Điểm đẳng động - Toán Học Sơ Cấp

Trang chủ » điểm Isodynamic » Điểm đẳng động - Toán Học Sơ Cấp

Có thể bạn quan tâm

Thứ Ba, 25 tháng 10, 2016

Điểm đẳng động

Ta tiếp theo chuỗi bài tập về đường tròn Apollonius Bài 3: Ba đường tròn Apollonius của một tam giác có hai điểm chung. Ta gọi hai điểm chung này là hai điểm đẳng động (Isodynamic Point) Lời giải Giả sử J thuộc đường tròn Apollonius ứng với điểm A, và B của tam giác ABC thì ta có: $\frac{JB}{JC}=\frac{AB}{AC},\frac{JC}{JA}=\frac{BC}{BA} \\ \Rightarrow \frac{JB}{JA}=\frac{CB}{CA}$ Vậy J thuộc đường tròn Apllonius ứng với điểm C Tương tự J' ở ngoài (O). Bài 4: Tâm của ba đường tròn này thẳng hàng. Suy ra từ bài toán 3 nên ba đường tròn đồng trục. Bài 5: Cho O và K là tâm đường tròn ngoại tiếp và điểm Lemoine của tam giác ABC, J, J' là hai điểm đẳng động . Chứng minh : a) J, J', K, O thẳng hàng. b) J' là nghịch đảo của J đối với đường tròn nghịch đảo (O) Lời giải: a) Ta cần bổ đề sau: Bổ đề 1: Nếu đường tròn (O,r) trực giao với hai đường tròn (A, p),(B, q) thì O thuộc trục đẳng phương của (A, p).(B.q). Chỉ cần chứng minh phương tích điểm O đối với hai đường này bằng nhau ( bằng $r^2$) Ta có: Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC trực giao với các đường tròn Apollonius và các đường tròn Apollonius có trục đẳng phương là JJ' nên O thuộc JJ' ta có L, M, N (L, M, N lần lượt là tâm đường tròn Apollonius góc A, góc B, góc C) là cực của các đối cực đối trung của tam giác ABC đối với đường tròn nghịch đảo (O). Điểm Lemoine K là giao điểm của 3 đường đối trung nên đối cực của K đối với đường tròn nghịch đảo (O) qua L, M, N ( theo định lý La Hire ) Ta có cực K của đối cực LMN thuộc đường thẳng qua O và vuông góc với LMN và đường thẳng này là trục đẳng phương OJJ' Vậy ta đã chứng minh xong câu a) b) Dùng tính chất (O) và (O') trực giao thì 1) (O') bất biến trong phép nghịch đảo với đường tròn nghịch đảo (O) ( vì phương tích của O' đối với (O) bằng phương số nghịch đảo ) 2) (O) bất biến trong phép nghịch đảo với đường tròn nghịch đảo (O') Ta có (O),(L) ( (L) là A − apollonius ) trực giao và O, J, J', thẳng hàng và J, J' thuộc (L) nên J, J' là nghịch đảo nhau trong phép nghịch đảo với đường tròn nghịch đảo Tổng hợp hình vẽ:
bấm vào để thấy rõ hơn.
By vào lúc tháng 10 25, 2016 Nhãn: bổ đề hình học, cực và đối cực, điểm đẳng động, điểm Lemoine, đồng trục, đường tròn Apollonius, hình học, phép nghịch đảo, phương tích, trục đẳng phương

Không có nhận xét nào:

Đăng nhận xét

Bài đăng Mới hơn Bài đăng Cũ hơn Trang chủ Đăng ký: Đăng Nhận xét (Atom)

Bất đẳng thức tuyển sinh lớp 10 chọn lọc

Trong bài viết này, tác giả giới thiệu một số bài BĐT nhẹ nhàng nhưng ý tưởng tương đối mới, mức độ phù hợp với đề thi tuyển sinh vào lớp...

  • Một số hàm số học và ứng dụng I) Hàm phần nguyên: 1) Định nghĩa Phần nguyên của một số thực x là số nguyên lớn nhất không vượt quá x. Kí hiệu là [x]. 2) Tính chất...
  • Bất đẳng thức Vasc và ứng dụng. Trong thế giới bất đẳng thức , ngoài những bất đẳng thức kinh điển và được áp dụng rất nhiều như bất đẳng thức AM – GM, bất đẳng thức Cauc...
  • Thặng dư bình phương và các tính chất Định nghĩa 1: Một số nguyên a được gọi là thặng dư bình phương mod n nếu tồn tại số nguyên x sao cho $x^2 \equiv a (mod n)$ Ta cũng có th...

