Định Lí Phần Dư Trung Hoa Và ứng Dụng | Huy Cao's Blog

Có thể bạn quan tâm

By Đình Huy

MS-Chinese Remander Theorem

By Đình Huy

Bài toán : Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương $n$ , luôn tồn tại một tập hợp $S$ gồm $n$ phần tử sao cho bất kì một tập con nào của $S$ cũng có tổng các phần tử là lũy thừa của một số tự nhiên.

Lời giải :

Gỉa sử rằng :

$S=\left \{ a_1,a_2,...,a_{n-1},a_n \right \}$

Ta chọn các số $a_i$ như sau :

$a_1=1^{b_1+1}2^{b_2}3^{b_3}...k^{b_k}$

$a_2=1^{b_1}2^{b_2+1}3^{b_3}...k^{b_k}$

$...$

$a_i=1^{b_1}2^{b_2}...(i-1)^{b_{i-1}}.i^{b_i+1}.(i+1)^{b_{i+1}}...k^{b_k}$

$...$

$a_n=1^{b_1}2^{b_2}3^{b_3}...n^{b_n+1}...k^{b_k}$

Trong đó $k$ là số nguyên dương thỏa mãn $k>1+2+3+...+n$ .

Gỉa sử $T=\left \{ a_{i_1},a_{i_2},...a_{i_m} \right \}\subset S$ $(m<n)$ .

Khi đó ta có :

$a_{i_1}+a_{i_2}+...+a_{i_m}=1^{b_1}2^{b_2}...i_1^{b_{i_1}+1}...k^{b_k}+1^{b_1}2^{b_2}...i_2^{b_{i_2}+1}...k^{b_k}+...+1^{b_1}2^{b_2}...i_m^{b_{i_m}+1}...k^{b_k}=1^{b_1}2^{b_2}...k^{b_k}(i_1+i_2+...+i_m)=1^{b_1}2^{b_2}...(i_1+i_2+...+i_m)^{b_{i_1+i_2+...+i_m}}...k^{b_k}$

Ta sẽ chọn ra $k$ số nguyên tố phân biệt $p_1,p_2,...,p_k$ thỏa mãn hệ sau :

$p_1\mid b_1+1,p_1\mid b_2,b_3,...b_k$

$p_2\mid b_2+1,p_2\mid b_1,b_3,...b_k$

$...$

$p_k\mid b_k+1,p_k\mid b_1,b_2,...,b_{k-1}$ .

Hiển nhiên chọn được theo định lí phần dư Trung Hoa, khi đó dễ thấy :

$a_{i_1}+a_{i_2}+...+a_{i_m}=A^{p_{i_1+i_2+..+i_m}}$

Là lũy thừa của một số tự nhiên. Trong đó :

$A=1^{b_1/p_{i_1+i_2+..+i_m}}.2^{b_2/p_{i_1+i_2+...+i_m}}....(i_1+i_2+...+i_m)^{b_{i_1+i_2+...+i_m}/p_{i_1+i_2+...+i_m}}...k^{b_k/p_{i_1+i_2+...+i_m}}$

và hiển nhiên $A$ nguyên

Bài toán được giải quyết trọn vẹn.

By Đình Huy

Bài toán : Chứng minh rằng nếu $p_1,p_2,....,p_n$ là các số nguyên tố phân biệt thì phương trình $x_1^{p_1}+x_2^{p_2}+....+x_{n-1}^{p_{n-1}}=x_n^{p_n}$ có vô số nghiệm nguyên dương $(x_1,x_2,....,x_n)$

Lời giải :

Ta có đẳng thức hiển nhiên sau : $\underset{n-1}{\underbrace{(n-1)^k+(n-1)^k+....+(n-1)^k}}=(n-1)^{k+1}$

Khi đó ta chọn $x_1=(n-1)^{\frac{k}{p_1}},x_2=(n-1)^{\frac{k}{p_2}},...,x_{n-1}=(n-1)^{\frac{k}{p_{n-1}}},x_n=(n-1)^{\frac{k+1}{p_n}}$

Thì ta thu được ngay phương trình $x_1^{p_1}+x_2^{p_2}+....+x_{n-1}^{p_{n-1}}=x_n^{p_n}$

Vậy nếu ta chỉ ra được số nguyên dương $k$ sao cho $x_1,x_2,...,x_n$ đều nguyên thì ta có ngay điều phải chứng minh.

