Định Lí Pi-ta-go Và Cách Giải Các Dạng Bài Tập | Toán Lớp 7

Định lí Pi-ta-go và cách giải các dạng bài tập

I. LÝ THUYẾT

1. Định lí Pytago

Trong tam giác vuông, bình phương của cạnh huyền bằng tổng các bình phương của hai cạnh góc vuông.

∆ABC vuông tại A: BC2 = AB2 + AC2

2. Định lí Pytago đảo

Nếu một tam giác có bình phương của một cạnh bằng tổng các bình phương của hai cạnh kia thì tam giác đó là tam giác vuông.

∆ABC có BC2 = AB2 + AC2 thì ∆ABC vuông tại A

II. CÁC DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN

Dạng 4.1: Tính độ dài một cạnh của tam giác vuông khi biết độ dài hai cạnh

1. Phương pháp giải:

- Sử dụng định lí Py- ta-go trong tam giác vuông

∆ABC vuông tại A: BC2 = AB2 + AC2

- Có trường hợp phải kẻ thêm đường vuông góc để tạo thành tam giác vuông.

2. Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC cân tại A. Kẻ BH vuông góc với AC (H nằm giữa A và C). Tính độ dài BC, biết HA = 1cm, HC = 8cm.

Giải:

GT	ΔABC,  AB=AC BH⊥AC (H nằm giữa A và C) HA = 1cm, HC = 8cm
KL	BC = ?

Ta có AC = AH + HC = 1 + 8 = 9 cm

Lại có ∆ABC cân tại A nên AB = AC = 9 cm

Áp dụng định lí Py-ta-go cho Δ ABH vuông tại H ta có:

AB2 = AH2 + BH2 ⇒ BH2 = AB2 – AH2 = 92 – 12 = 80

Áp dụng định lí Py-ta-go cho Δ BCHvuông tại H ta có:

BC2 = BH2 + CH2 = 80 + 82 = 144

⇒ BC = 12

Vậy độ dài BC = 12 cm.

Ví dụ 2: Cho∆ABC vuông ở A có ABAC  =  815, BC = 51. Tính AB, AC.

Giải:

Áp dụng định lý Py – ta – go cho ΔABC vuông tại A có: BC2=AB2+AC2

Có ABAC=815⇒AB8=AC15

⇒AB264=AC2225=AB2+AC264+225=BC2289=512289=9

⇒AB8=AC15=3

Suy ra: AB = 8 . 3 = 24; AC = 15 . 8 = 45

Vậy AB = 24; AC = 45.

Dạng 4.2: Sử dụng định lý Py - ta - go để nhận biết tam giác vuông

1. Phương pháp giải:

- Tính bình phương các độ dài ba cạnh của tam giác.

- So sánh bình phương của cạnh lớn nhất với tổng các bình phương của hai cạnh kia.

- Nếu hai kết quả bằng nhau thì tam giác đó là tam giác vuông, cạnh lớn nhất là cạnh huyền.

2. Ví dụ minh họa:

Ví dụ 3: Cho tam giác ABC có AB = 8 cm, AC = 6 cm, BC = 10 cm. Hỏi tam giác ABC là tam giác gì?

Giải:

Ta có 62 =36, 82 = 64, 102 = 100

Mà 100 = 36 + 64 hay 102 = 82 + 62

Nên theo định lí Py - ta - go đảo, tam giác ABC là tam giác vuông tại A.

III. BÀI TẬP VẬN DỤNG

Bài 1: Độ dài một cạnh góc vuông của một tam giác vuông cân bằng 3 cm. Độ dài cạnh huyền bằng?

A. 6 cm

B.12  cm

C. 18  cm

D. 3,5 cm

Bài 2: Ba số nào dưới đây có thể là độ dài ba cạnh của một tam giác vuông?

A. 4cm; 5cm; 6cm

B. 6cm; 6cm; 9cm

C. 5cm; 13cm;15cm

D. 20cm; 21cm; 29cm

Bài 3: Tam giác có độ dài ba cạnh bằng 4cm, 7cm, 8cm có là tam giác vuông không? Vì sao?