Blog contributors

Mèo Sữa Xem hồ sơ hoàn chỉnh của tôi

Lưu trữ Blog

  • ▼  2016 (166)
    • ▼  tháng 10 (34)
      • Làm giảm biến số trong bất đẳng thức
      • Dồn biến trong bất đẳng thức
      • Thêm một số bài tập về điểm Fermat, đẳng động, đườ...
      • Mối liên hệ giữa điểm Fermat và điểm đẳng động
      • Đường kính Brocard và tam giác đều " thủy túc "
      • Điểm đẳng động
      • Dùng đường tròn Apollonius vào bài toán tìm tập hợ...
      • Một số hàm số học và ứng dụng
      • IMO shortlist 2002 và những vấn đề liên quan.
      • Một bài toán lạ !
      • Chứng minh tồn tại vô hạn trong số học
      • Bổ đề về hàm liên tục ứng dụng vào giải phương trì...
      • Dùng định lý Pascal suy biến vào bài toán chia đôi
      • Đại số hóa bất đẳng thức lượng giác
      • Kỹ thuật đổi biến trong bất đẳng thức có điều kiện
      • Bất đẳng thức đối xứng 3 biến
      • Các tiêu chuẩn về đa thức bất khả quy và ví dụ
      • Chứng minh đa thức bất khả quy bằng nghiệm của nó
      • Chuyên mục nhỏ về tính chất của dãy tuyến tính cấp 2.
      • Bất đẳng thức Vasc và ứng dụng.
      • ĐỊNH LÝ MUIRHEAD CHO 3 SỐ VÀ ỨNG DỤNG
      • Đồ thị lưỡng phân
      • Hai bài toán trên tạp chí toán học về tuổi trẻ
      • Mở rộng của định lý Dirac
      • Định lý Dirac và ứng dụng
      • Bổ đề bất đẳng thức số học và đề USA MO 1995
      • Đẳng thức sai phân và ứng dụng
      • Sử dụng số phức trong đa thức
      • Dùng công thức nội suy Lagrange để tính tổng bằng ...
      • Giới hạn dãy số
      • Thặng dư bình phương và các tính chất
      • Số Fermat và các tính chất
      • Phương pháp nhân tử Lagrange trong bất đẳng thức
      • Bất đẳng thức với dấu bằng xảy ra tại biên

