Điều Kiện Cần Và đủ Là Gì? - O₂ Education

Điều kiện cần và đủ là gì?

1. Điều kiện cần là gì, điều kiện đủ là gì?

Trong Toán học, chúng ta rất hay gặp các mệnh đề có dạng “Nếu $P$ thì $Q$” hoặc viết dưới dạng kí hiệu là $P \Rightarrow Q$, chẳng hạn:

• Nếu trời mưa thì nghỉ học.
• Một số tự nhiên tận cùng bằng $5$ thì chia hết cho $5$.

Trong các mệnh đề có dạng $P \Rightarrow Q$ này thì $P$ được gọi là giả thiết, $Q$ được gọi là kết luận. Hoặc, có thể nói:

• $P$ là điều kiện đủ để có $Q$;
• $Q$ là điều kiện cần để co $P$.

Chúng ta xét mệnh đề “Nếu trời mưa thì nghỉ học“.

Rõ ràng, chỉ cần gặp trời mưa là đủ để suy ra nghỉ học, tức là trời mưa đủ để có nghỉ học, nên nó được gọi là điều kiện đủ. Ngược lại, nghỉ học thì chưa đủ để suy ra trời mưa, vì có thể hôm đó cô giáo ốm 🙂

Nhưng tại sao lại gọi là điều kiện cần, vì không có nghỉ học (tức là vẫn đi học) thì chắc chắn không thể có trời mưa. Lí do, nếu trời mưa thì đã nghỉ học rồi, đâu có đến lớp nữa.

Như vậy, “trời mưa là điều kiện đủ của nghỉ học” còn “nghỉ học là điều kiện cần của trời mưa“.

Để hiểu rõ hơn, chúng ta tiếp tục xét vài ví dụ nữa.

• Một số tự nhiên tận cùng bằng $5$ thì chia hết cho $5$.
  • Một số mà chữ số cuối cùng là $5$ thì chắc chắn chia hết cho $5$, nên có thể nói đây Một số tự nhiên tận cùng bằng $5$ là điều kiện đủ để số đó chia hết cho $5$.
  • Ngược lại, một số chia hết cho $5$ là cần thiết nhưng chưa đủ để suy ra số đó tận cùng bằng $5$, vì số đó có thể tận cùng là $0$.
• Một số chia hết cho $6$ thì chia hết cho $3$.
  • Tương tự, một số chia hết cho $6$ thì chắc chắn chia hết cho $3$ nên một số chia hết cho $6$ là điều kiện đủ để số đó chia hết cho $3$.
  • Ngược lại, một số chia hết cho $3$ thì cần thiết nhưng chưa đủ để suy ra số đó chia hết cho $6$, nó còn phải chẵn nữa mới đủ.

Trong cuộc sống, nói đến điều kiện cần điều kiện đủ chúng ta có thể hiểu:

A là điều kiện cần của B nếu bất cứ khi nào có B thì có A nhưng không phải lúc nào có A cũng có B. A là điều kiện đủ của B nếu bất cứ khi nào ta có A thì có B nhưng không phải với bất kỳ B ta đều được A.

2. Điều kiện cần và đủ là gì?

Nếu mệnh đề P ⇒ Q và Q ⇒ P đều đúng thì ta có mệnh đề P ⇔ Q là một mệnh đề đúng. Khi đó, ta nói P là điều kiện cần và đủ để có Q, hoặc cũng nói Q là điều kiện cần và đủ để có P.

Thuật ngữ “cần và đủ” còn được thay thế bằng các thuật ngữ “khi và chỉ khi”, “nếu và chỉ nếu” hoặc “tương đương”.

Trong cuộc sống, chúng ta thường nói A là điều kiện cần và đủ của B nếu bất kỳ A nào ta cũng có B và bất kì B nào cũng có A.