Bài 4: Cho tam giác ABC vuông tại A, ABAC=34. Biết BC = 20cm, tính các độ dài AB, AC.

Bài 5: Tính diện tích của tam giác ABC. Biết rằng AB = 12cm, AC = 16cm, BC = 20cm.

Bài 6: Cho tam giác ABC. Kẻ AH vuông góc BC (H nằm giữa B và C). Biết

BH = 9cm, HC = 16cm, HA = 12cm. Chứng minh tam giác ABC vuông tại A.

Bài 7: Cho các độ dài 6cm, 7cm, 8cm, 10cm, 24cm, 26cm. Ba độ dài nào có thể là độ dài các cạnh của tam giác vuông?

Bài 8: Tam giác ABC có góc A^ tù, C^=30o,  AB=29,  AC=40. Vẽ đường cao AH và tính BH.

Bài 9: Cho tam giác ABC cân tại A. Kẻ BH vuông góc với AC (H nằm giữa A và C). Biết HA = 7cm, HC = 18cm. Tính các độ dài BH và BC.

Bài 10: Cho tam giác ABC cân tại A. Trên cạnh AB lấy điểm D, trên cạnh AC lấy điểm E sao cho AD = AE. Gọi M là giao điểm của BE và CD.

Chứng minh rằng:

a) BE = CD

b)   ΔBMD=ΔCME

c) AM là phân giác của BAC^.

Hướng dẫn giải:

Bài 1: Đáp án C.

Bài 2: Đáp án D.

Bài 3: Ta có 42 =16, 72 = 49, 82 = 64

Mà 16 + 49 = 65 ≠ 64

Nên theo định lí Py - ta - go đảo, tam giác có độ dài 3 cạnh 4m, 7m, 8m không là tam giác vuông.

Bài 4: Đặt AB = 3k, AC = 4k

Theo định lý Py-ta-go ta có:

AB2 + AC2 = BC2

⇒ (3k)2 + (4k)2 = 202

⇒ k = 4

Vậy AB =12cm; AC = 16cm.

Bài 5: Áp dụng định lý Py-ta-go đảo, ta biết được tam giác ABC vuông tại A.

SABC=12AB.AC=12.12.16=96cm2

Bài 6:

+) Áp dụng Py-ta-go cho hai tam giác vuông ABH và ACH được:

AB = 15; AC = 20

+) BC = 25

BC2 = AB2 + AC2 (252 = 152 + 202).

Theo định lý Py-ta-go đảo, tam giác ABC vuông tại A.

Bài 7: Ba độ dài độ dài các cạnh của tam giác vuông là (6; 8; 10), (10; 24; 26).

Bài 8:

Xét ΔAHC vuông ở H có C^=30o nên AH = 12AC  = 20

Áp dụng định lý Py-ta-go vào tam giác vuông ABH ta được BH = 21.

Bài 9:

Tam giác ABC cân tại A nên:

AB = AC = HA + HC = 7 + 18 = 25cm

Áp dụng định lý Py-ta-go vào tam giác AHB vuông tại H ta có: BH = 24cm

Áp dụng Py-ta-go vào tam giác vuông BHC được BC = 30cm.

Bài 10:

a)   ΔABE=ΔACD  (c.g.c) suy ra BE = CD

b) Ta có ΔMDB=ΔMEC  (g.c.g)

Do đó: MB = MC

c)ΔAMB=ΔAMC  (c.c.c)

Suy ra: MAB^=MAC^. Hay AM là phân giác của góc BAC.

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 7 có đáp án và lời giải chi tiết khác:

Tổng ba góc của một tam giác và cách giải các dạng bài tập

Hai tam giác bằng nhau và các trường hợp bằng nhau của hai tam giác – Toán lớp 7

Tam giác cân, Tam giác đều và cách giải các dạng bài tập

Các trường hợp bằng nhau của hai tam giác vuông và cách giải