Nhãn

  • (a-b)(b-c)(c-a)
  • AB+BC=3AC
  • AM-GM
  • ánh xạ
  • APMO
  • APMO 2000
  • bài toán ngược
  • bài toán về trò chơi
  • bất biến
  • bất đẳng thức
  • bất đẳng thức 1 biến
  • bất đẳng thức 2 biến
  • bất đẳng thức Bernoulli
  • bất đẳng thức Bonse
  • bất đẳng thức Chebyshev
  • bất đẳng thức dãy số
  • bất đẳng thức độc lập
  • bất đẳng thức đối xứng 3 biến
  • bất đẳng thức hoán vị
  • bất đẳng thức jensen
  • bất đẳng thức không thuần nhất
  • bất đẳng thức Muirhead
  • bất đẳng thức nesbit
  • bất đẳng thức nhiều biến
  • bất đẳng thức schur bậc 3
  • bất đẳng thức schur bậc 4
  • bất đẳng thức số học
  • bất đẳng thức số thực
  • bất đẳng thức Vacs
  • biến đổi góc
  • biến đổi tương đương
  • bổ đề
  • bổ đề bất đẳng thức
  • bổ đề Burnside
  • bổ đề ERIQ
  • bổ đề hình
  • bổ đề hình học
  • bổ đề hình thang
  • bổ đề sawayama
  • bổ đề số học
  • bổ đề tổ hợp
  • bội chung nhỏ nhất
  • bước nhảy vi-et
  • Canada 2007
  • Cauchy-Schwarz
  • căn nguyên thủy
  • cận dưới
  • cận trên
  • Cevian nest
  • chẵn lẻ trong tổ hợp
  • chia đôi
  • chia hết
  • chia hết cho 9
  • chia kẹo Euler
  • chiến thuật chiến thắng
  • chiếu xuyên tâm
  • China 1992
  • chu trình
  • chuẩn hoá
  • chuẩn hóa
  • chuyển về hình học
  • chuyển về toạ độ
  • chữ số thập phân
  • chứng minh thẳng hàng
  • chứng minh tồn tại
  • const
  • cô si ngược dấu
  • cực và đối cực
  • dãy fibonacci
  • dãy số
  • dãy số số nguyên
  • dãy số tuyến tính
  • dãy tổng
  • dãy trội
  • dấu bằng bất đẳng thức
  • dấu bắng xảy ra tại biên
  • deg
  • denta
  • diện tích
  • dirichlet
  • dồn biến
  • dồn biến về biên
  • dùng đồng quy để suy ra thẳng hàng
  • dùng tam thức bậc 2
  • đa thức
  • đa thức bất khả quy
  • đa thức hệ số hữu tỉ
  • đa thức hệ số nguyên
  • đa thức hệ số thực
  • đại số
  • đánh giá
  • đạo hàm
  • đẳng thức quen thuộc
  • đặt ẩn phụ
  • đề thi ELMO
  • đề thi Israeli
  • đề thi Mỹ
  • đề thi Nga
  • đề thi Putnam
  • đề thi Trung Quốc
  • đề thi ucraina
  • đếm
  • đếm bằng hàm sinh
  • đếm bằng song ánh
  • đếm lặp
  • đếm trên đường tròn
  • đi qua tâm
  • điểm cố định
  • điểm đẳng động
  • điểm Fermat
  • điểm Lemoine
  • điểm liên hợp đẳng giác của tam giác
  • điểm liên hợp đẳng giác của tứ giác
  • điểm Miquel
  • điểm rơi bất đẳng thức
  • điều kiện đúng của bất đẳng thức
  • định lý 4 điểm
  • định lý Brocard
  • định lý Ceva-sin
  • định lý con bướm
  • định lý Desargues
  • định lý Dirac
  • định lý Dirichle
  • định lý EGZ
  • định lý Fermat nhỏ
  • định lý hàm số sin
  • định lý Hensen
  • định lý Legendre
  • định lý Lyness
  • định lý Lyness mở rộng
  • Định lý Menelaus
  • định lý Miquel
  • định lý Monge- D' Alembert
  • định lý Ore
  • Định lý Pascal
  • định lý Pascal suy biến
  • định lý sin
  • định lý thuận và đảo đường thẳng guass
  • định thức
  • định thức bậc 3
  • đồ thị
  • đồ thị lưỡng phân
  • đổi biến
  • đối song
  • đối trung
  • đối xứng
  • đối xứng hóa
  • đối xứng trục
  • đồng bậc hóa
  • đồng biến
  • đồng quy
  • đồng trục
  • đơn ánh
  • đơn biến
  • đơn điệu
  • đưa về dãy nhị phân
  • đưa về tập hợp
  • đường đối trung
  • đường kính Brocard
  • đường thẳng Euler
  • đường thẳng gauss
  • đường thẳng steiner
  • đường tròn Apollonius
  • đường tròn bàng tiếp
  • đường tròn chín điểm
  • đường tròn điểm
  • đường tròn Euler
  • đường tròn Lemoine
