Định Lí Ostrogradsky – Gauss Trong Trường Vector Và ứng Dụng Trong ...

Trong trường vector A ta xét một vòng kín nhỏ L nằm trong mặt phẳng có pháp tuyến n người ta định nghĩa lưu thông Q hay lưu số của trườngvector A dọc theo đường cong kín L được tính theo

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Người hướng dẫn khoa học

ThS NGUYỄN THỊ PHƯƠNG LAN

HÀ NỘI, 2018

Tôi xin chân thành cảm ơn các Thầy giáo, Cô giáo trong tổ Vật lí lí thuyết– Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, Thư viện trường Đại học Sư phạm Hà Nội

2 đã tạo điều kiện cho cho tôi trong thời gian học tập và nghiên cứu

Tôi xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè đã động viên và giúp đỡ tôitrong quá trình học tập và hoàn thành công trình nghiên cứu này

Do những điều kiện chủ quan và khách quan chắc chắn luận văn này khôngthể tránh khỏi những thiếu sót, tôi rất mong nhận được những ý kiến đóng gópcủa thầy cô và các bạn

Trân trọng cảm ơn!

Hà Nội, tháng… năm 2018

Tác giả

Nguyễn Thị Anh

LỜI CAM ĐOAN

Em xin cam đoan những gì viết trong khóa luận “Định lí Ostrogradsky –Gauss trong trường vector và ứng dụng trong việc giải các bài toán vật lí” là kếtquả nghiên cứu của cá nhân dưới sự hướng dẫn của Thạc sĩ Nguyễn Thị PhươngLan Nếu sai tôi xin hoàn toàn chịu trách nhiệm

Hà Nội, tháng… năm 2018

Tác giả

Nguyễn Thị Anh

Hình 1.6: Minh họa chiều dương của chu tuyến

Hình 1.7: Chu tuyến L trong mặt phẳng Oxy

Hình 1.8: Đường sức trong điện trường

Hình 1.9: Đường dòng của dòng nước

Hình 1.10: Ống dòng

Hình 1.8: Mặt S và các vector vi phân diện tích d S  ndS

Hình 2.1: Minh họa cho định lí Ostrogradsky- Gauss

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 1

1 Lí do chọn đề tài 1

2 Mục đích nghiên cứu 1

3 Đối tượng nghiên cứu 2

CHƯƠNG I: TRƯỜNG VECTOR 4

1.1 Trường vector 4

1.1.1 Khái niệm trường vector 4

1.1.2 Ví dụ cụ thể về trường vector 5

1.2 Rotation 7

1.3 Đường dòng 11

1.3.1 Trường vận tốc 11

1.3.2 Đường dòng 12

1.4 Thông lượng và Divergence của trường vector 15

1.4.1 Thông lượng của một trường vector 15

1.4.2 Divergence của trường vector 16

1.4.3 Ý nghĩa của divergence 19

CHƯƠNG 2: ĐỊNH LÍ OSTROGRADSKY- GAUSS TRONG TRƯỜNG VECTOR 20

2.1 Đinh lí Ostrogradsky- Gauss 20

2.2 Định lí Ostrogradsky- Gauss cho điện trường 21

2.3 Định lí Ostrogradski – Gauss cho từ trường 26

Chương 3 Áp dụng định lí Ostrogradsky – Gauss trong trường vector vào giải các bài toán vật lí 30

3.1 Dạng 1: Áp dụng định lí Ostrogradsky – Gauss cho bài toán đối xứng trụ 32 3.2 Dạng 2: Áp dụng định lý Ostrogradsky – Gauss cho bài toán đối xứng cầu 40

KẾT LUẬN 50

TÀI LIỆU THAM KHẢO 51

Vật lí lí thuyết là bộ môn khoa học nghiên cứu về các vấn đề như cơ học

lí thuyết, điện động lực học, vật lí thống kê, cơ học lượng tử Là bộ mônchuyên đi sâu vào vấn đề xây dựng các thuyết vật lí Dựa trên nền tảng là các

mô hình vật lí , các nhà khoa học vật lí xây dựng các thuyết vật lí Thuyết vật lí

là sự hiểu biết tổng quát nhất của con người trong một lĩnh vực, một phạm vivật lí nhất định Dựa trên một mô hình vật lí tưởng tượng, các nhà vật lí líthuyết bằng phương pháp suy diễn, phương pháp suy luận toán học đã đề ramột hệ thống các quy tắc, các định luật, các nguyên lí vật lí dùng làm cơ sở đểgiải thích các hiện tượng, các sự kiện vật lí và để tạo ra khả năng tìm hiểu,khám phá, tác động hiệu quả vào đời sống thực tiễn