Mà điều này tương đương với hệ sau có nghiệm : $\left\{\begin{matrix} k\equiv 0\;(mod\;p_1)\\ k\equiv 0\;(mod\;p_2)\\ ....\\ k\equiv 0\;(mod\;p_{n-1})\\ k\equiv -1\;(mod\;p_n) \end{matrix}\right.$

Điều này luôn đúng theo định lí phần dư Trung Hoa vì $p_1,p_2,...,p_n$ là các số nguyên tố phân biệt.

By Đình Huy

Bài toán : Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương $n$ luôn tồn tại một dãy gồm $n$ số nguyên liên tiếp sao cho bất kì số nào trong dãy cũng đều có ước dạng $2^k-1$ .

Lời giải :

Bổ đề : Với $m,n$ là các số nguyên dương và $a$ là số nguyên dương khác $1$ thì ta có $gcd(a^m-1,a^n-1)=a^{gcd(m,n)}-1$

Chứng minh bổ đề :

Đặt $d=gcd(m,n)$ và $\left\{\begin{matrix} m=dm'\\ n=dn' \end{matrix}\right.\;\;gcd(m',n')=1$

Ta có $a^m-1=a^{dm'}-1\;\vdots \;a^d-1$ và $a^n-1=a^{dn'}-1\;\vdots \;a^d-1$

Gọi $d'=gcd(a^m-1,a^n-1)$ thì $d'\;\vdots \;a^d-1\;\;(1)$

Vì $d=gcd(m,n)$ nên theo định lí $Bezout$ thì tồn tại hai số nguyên dương $x,y$ sao cho $mx-ny=1$

Từ đó $a^{mx}-1\;\vdots \;a^{m}-1\;\vdots \;d'$ và $a^{ny}-1\;\vdots \;a^{n}-1\;\vdots \;d'$

Do đó $(a^{mx}-1)-(a^{ny}-1)\;\vdots \;d'\Rightarrow a^{ny}(a^{mx-ny}-1)\;\vdots\; d'\Rightarrow a^{ny}(a^d-1)\;\vdots \;d'$

Nhưng vì $a^{ny}-1\;\vdots d'\;\Rightarrow d'\nmid a^{ny}-1$

Nên $a^{d}-1\;\vdots \;d'\;\;(2)$

Từ $(1)(2)$ suy ra $a^d-1=d'$ .

Bổ đề chứng minh hoàn tất.

Trở lại bài toán :

Xét hệ đồng dư tuyến tính :

$\left\{\begin{matrix} x\equiv -1\;\;(mod\;2^{p_1}-1)\\ x\equiv -2\;\;(mod\;2^{p_2}-1)\\ ....\\ x\equiv -n\;\;(mod\;2^{p_n}-1) \end{matrix}\right.$

Với $p_1,p_2,...,p_n$ là các số nguyên tố phân biệt

Theo bổ đề ta có $gcd(2^{p_i}-1,2^{p_j-1})=2^{gcd(p_i,p_j)}-1=2-1=1$ với mọi $i\neq j,i,j\in \left \{ 1,2,...,n \right \}$

Từ đó theo định lí phần dư Trung Hoa thì hệ này có nghiệm.

Suy ra điều cần chứng minh.

By Đình Huy

Bài toán : Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương $n$ luôn tồn tại $n$ số nguyên $a_1,a_2,...,a_n$ sao cho $a_i+a_j$ là lũy thừa của một số tự nhiên với số mũ lớn hơn $1$ với mọi $i,j\in \left \{ 1,2,3,...,n \right \}$

Lời giải :

Ta chọn các số như sau :

$\left\{\begin{matrix} a_1=1^{x_1+1}2^{x_2}3^{x_3}...(2n)^{x_{2n}}\\ a_2=1^{x_1}2^{x_2+1}3^{x_3}...(2n)^{x_{2n}}\\ ...\\ a_n=1^{x_1}2^{x_2}3^{x_3}...n^{x_n+1}..(2n)^{x_{2n}} \end{matrix}\right.$

Khi đó thì :