  • đường tròn mixtilinear
  • đường tròn nội tiếp
  • đường tròn tiếp xúc đường tròn
  • đường trung bình
  • ELMO 18th
  • Gergone
  • giải tích
  • giới hạn
  • góc định hướng
  • graph
  • hai đường đẳng giác
  • hai đường tròn tiếp xúc
  • hai tam giác bằng nhau
  • hàm bậc 2
  • hàm Euler.
  • hàm lồi
  • hàm số các ước
  • hàm số học
  • hàm số liên tục
  • hàm tổng các ước
  • hàng điểm
  • hàng điểm điều hoà
  • hàng điểm điều hòa
  • hằng đẳng thức
  • hệ cơ số
  • hệ phương trình
  • hệ số cao nhất
  • hệ thặng dư
  • hệ thặng dư đầy đủ
  • hệ thức lượng trong đường tròn
  • hệ thức newton
  • hệ trục tọa độ
  • hình bình hành
  • hình chiếu
  • hình học
  • Hình học
  • hội tụ
  • IMO
  • IMO 18th
  • IMO 1970
  • IMO 1982
  • IMO 1984
  • IMO 1985
  • IMO 1995
  • IMO 1996
  • IMO 2000
  • IMO 2002
  • IMO 2005
  • IMO 2008
  • IMO 2009
  • IMO SL 2002
  • Iran 1996
  • iran 2013
  • Iran TST 2011
  • juliel blog
  • Kvant
  • làm giảm số biến
  • liệt kê
  • ln
  • lớp 8
  • lũy thừa số nguyên
  • lượng giác
  • ma trận
  • module
  • mô hình tổ hợp
  • mở rộng
  • nghịch biến
  • nghịch đảo
  • nghịch đảo đối xứng
  • nghiệm
  • nghiệm phức
  • nguyên lí cực hạn
  • nguyên tố cùng nhau
  • nhân tử Lagrange
  • nhị thức newton
  • ord
  • phản chứng
  • phân giác
  • phần lẻ
  • phần nguyên
  • phần tử
  • phần tử nhỏ nhất
  • phép đếm quay quanh tâm
  • phép nghịch đảo
  • phép quay
  • phép quay vector
  • phép vị tự
  • phép vị tự quay
  • phi hàm Euler
  • phương pháp đánh giá từng số hạng
  • phương pháp đặt ẩn phụ
  • phương pháp giải bất đẳng thức
  • phương pháp hàm số
  • phương pháp sắp thứ tự các biến
  • phương pháp suy luận
  • phương pháp tọa độ
  • phương pháp uct
  • phương pháp vecto
  • phương tích
  • phương trình hàm
  • phương trình hàm đa thức
  • phương trình Mordell
  • phương trình nghiệm nguyên
  • Polish MO 2001
  • pqr
  • quy nạp
  • sai phân
  • song ánh
  • song song
  • số chính phương
  • số chính phương mod p
  • số chính phương tự do
  • số Fermat
  • số học
  • số mũ lỡn nhất
  • số mũ lớn nhất
  • số nguyên tố
  • số nguyên tố 3k+2.
  • số phức
  • số tốt
  • tách tổng
  • tam giác đều thủy túc
  • tam giác đồng dạng
  • tam giác hướng dương
  • tam giác vuông
  • tâm đẳng phương
  • tâm ngoại tiếp thuộc đường tròn
  • tâm nội tiếp
  • tâm tỉ cự
  • tâm vị tự
  • tập cân
  • tập hợp
  • tập hợp điểm
  • Thales
  • thặng dư bình phương
  • thẳng hàng
  • thỏa mãn điều kiện
  • thuật toán tối đa
  • tỉ số
  • tỉ số kép
  • tỉ số kép trong đường tròn
  • tiếp tuyến
  • tiếp xúc
  • tiêu chuẩn Brauer
  • tiêu chuẩn Eisenstein
  • tiêu chuẩn Euler
  • tiêu chuẩn Osada
  • tiêu chuẩn Perron
  • tiêu chuẩn Polya
  • tiêu chuẩn weierstrass
  • tính f(0)
  • tính liên tục
  • tính số đo góc
  • tọa độ tỉ cự
  • toàn ánh
  • toán tiếng anh
  • tổ hợp
  • tô màu
  • tồn tại
  • tồn tại vô số số
  • tổng đối xứng
  • tổng quát
  • tổng sai phân
  • trục đẳng phương
  • trung điểm
  • trùng nhau
  • trung trực
  • trực tâm
  • TST
  • tứ giác có hai đường chéo vuông góc
  • tứ giác điều hoà
  • tứ giác toàn phần
  • USA MO 1976
  • USA MO 2001
  • ước chung
  • ước chung lớn nhất
  • ước số
  • vecto
  • VMO
  • VMO 2016
  • VMO 2017
  • vuông góc
  • xây dựng dãy số
  • xây dựng tập hợp
  • xét số dư

Báo cáo vi phạm

  • Trang chủ

Tìm kiếm Blog này

Từ khóa » điểm Isodynamic