Sau khi tìm hiểu bộ môn tôi đã biết một số nguyên lí đặc trưng và trong

đó có định lí Ostrogradsky – Gauss trong trường vector là một định lí quantrọng Tôi nhận thấy đây là một phần khó phải biết được bản chất vật lí vàphương pháp toán học ( giải tích vector hay tính các loại tích phân, ) trongkhi đó kiến thức toán học còn hạn chế Do vậy việc giải các bài toán vật lí sẽ

gặp rất nhiều khó khăn Chính vì lí do đó nên tôi chọn đề tài:“ Định lí Ostrogradsky – Gauss trong trường vector và ứng dụng trong việc giải các bài toán vật lí ”

2 Mục đích nghiên cứu

Tìm hiểu về trường vector

Tìm hiểu về định lí Ostrogradsky- Gauss trong trường vector ( điệntrường và trong từ trường)

Phương pháp giải một số bài toán vật lí

3 Đối tượng nghiên cứu

Trường vector

Định lí Ostrogradsky – Gauss trong trường vector (điện trường và từ trường)

Một số bài toán vật lí

4 Nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu về trường vector

Nghiên cứu về định lí Otragradsky – Gauss trong trường vector (điệntrường và từ trường)

Nghiên cứu một số phương pháp giải các bài toán vật lí

5 Phương pháp nghiên cứu

Đọc và nghiên cứu tài liệu tham khảo

Thống kê, lập luận, diễn giải

6.Cấu trúc của đề tài

Chương 1.Trường véc tơ

1.1 Khái niệm trường véc tơ

1.2 Rotation

1.3 Đường dòng

1.4 Thông lượng và Divergence của trường vector

Chương 2 Định lí Ostrogradsky – Gauss trong trường vector

2.1 Định lí Ostrogradsky – Gauss

2.2 Định lí Ostrogradsky – Gauss trong điện trường

2.3 Định lí Ostrogradsky – Gauss trong từ trường

1.1 Trường vector

CHƯƠNG I: TRƯỜNG VECTOR

1.1.1 Khái niệm trường vector

Một số hình ảnh của trường vector

Hình 1.1: Hình ảnh mạt sắt dưới tác động của từ trường tạo thành từ phổ

Trong vật lí chúng ta bắt gặp rất nhiều đại lượng có hướng được mô tả thông qua trường vector

Ví dụ: Khi xét chuyển động của chất lỏng, vận tốc v của phần tử chấtlỏng tại M được biểu diễn như sau:

lỏng có một trường vận tốc v

v  v(M )  v(x, y, z) Như vậy trong chất

Ta đã biết gradient của một vô hướng là một vector, vì vậy khi cho mộttrường vô hướng thì ta cũng có tương ứng một trường vector qua phép biến đổigradient

Trường vector biểu thị thông qua những phần sau:

- Điểm gốc (nơi vector đi ra từ 1 điểm)

- Điểm chìm (nơi vector biến mất trong một cái hố, như hiệu ứng lỗ đen

P,Q như sau:

F(x, y) Chúng ta có thể biểu diễn nó qua các hàm thành phần

F(x, y)  P(x, y)i  Q(x, y) j

với i , j là các vector đơn vị hướng theo trục x và y

Tại mỗi điểm trong trường vector đều có 1 vector có chiều và độ lớn xácđịnh

Ví dụ:Xét một trường lực f có dạng: f (x, y)  yi 

3x j

với i, j là

vector đơn vị theo hướng trục x và y

a) Tại gốc tọa độ (0,0) ta có lực f(0,0)= −0i+3.0j suy ra

không có lực nào ở gốc tọa độ

e) Điểm (4,4) ta có lực f(4,4)= −4i+12j hướng lên, lệch trái và độ lớn

là √ Như vậy lực ở giữa trường vector rất nhỏ và nó sẽ lớn hơn khi ta tính

thêm nhiều vector hơn

(-2,-4); (4,4)

