: Đề thi HSG Toán 9 –H Triệu Sơn, ngày 28/11/2012 - Năm học 2012 - 2013 

2 3 3 2

11 15

x x

2 3 3 1

11 15

x x

2 3 2

3 11 15

x x

x x

1

3 2

6 7 3 11 15

x x x

x

x x x

x x

       =   

5 2 3 1

5 2 1

x

x x

. 

b) Với x  0; x 1 ta có 

3

5 2

0,5    0,75  0,75   0,5     0,25  0,25 

y x

y

Từ đó tìm được nghiệm của phương trình là: x  4   

0,5  1,25  0,75 

y       (2)       

 0,25  0,25    

1 1 1

    (vì xyz = 1) 

      mà 

z y x z y

x   1 1 1 (x –1)(y – 1)(z – 1) >0 Nếu cả 3 thừa số:  (x –1), (y – 1), (z – 1) đều dương   xyz > 1 (loại) 

   Lấy  điểm  E  khác  phía  với  điểm  P  đối  với 

đường  thẳng  AB  sao  cho BPE  vuông  cân 

E P

B C