$a_i+a_j=1^{x_1}2^{x_2}...i^{x_i+1}...(2n)^{x_{2n}}+1^{x_1}2^{x_2}...j^{x_j+1}...(2n)^{x_{2n}}=1^{x_1}2^{x_2}...(2n)^{x_{2n}}(i+j)=1^{x_1}2^{x_2}...(i+j)^{x_{i+j}+1}...(2n)^{x_{2n}}$

Xét các số nguyên tố $p_1,p_2,...,p_{2n}$ phân biệt

Xét các hệ đồng dư tuyến tính :

$\left\{\begin{matrix} x_1\equiv -1\;(mod\;p_1)\\ x_1\equiv 0\;(mod\;p_k)\forall k\in \left \{ 2,3,...,2n-1,2n \right \} \end{matrix}\right.$

$\left\{\begin{matrix} x_2\equiv -1\;(mod\;p_2)\\ x_2\equiv 0\;(mod\;p_k)\forall k\in \left \{ 1,3,4...,2n \right \} \end{matrix}\right.$

….

$\left\{\begin{matrix} x_{i+j}\equiv -1\;(mod\;p_{i+j})\\ x_{i+j}\equiv 0\;(mod\;p_k)\forall k\in \left \{ 1,2,...,i+j-1,i+j+1,...,2n \right \} \end{matrix}\right.$

….

$\left\{\begin{matrix} x_{2n}\equiv -1\;(mod\;p_{2n})\\ x_{2n}\equiv 0\;(mod\;p_k)\forall k\in \left \{ 1,2,...,2n-1 \right \} \end{matrix}\right.$

Theo định lí phần dư Trung Hoa thì các hệ này chắc chắn có nghiệm

Từ đó suy ra :

$\dfrac{x_1}{p_1},\dfrac{x_2}{p_2},...,\dfrac{x_k+1}{p_k},...,\dfrac{x_{2n}}{p_{2n}}\in \mathbb{Z}\;\forall k=\overline{1,2n}$

Khi đó $a_i+a_j=1^{x_1}2^{x_2}...(i+j)^{x_{i+j}+1}..(2n)^{x_{2n}}=\left [ 1^{\frac{x_1}{p_{i+j}}}.2^{\frac{x_2}{p_{i+j}}}...(i+j)^{\frac{x_{i+j}+1}{p_{i+j}}} ...(2n)^{\frac{x_{2n}}{p_{i+j}}}\right ]^{p_{i+j}}$ là lũy thừa của một số tự nhiên.

Đây là điều phải chứng minh

By Đình Huy

Bài toán : Cho $p$ là số nguyên tố. Chứng minh rằng tồn tại một bội số của $p$ sao cho $10$ chữ số tận cùng của nó đôi một khác nhau.

Lời giải :

Nếu $p=2$ thì hiển nhiên luôn tồn tại một số thỏa đề, ví dụ $1234567899876543210$

Nếu $p=5$ thì cũng luôn tồn tại một số thỏa đề, ví dụ $1234567899876432105$

Xét $p\notin \left \{ 2,5 \right \}$ .

Xét hệ đồng dư tuyến tính : $\left\{\begin{matrix} x\equiv \overline{a_0a_1a_2...a_{9}}\;(mod\;10^{10})\\ x\equiv 0\;(mod\;p) \end{matrix}\right.$ trong đó $a_i$ đôi một khác nhau và $a_{i}\in \left \{ 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 \right \}$ .

Vì $p\in \mathbb{P},p\neq 2,p\neq 5$ nên $gcd(p,10^{10})=1$ , do đó theo định lí phần dư Trung Hoa thì hệ này chắc chắn có nghiệm, nghiệm của hệ chính là số thỏa mãn đề bài.

Ta có điều phải chứng minh.

By Đình Huy

Bài toán (Balkan 2000) : Cho tập $A=\left \{ a_1,a_2,...,a_k \right \}$ với $a_i\in \mathbb{N}\;\forall i=\overline{1,k}$ . Chứng minh rằng tồn tại số nguyên $n$ sao cho các phần tử của tập $B=\left \{ na_1,na_2,...,na_k \right \}$ đều là lũy thừa của một số tự nhiên với số mũ lớn hơn $1$ .

Lời giải :

Xét $k$ số nguyên tố phân biệt $p_1,p_2,...,p_k$ .