 Ad l

( L)

Giả sử E là tập hợp các điểm trong R3 (không gian ba chiều) Một trườngvector trên R3 là một hàm F cho tương ứng mỗi điểm (x, y, z) trong tập E vớivector ba chiều F(x, y, z) Chúng ta có thể biểu diễn nó qua các hàm thành phần

Hướng của rota chính là trục xoay của nó và được xác định bởi quy tắcbàn tay phải và độ lớn của rota biểu thị mức độ xoáy của trường Nếu trườngvector tượng trưng cho vận tốc dòng chảy của một chất lỏng đang lưu chuyểnthì rota chính là mật độ xoáy của chất lỏng đó

Một trường vector E có rot E = 0 được gọi là trường không xoáy

Trong trường vector A ta xét một vòng kín nhỏ L nằm trong mặt phẳng

có pháp tuyến n người ta định nghĩa lưu thông Q (hay lưu số) của trườngvector A dọc theo đường cong kín L được tính theo tích phân đường loại 2:

Với dl là vi phân của vector dịch chuyển trên L

 Adl

( L)

Hình 1.6: Minh họa chiều dương của chu tuyến

Lưu thông không chỉ phụ thuộc vào A và L mà còn phụ thuộc vào hướng của L Khi thay đổi chiều của L thì lưu thông cũng đổi dấu Nếu A vuông gócvới tiếp tuyến của L thì tại điểm đó Adl  0

Trong trường vector A , xét một điểm M bất kì được bao quanh bằng mộtđường cong kín L vô cùng bé và có diện tích giới hạn bởi L là S Tỉ số Q/ S

là mật độ lưu thông trung bình của trường vector A trên diện tích S Vậy

định nghĩa rotation (viết tắt là rota) của A tại M(x, y, z) được kí hiệu là rot A

đặc trưng cho độ xoáy tại M như sau:

rot n A là hình chiếu của vector rot A lên phương pháp tuyến n

Giả sử một điểm M(x, y, z) nằm trong trường vector A được xác định bởi:

A  A x i 

A y

j  A z k

(với i, j, k là các vector đơn vị trên trục Ox, Oy, Oz)

Để tính rot A tại điểm M thì ta cần tính các hình chiếu của rot A lên ba trục

tọa độ Ox, Oy, Oz và chọn S là mặt tạo bởi hình hộp chữ nhật qua M có cạnh rất bé là x, y, z

Hình 1.7: Chu tuyến L trong mặt phẳng Oxy

Hình chiếu của A lên hướng đoạn 1 là Ax(x,y) nên ta có:

Vậy lưu thông của A dọc theo đường cong kín (L) là:

x  A x ( y  y)x  A y (x)y  Ay (x x)yChia biểu thức trên cho S  xy và cho S tiến đến 0 ta được:

(x  x)  A (x) A ( y  y)  A ( y) rot A 

lim  lim [ y y ]  lim [ x x ]

z S 0 S x0 x y0 y

A rot A   z

Như vậy điểm M(x, y, z) trong trường vector A ta xét một vector mà có

A  A A

 A A A các thành phần { ( y z

thì vector đó gọi là vector rota (hay vector xoáy) của trường vector A tại

M(x, y, z) và được kí hiệu là rot A(M ) là một vector.

Lưu số của trường vector dọc theo chu tuyến L là:

C  rot A(M )dS (1.3)

Kết luận: Vậy (1.3) là lưu số của trường vector A dọc theo đường cong kín L thì đúng bằng thông lượng của trường vector A qua mặt cong S nào đóđược giới hạn bởi đường cong kín L

Nếu rot A(M )  0 thì điểm M(x, y, z) được gọi là điểm xoáy của trường A

Một trường vector mà tại mọi điểm của nó đều có

này được gọi là trường không xoáy hay trường thế

rot A 

0 thì từ trường AĐiều kiện cần và điều kiện đủ để trường vector A là một trường thế là

V  ui  v j 

pk

Khi nghiên cứu về sự chuyển động ta đã đưa ra nhiều cách phân loại Trong đó có cách phân loại ra hai loại là chuyển động ổn định và chuyển độngkhông ổn định.

