Điểm Cực Trị - Cực Đại Và Tiểu - Giá Trị Nhỏ Nhất Và Lớn Nhất

Có thể bạn quan tâm

Điểm Cực Trị - Cực Đại và Tiểu - Giá Trị Nhỏ Nhất và Lớn Nhất

Điểm Cực Trị

Định nghĩa: Cho hàm số f xác định trên khoảng (a;b) chứa điểm.

1.đạt cực đại tại điểmnếu f(x) <cho mọi x lân cận.

2.đạt cực tiểu tại điểmnếu f(x) >cho mọi x lân cận.

Tùy thuộc vào mỗi trường hợp,được gọi là giá trị cực đại hay cực tiểu của hàm số, còn điểmgọi là điểm cực đại hay cực tiểu đồ thị của hàm số.Khi tại điểmmàđạt cực tiểu hay cực đại thìgọi là điểm cực trị của hàm số; còngọi là giá trị cực trị của hàm số.

Từ định nghĩa ở trên, người ta phát biểu:

Điều kiện cần để hàm số f có điểm cực trị

Nếu hàm số f có đạo hàm tại điểmvà f đạt cực trị tại điểm này thì.

Như vậy khi hàm số f có điểm cực trị thì đạo hàm của hàm số tại điểm đó luôn bằng không.Nhưng nếu ta chỉ biếtthì hàm số f chưa chắc đã có giá trị cực trị.Do đó, nhà toán học Michel Rolle người Pháp [1*] đã đưa ra định lý có chứa điều kiện đủ để bảo đảm rằng hàm số f có cực trị và sau này người ta gọi là định lý Rolle.

Định lý Rolle

Cho f xác định trên đoạn [a;b] và có đạo hàm trong khoảng (a;b).Nếu f(a) = f(b) thì tồn tại ít nhất một điểmthuộc (a;b) sao cho.

Từ định lý Rolle, người ta phát biểu điều kiện đủ để hàm số f có điểm cực trị.Cho hàm số f(x) có đạo hàm trong khoảng (a;b) vàvớithuộc (a;b), ta có hai trường hợp:

1.Nếu khi x đi quamà đạo hàm đổi dấu từ âm sang dương, tức là là f ’(x) < 0 nếu x <và f ’(x) > 0 nếu x >thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm.

2.Nếu khi x đi quamà đạo hàm đổi dấu từ dương sang âm, tức là là f ’(x) > 0 nếu x <và f ’(x) < 0 nếu x >thì hàm số đạt cực đại tại điểm.

Từ kết quả trên đây, ta thu được cách tìm các điểm cực đại và cực tiểu của hàm số f(x) xác định trên [a;b] và có đạo hàm trong khoảng (a;b).Dưới đây ta tóm tắt cách tìm điểm cực đại và cực tiểu.

Cực Đại và Cực Tiểu

Khi cho x đi qua, điểm cực trịtrở thành cực đại nếu dấu đạo hàm thay đổi từ dương sang âm hoặc trở thành cực tiểu nếu dấu đạo hàm thay đổi từ âm sang dương.

Thí dụ 1. Tìm miền xác định và cực trị của hàm số .

Giải:

Miền xác định: D = R.

Đạo hàm: ,

Bảng biến thiên:

Vì đạo hàm đổi dấu khi x đi qua điểm x = -2 và x = 4, do đó hàm số có cực trị tại hai điểm này.

Giá Trị Nhỏ Nhất Và Lớn Nhất

Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) xác định trên D mà chứa.

1.có giá trị nhỏ nhất trên D nếucho mọi x thuộc D.

2.có giá trị lớn nhất trên D nếucho mọi x thuộc D.

Ta lần lượt ký hiệu giá trị nhỏ nhất Min y =và giá trị lớn nhất Max y =.Người ta tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm số bằng cách lập bảng biến thiên của hàm số xác định trên miền D, đoạn dựa vào đó để kết luận.