Xét các hệ đồng dư tuyến tính :

$\left\{\begin{matrix} x_1\equiv -1\;(mod\;p_1)\\ x_1\equiv 0\;(mod\;p_i)\;\;\forall i\in \left \{ 2,3,..,k \right \}\\\ \end{matrix}\right.$

$\left\{\begin{matrix} x_2\equiv -1\;(mod\;p_2)\\ x_2\equiv 0\;(mod\;p_i)\;\;\forall i\in \left \{ 1,3,..,k \right \}\\\ \end{matrix}\right.$

$\left\{\begin{matrix} x_3\equiv -1\;(mod\;p_3)\\ x_3\equiv 0\;(mod\;p_i)\;\;\forall i\in \left \{ 1,2,4,..,k \right \}\\\ \end{matrix}\right.$

….

$\left\{\begin{matrix} x_k\equiv -1\;(mod\;p_k)\\ x_k\equiv 0\;(mod\;p_i)\;\;\forall i\in \left \{ 1,2,3,..,k-1 \right \}\\\ \end{matrix}\right.$

Theo định lí phần dư Trung Hoa thì các hệ này đều có nghiệm.

Từ đó ta suy ra rằng $\left\{\begin{matrix} \dfrac{x_1+1}{p_1},\dfrac{x_2}{p_1},...,\dfrac{x_k}{p_1}\in \mathbb{Z}\\ \\\ \dfrac{x_2}{p_1},\dfrac{x_2+1}{p_2},...,\dfrac{x_2}{p_k}\in \mathbb{Z}\\ .\\ .\\ \dfrac{x_k}{p_1},\dfrac{x_k}{p_2},...,\dfrac{x_k+1}{p_k}\in \mathbb{Z} \end{matrix}\right.$

Khi đó chọn số $n=a_1^{x_1}a_2^{x_2}...a_k^{x_k}$ thì $na_1=a_1^{x_1+1}a_2^{x_2}...a_k^{x_k}=\left ( a_1^{\frac{x_1+1}{p_1}}a_2^{\frac{x_2}{p_1}}...a_k^{\frac{x_k}{p_1}} \right )^{p_1}$ , $na_2=a_1^{x_1}a_2^{x_2+1}...a_k^{x_k}=\left ( a_1^{\frac{x_1}{p_2}}a_2^{\frac{x_2+1}{p_2}}...a_k^{\frac{x_k}{p_2}} \right )^{p_2}$ , …., $na_k=a_1^{x_1}a_2^{x_2}...a_k^{x_k+1}=\left ( a_1^{\frac{x_1}{p_k}}a_2^{\frac{x_2}{p_k}}...a_k^{\frac{x_k+1}{p_k}} \right )^{p_k}$

Điều này cho thấy các phần tử của $B$ đều là lũy thừa của một số tự nhiên.

Suy ra điều phải chứng minh.

By Đình Huy

Bài toán : Cho hai số nguyên dương $p,q$ nguyên tố cùng nhau. Chứng minh rằng tồn tại số nguyên $k$ sao cho $(pq-1)^n.k+1$ là hợp số với mọi số nguyên dương $n$ .

Lời giải :

Xét hệ đồng dư $\left\{\begin{matrix} k\equiv 1\;(mod\;p)\\ k\equiv -1\;(mod\;q) \end{matrix}\right.$ , do $gcd(p,q)=1$ nên theo định lí phần dư Trung Hoa thì hệ này chắc chắn có nghiệm.

Nếu $n$ chẵn thì $(pq-1)^n.k+1\equiv k+1\equiv -1+1=0\;\;(mod\;q)$ , suy ra $(pq-1)^n.k+1$ là hợp số

Nếu $n$ lẻ thì $(pq-1)^n.k+1\equiv -k+1\equiv -1+1=0\;\;(mod\;p)$ , suy ra $(pq-1)^n.k+1$ là hợp số.

Kết luận : Luôn tồn tại số $k$ sao cho $(pq-1)^n.k+1$ là hợp số với mọi số nguyên dương $n$ .

By Đình Huy

Bài toán :

a) Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương $n$ bất kì, luôn tồn tại $n$ số nguyên dương liên tiếp mà trong đó không có số nào là lũy thừa của một số nguyên tố.

b) Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương $n$ tồn tại $n$ số nguyên dương liên tiếp sao cho bất kì số nào trong chúng cũng chia hết cho $n$ số nguyên tố liên tiếp.

Lời giải :

a) Xét hệ đồng dư tuyến tính :

$\left\{\begin{matrix} x\equiv -1\;(mod\;p_1p_2)\\ x\equiv -2\;(mod\;p_3p_4)\\ x\equiv -3\;(mod\;p_5p_6)\\ ...\\ x\equiv -n\;(mod\;p_{2n-1}p_{2n}) \end{matrix}\right.$

Trong đó $p_{1},p_{2},...,p_{2n}$ là các số nguyên tố phân biệt.

Dễ dàng thấy rằng theo định lí phần dư Trung Hoa, hệ này chắc chắn có nghiệm $x_0$ .

Khi đó, ta có $p_1p_2\mid x_{0}+1,p_3p_4\mid x_0+2,...,p_{2n-1}p_{2n}\mid x_0+n$ , như vậy dãy $x_{0}+1,x_0+2,..,x_0+n$ gồm $n$ số nguyên dương liên tiếp mà trong đó không có số nào là lũy thừa của một số nguyên tố (điều phải chứng minh)

b) Xét hệ đồng dư tuyến tính :

$\left\{\begin{matrix} x\equiv -1\;(mod\;p_1p_2...p_n)\\ x\equiv -2\;(mod\;p_{n+1}p_{n+2}...p_{2n})\\ x\equiv -3\;(mod\;p_{2n+1}p_{2n+2}...p_{3n})\\ ...\\ x\equiv -n\;(mod\;p_{n^2-n+1}p_{n^2-n+2}...p_{n^2}) \end{matrix}\right.$

Trong đó $p_{i}\in \mathbb{P},\forall i=1,2,...,n^2$ với kí hiệu $p_{i},p_{i+1}$ được coi là hai số nguyên tố liên tiếp.

Theo định lí phần dư Trung Hoa thì hệ này chắc chắn có nghiệm $x_0$ , khi đó dãy $x_0+1,x_0+2,...,x_0+n$ có $n$ số nguyên dương liên tiếp mà trong đó số nào cũng chia hết cho $n$ số nguyên tố liên tiếp (điều phải chứng minh)

By Đình Huy

Bài toán : Tìm tất cả các số nguyên dương $n$ sao cho luôn tồn tại số nguyên $m$ thỏa mãn $2^n-1\mid m^2+9$ .

Lời giải :

Bổ đề 1 : Một số nguyên có dạng $4k+3$ thì luôn tồn tại một ước số nguyên tố $p\equiv 3\;(mod\;4)$

Chứng minh bổ đề 1 :

Số nguyên $a$ dạng $4k+3$ là một số lẻ nên nó không có ước nguyên tố $2$ .

Gỉa sử $a=p_{1}^{\alpha _1}p_{2}^{\alpha _{2}}...p_{n}^{\alpha _n}\;\;\;(p_i\in \mathbb{P},\alpha _i\in \mathbb{N}^*,i=\overline{1,n})$

Nếu $p_i\equiv 4\;(mod\;4)\;\forall i=1,2,...,n\Rightarrow a\equiv 1\;(mod\;4)$ , mâu thuẫn với giả thiết.

Do đó $a$ có ít nhất một ước nguyên tố $p\equiv 3\;(mod\;4)$

Bổ đề 2 : Nếu các số nguyên $x,y$ và số nguyên tố $p\equiv 3\;(mod\;4)$ thỏa mãn $p\mid x^2+y^2$ thì $p\mid x,p\mid y$ .

Chứng minh bổ đề 2 :

Nếu $p|x$ hoặc $p|y$ thì hiển nhiên ta có điều phải chứng minh. Xét $p\nmid x,p\nmid y$

Đặt $p=4k+3\qquad(k\in \mathbb{N})$

Theo định lí $Fermat$ nhỏ : $x^{4k+2}+y^{4k+2}\equiv x^{p-1}+y^{p-1}\equiv 2\;(mod\;p)\qquad(1)$

Mặt khác $x^{2}+y^2\equiv 0\;(mod\;p)\Rightarrow x^{4k+2}+y^{4k+2}\equiv 0\;(mod\;p)\qquad(2)$

Từ $(1)(2)$ suy ra $p=2$ , mâu thuẫn.

Trở lại bài toán :

Nếu $n=1$ thì hiển nhiên với mọi $m$ nguyên, bài toán đều được thỏa mãn.

Xét $n>1$ . Gọi $q$ là một ước nguyên tố lẻ của $n$ , khi đó $2^{q}-1\equiv 3\;(mod\;4)$ nên $2^q-1$ có ít nhất một ước nguyên tố $p\equiv 3\;(mod\;4)$ . Khi đó dễ dàng thấy rằng :

$m^2+9\;\vdots \;2^{n}-1\;\vdots \;2^q-1\;\vdots\; p$

Khi đó theo bổ đề 2 ta có $p|3$ , $p=3$ . Suy ra $3\mid 2^{q}-1\Rightarrow 2\mid q$ , điều này mâu thuẫn vì $q$ lẻ.

Như vậy $n$ không có ước nguyên tố lẻ, do đó $n=2^k\;(t\in \mathbb{N}^{*})$ .

Ta sẽ chứng minh rằng với mọi $t\in \mathbb{N}^{*}$ thì $n=2^t$ luôn thỏa mãn đề bài.

Thật vậy,

Ta có $2^n-1=2^{2^{k}}-1=(2^{2^0}+1)(2^{2^1}+1)(2^{2^2}+1)...(2^{2^{t-1}}+1)$

Xét hệ đồng dư tuyến tính :

$\left\{\begin{matrix} x\equiv 0\;(mod\;2^{2^0}+1)\\ x\equiv 3.2^{2^{0}}\;(mod\;2^{2^1}+1)\\ x\equiv 3.2^{2^{1}}\;(mod\;2^{2^{2}}+1)\\ ...\\ x\equiv 3.2^{2^{k-2}}\;(mod\;2^{2^{k-1}}+1) \end{matrix}\right.$

Dễ thấy rằng $gcd(2^{2^i}+1,2^{2^j}+1)=1\;\forall i\neq ,j,i,j\in \left \{ 0,1,2,...,k-1 \right \}$ vì chúng là các số $Fermat$ .

Theo định lí phần dư Trung Hoa thì hệ này chắc chắn có nghiệm $x_0$ .

Ta suy ra

$\left\{\begin{matrix} x_{0}^{2}\equiv 0\equiv -9\;(mod\;2^{2^0}+1)\\ x_0^2\equiv 9.2^{2^{1}}\equiv -9\;(mod\;2^{2^1}+1)\\ x_0^2\equiv 9.2^{2^2}\equiv -9\;(mod\;2^{2^2}+1)\\ ...\\ x_0^2\equiv 9.2^{2^{k-1}}\equiv -9\;(mod\;2^{2^{k-1}}+1) \end{matrix}\right.\Rightarrow x_0^2+9\equiv 0\;(mod\;2^n-1)$

Khi đó với mọi $n=2^k$ thì luôn tồn tại số nguyên $m=x_0$ là nghiệm của hệ trên thỏa mãn đề bài.

Kết luận : $\boxed{n=2^k\;\;(k\in \mathbb{N})}$

Post navigation ← Older posts Tìm kiếm Search Thống kê Blog

1,059,052 views

Lưu trữ

April 2017 (1)
June 2016 (2)
May 2016 (4)
April 2016 (8)
March 2016 (2)
February 2016 (3)
January 2016 (7)
December 2015 (5)
August 2015 (5)
July 2015 (3)
June 2015 (5)
May 2015 (9)
April 2015 (3)
March 2015 (1)
February 2015 (5)
January 2015 (3)
December 2014 (7)
November 2014 (2)
October 2014 (2)
September 2014 (21)
August 2014 (60)
July 2014 (58)
June 2014 (129)
May 2014 (78)
April 2014 (25)
March 2014 (103)
February 2014 (39)
January 2014 (67)
December 2013 (51)
November 2013 (47)
October 2013 (32)
September 2013 (39)
August 2013 (56)

Chuyên mục

(0) Nơi thần kinh rung rinh (5)
(1) Danh sách tổng hợp các bài toán số học (3)
(2) Danh sách tổng hợp các hệ thức lượng giác, hình học (5)
(3) Danh sách tổng hợp các bài toán về PT-HPT (4)
(4) Danh sách tổng hợp các bài toán về Đa thức – Phương trình hàm (4)
(5) Danh sách tổng hợp các bài toán Bất đẳng thức (2)
(6) Danh sách tổng hợp các bài toán về Giới hạn – Dãy số (2)
(7) Danh sách tổng hợp đề thi (5)
BẤT ĐẲNG THỨC THI ĐẠI HỌC (15)
Bất Đẳng Thức (107)
- Ứng dụng của tam thức bậc hai trong chứng minh BĐT (2)
- Bất đẳng thức hình học (21)
- Bất đẳng thức Schur và kĩ thuật đổi biến P,Q,R (7)
- BĐT với những bài toán về hằng số tốt nhất (15)
- Cân bằng hệ số, điểm rơi giả định trong chứng minh BĐT (5)
- Chứng minh BĐT bằng phương pháp S-S, S.O.S (6)
- Dồn biến trong chứng minh BĐT (5)
- Khai triển Abel trong chứng minh BĐT (7)
- Kĩ thuật AM-GM ngược dấu (1)
- Lượng giác hóa trong chứng minh BĐT (19)
- Nguyên lý Biên trong chứng minh BĐT (8)
- Những phương pháp khác chứng minh BĐT (6)
- Phép chuẩn hóa trong chứng minh BĐT thuần nhất (10)
- Sử dụng nguyên lí Dirichlet để chứng minh BĐT (2)
Các định lí hình học (11)
CHUYÊN MỤC ÔN THI ĐẠI HỌC (1)
Dãy số – Giới hạn (61)
Dãy số số học (50)
HÌNH HỌC PHẲNG TOẠ ĐỘ THI ĐẠI HỌC (3)
Hình học không gian (4)
Hình học phẳng (97)
Hệ phương trình (41)
Hệ thức lượng trong tam giác (18)
Phép thế lượng giác trong những bài toán PT-HPT (15)
PHƯƠNG TRÌNH – HỆ PHƯƠNG TRÌNH THI ĐẠI HỌC (11)
Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng (1)
Phương trình hàm (100)
Phương trình hàm đa thức (14)
Phương trình đại số (9)
Số Học (148)
- Cấp của một số nguyên (1)
- Cấp của một số nguyên, Căn nguyên thủy (8)
- Căn nguyên thủy (1)
- Lý thuyết đồng dư (4)
- Những bài toán số học liên quan đến Lifting the Exponent Lemma (LTE) (2)
- Những dạng bài số học khác (2)
- Phần nguyên, Phần lẻ (9)
- Phương pháp Vieta Jumping (Bước nhảy Viete) (9)
- Phương trình nghiệm nguyên (83)
- Số chính phương modulo p (5)
- Số chính phương, số lập phương, số lũy thừa (16)
- Số nguyên tố (1)
- Số nguyên tố, Hợp số (10)
- Sự chia hết, đồng dư (10)
- Định lí phần dư Trung Hoa và ứng dụng (11)
Sử dụng các BĐT cổ điển để chứng minh BĐT (81)
Sự thẳng hàng, các đường đồng quy (22)
Tỉ số kép – Hàng điểm điều hòa (21)
Tổ hợp – Rời rạc (7)
Đa thức (27)

Định Lí Phần Dư Trung Hoa Và ứng Dụng | Huy Cao's Blog

Định Lý Số Dư Trung Quốc – Wikipedia Tiếng Việt

Định Lý Thặng Dư Trung Hoa Và Một Số ứng Dụng - Nguyễn Duy Liên

Định Lí Phần Dư Trung Hoa Và Những ứng Dụng - Diễn đàn Toán Học

Bài 7: Định Lý Phần Dư Trung Hoa - Blog Nam Phạm

Định Lý Số Dư Trung Hoa – Chinese Remainder Theorem

Định Lý Số Dư Trung Hoa, Tính Lũy Thừa Modulo - YouTube

[PDF] ÐỊNH LÝ THẶNG DƯ TRUNG HOA VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG

DINH LY Thang DU Trung HOA - StuDocu

SỐ Học đính Lý Phần Dư Trung Hoa - Tài Liệu Text - 123doc

Định Lý Phần Dư Trung Hoa Và Các ứng Dụng Trong Giải Toán Số Học

định Lý Số Dư Trung Hoa | Xemtailieu

Định Lý Phần Dư Trung Quốc | Toán Học - Páginas De Delphi

Định Lý Phần Dư Trung Quốc - Wiko

Vì Sao định Lý Thặng Dư Trung Quốc Có Thể Dùng để Mã Hóa Máy Tính?

Liên Hệ