Chuyển động không ổn định là chuyển động mà các yếu tố trong chuyểnđộng phụ thuộc vào thời gian, nghĩa là:

Ta đã biết quỹ đạo là đường đi của một phần tử trong không gian

Ðường dòng là đường cong tại một thời điểm cho trước– đó là đườngcong C trong trường dòng chảy mà tại mỗi điểm trên đó vector tiếp tuyến cóphương trùng với phương của vector vận tốc tại điểm đó

Ví dụ : Các đường sức trong điện trường, từ trường đều là các đường dònghoặc trên một dòng chảy ổn định thì đường dòng của dòng nước là đường dòngcủa trường vector vận tốc dòng nước

Hình 1.8: Đường sức trong điện trường Hình 1.9: Đường dòng của dòng nước

Có thể vẽ đường dòng trong môi trường như sau: Tại một thời điểm tphần tử M có tốc độ u, cũng tại thời điểm đó phần tử M1 ở sát phần tử chất lỏng

M và nằm trên vector u có tốc độ u1, tương tự như vậy cũng ở cùng thời điểm

ta cũng có M2 có tốc độ u2…Mi có tốc độ ui Đường cong C nối tất cả cácđiểm M1, M2 Mi và lấy tốc độ u1, u2 ui làm tiếp tuyến chính là một đường dòng ở thời điểm t .

Từ đây ta có ứng với những thời điểm khác nhau sẽ có những đường dòngkhác nhau Và đường dòng có liên quan mật thiết đến thời gian vì vận tốc cóthể thay đổi theo thời gian

Trong không gian 3- chiều ( hệ tọa độ Đề - các) đường dòng được xácđinh theo phương trình sau:

Ta thấy đường dòng là một khái niệm động học mà nhờ đó chúng tathuận tiện hơn trong việc xây dựng cấu trúc tức thời của trường dòng chảy Đối

với dòng chảy không tĩnh đường dòng không trùng với quỹ đạo của phần tửchất lỏng Còn trong trường hợp dòng chảy tĩnh ( hay dòng dừng) thì đườngdòng và quỹ đạo là một, điều này nghĩa là phần tử chuyển động dọc theođường dòng.

Trong không gian chứa đầy chất lỏng chuyển động, ta lấy một đườngcong kín giới hạn một diện tích vô cùng nhỏ dS, tất cả các đường dòng đi quacác điểm trên đường cong kín đó tạo thành một mặt có dạng ống gọi là ốngdòng

Hình 1.10: Ống dòng

Khối lượng chất lỏng chuyển động trong không gian của ống dòng đượcgọi là dòng nguyên tố Vì tính chất không giao nhau của những đường dòngnên chất lỏng không thể xuyên qua ống dòng mà đi ra hoặc đi vào dòng nguyêntố

Trong không gian chứa đầy chất lỏng chuyển động, ta lấy một đườngcong kín giới hạn bởi một diện tích hữu hạn bao gồm vô số diện tích dS vôcùng nhỏ, tạo nên vô số dòng nguyên tố Tập hợp những dòng nguyên tố đó gọi

là dòng chảy Môi trường chất lỏng chuyển động có thể coi là môi trường liêntục bao gồm vô số dòng nguyên tố, tức là môi trường đó có thể coi là môitrường liên tục bao gồm vô số dòng nguyên tố, môi trường đó gọi là một dòngchảy

1.4 Thông lượng và Divergence của trường vector

1.4.1 Thông lượng của một trường vector

Thông lượng của một dòng chảy qua một bề mặt là đại lượng chỉ lượngchảy qua bề mặt vuông góc với hướng chảy trong một đơn vị thời gian

Xét một mặt hữu hạn bất kì có diện tích S được đặt trong một trườngvector A liên tục Chọn hướng xác định cho mặt và gọi là hướng dương, khi đóhướng ngược lại gọi là hướng âm Nếu S là mặt kín thì ta thường quy ước hướngdương là hướng từ trong ra ngoài Mặt S được chọn như vậy là mặt định hướng.Chia S thành những phần có diện tích dS vô cùng nhỏ (gọi là vi phân diệntích) sao cho trường vector A là không đôit trên mỗi phần đó Gọi n là vectorđơn vị trên phương pháp tuyến tại M nằm trong dS Khi đó đại lượng:

Hình 1.11: Mặt S và các vector vi phân diện tích d S  ndS

Từ biểu thức (1.3) ta có thể mở rộng cho tính thông lượng của trườngvector A gửi qua mặt S bất kì theo công thức:

+) Thông lượng là một đại lượng vô hướng

+) Thông lượng phụ thuộc vào hình dạng của S và hướng của vector A

trên toàn mặt đó Khi A hướng ra ngoài mặt S thì thông lượng dương và ngược lại

Chú ý: Nếu ta xét trong thể tích V được giới hạn bởi mặt S không có nguồn nào thì thông luộng vào sẽ bằng thông lượng ra tức là thông lượng tổng

bị triệt tiêu Nếu trong V có nguồn dương sẽ dẫn đến

  0

1.4.2 Divergence của trường vector

  0 , còn nguồn âm thì

Về mặt kỹ thuật, sự phân kỳ đại diện cho mật độ khối lượng của dòng

điểm nhất định

Về mặt vật lý, sự phân kỳ của trường vectơ ba chiều là mức độ mà dòngtrường vector hoạt động như một nguồn tại một điểm nhất định Đó là mộtthước đo về "tính đi" của nó - mức độ mà có nhiều số lượng thoát ra khỏi mộtvùng không gian vô hạn hơn là đi vào nó Nếu sự phân kỳ không đồng hóa tạimột số điểm thì có nén hoặc mở rộng tại thời điểm đó

Một cách chặt chẽ hơn, sự phân kỳ của trường vector tại điểm bất kì cóthể được định nghĩa là giới hạn của lưu lượng dòng của trường vector trên ranhgiới của một vùng ba chiều cho thể tích khi co lại thành điểm bất kì

Khi giảm dần S ( V cũng giảm theo) thì kéo theo  cũng giảm Lúc

ấy tỉ số  /

V

khi V tiến đến 0 (tức là tất cả các điểm trên S đều tiến về M)

sẽ là một số nào đó phụ thuộc vào dáng điệu của vector A ở lân cận nhỏ củađiểm M và đặc trưng cho mức độ “chảy” của trường ra khỏi điểm lân cận này

Ta gọi con số này là divergence (viết tắt là dive) của trường vector A tại điểm

Vn là hình chiếu của V theo vector pháp tuyến ngoài của mặt S

Nếu G là miền được giới hạn bởi mặt ngoài đường cong S đã cho thì theo công thức Oxtrogratxki ta có:

* Nếu divV (M )  0 thì suy ra f > 0; M(x, y, z) (thông lượng từ trong

hướng ra ngoài sẽ lớn hơn thông lượng từ ngoài hướng vào trong) cho nên

điểm M là điểm nguồn của trường vector V

rò (tức là tổng thông lượng bằng không) Điều đó có nghĩa là, có bao nhiêu

đường dòng chảy vào bề mặt khảo sát, thì có bấy nhiêu chảy ra từ đó Vì thế

trường vận tốc của chất lỏng không bị nén được gọi là hình ống hay là sôlênôit

q r

Trong trường hợp này thì:

1.4.3 Ý nghĩa của divergence

Phép tính dive có nhiều ứng dụng trong vật lí như tính thông lượng củamột trường vector Ngoài ra qua biến đổi tích phân khi tính thông lượng người

ta còn dẫn đến các phương trình Macxuen trong điện động lực học

Xét một yếu tố vi phân thể tích V k chứa điểm M k được bao bọc bởi mặt

kín S k nằm trong trường vector A Dựa trên định nghĩa của dive ta có:

div A(M k )  lim

Mặt khác ta lại có: div A(M k )Vk  k

Lấy tổng biểu thức trên theo tất cả các yếu tố vi phân thể tích:

Biểu thức (2.1) là công thức định lí Ostrogradsky- Gauss Biểu thức này

cho biết mối liên hệ giữa tích phân theo thể tích V với tích phân mặt kín S bao

quanh thể tích đó

Hình 2.1: Minh họa cho định lí Ostrogradsky- Gauss

o o

2.2 Định lí Ostrogradsky- Gauss cho điện trường

Định nghĩa: Điện trường là một dạng tồn tại vật chất trong không gian baoquanh các điện tích mà biểu hiện cụ thể của nó là tác dụng lực nên các điện tíchđặt trong nó Lực này được gọi là lực điện và được xác định bằng định luật Cu-lông

Ta xét hai điện tích điểm q và qo, theo định luật Cu-lông lực điện tươngtác giữa hai điện tích điểm này là:

E

(2.5)

Biểu thức (2.5) là cách biểu diễn khác của định luật Cu-lông và nó có ýnghĩ tổng quát hơn công thức (2.2) Biểu thức (2.5) phù hợp với nguyên lí tácdụng gần nó đúng trong mọi trường hợp và không phụ thuộc vào nguyên nhângây ra điện trường

độ điện trường E trong nó coi như đều.

Vẽ vector pháp tuyến n cho dS, ta có d S 

ndS

(2.7)

Với d S là vector đặc trưng cho nguyên tố diện tích dS

Điện thông (hay thông lượng điện trường) qua nguyên tố diện tích d S là:

Định lí Ostrogradsky – gauss cho điện trường

Việc tính toán điện trường sẽ đơn giản hơn rất nhiều nếu ta sử dụng định

lí Ostrogradsky – gauss Để đưa ra định lí tổng quát ta xét trường hợp một điệntích q dương, bao quanh nó là một mặt cầu S có bán kính r và có tâm là điểmđặt điện tích q Quy ước chiều dương của pháp tuyến với mặt cầu là chiềuhướng từ tâm ra ngoài Trên mặt cầu cường độ điện trường E có giá trị nhưnhau tại mọi điểm, góc giữa đường sức với pháp tuyến dương của mặt cầu Sluôn bằng 0 và cos

Điện thông qua mặt cầu S là:

là liên tục và được bảo toàn (tức là không thêm ra hoặc mất đi) Cũng chính vìthế, nên điện thông qua mặt kín S2 bất kì bao quanh điện tích q cũng bằng điện

Từ kết quả trên, ta thấy điện thông qua mặt kín không phụ thuộc vào vị trícủa điện tích ở bên trong nó Áp dụng nguyên lí chồng chất điện trường, ta thấykết quả (2.12) cũng đúng cho cả trường hợp bên trong mặt kín có nhiều điệntích phân bố bất kì, chỉ cần chú ý rằng q là tổng đại số các điện tích có mặt bêntrong mặt kín.

Các kết luận trên được biểu thị qua định lí Ostrogradsky – Gauss: Điệnthông qua một mặt kín có giá trị bằng tổng đại số các điện tích có bên trongmặt đó chia cho

D Mặt khác theo (2.6) ta có:

D  E

Nếu ta có một hệ điện tích phân bố liên tục trong không gian ta có thể chia

nó thành những nguyên tố điện tích vô cùng nhỏ dq   dV và coi mỗi

*Ý nghĩa định lí Ostrogradski – Gauss:

Định lí Ostrogradski – Gauss dùng để tính toán điện thông, thông lượngđiện trường hay cường độ điện trường sẽ đơn giản hơn rất nhiều khi ta sử dụngđịnh luật Cu-lông và nguyên lí chồng chất điện trường

2.3 Định lí Ostrogradski – Gauss cho từ trường

Định nghĩa: Từ trường là một dạng vật chất mà biểu hiện cụ thể của nó làtác dụng lực lên dòng điện hoặc nam châm đặt trong nó Lực tương tác đó gọi

là lực từ và được xác định bằng định luật Amper

Xét hai dòng điện I1 và I2 chạy trong hai dây dẫn đặt trong một môitrường đồng chất bất kì có độ từ thẩm là  Lực tương tác giữa hai dòng điện

lúc này được xác định bởi: d F 

Từ biểu thức (2.19) ta xét riêng vector 4 r3 (2.20)

Ta thấy biểu thức trên không chứa nguyên tố dòng điện I2dl2 Độ lớn của

d B chỉ phụ thuộc vào I1dl1 là phần tử dòng điện sinh ra từ trường và vector r

xác định vị trí đặt I2dl2 trong từ trường của I1dl1 Vì vậy d B là vector đặctrưng cho từ trường tại điểm đang xét về phương diện tác dụng lực Ta nói d B

là vector cảm ứng từ do phần tử dòng điện I1dl1 sinh ra tại điểm M

Ta có thế viết tổng quát lại như sau: Cảm ứng từ d B do phần tử dòng điện Idl gây ra tại một điểm đặt cách Idl một bán kính vector r là một vector: